第十二章 两个变量都不可省

第十一章证明了 E 不可省——固定 D 换 E，四次翻面。本章补上另一半，并处理一个真实的反驳。

一、固定 E 换 D

E = ℝ 与 ℝ[[x]] 一字不动。把递推中的一个符号翻过来：

a₀ = 0，a₁ = 1，a_(n+2) = + a_n / ((n+1)(n+2))

解得 S = Σ_(k≥0) x^(2k+1)/(2k+1)! = sinh x。

对照：

                        sin                      sinh
ℝ 上的零点                  πℤ，无穷多                   只有 x = 0
有界性                     |sin| ≤ 1                无界
周期                      2π                       无周期
(0, ∞) 上                振荡                       严格凸、严格增

一个符号，对象整个换了。 D 不可省。

二、一个必须正面回答的反驳

有人可以这样反驳：第一编第二节里，内接多边形与外切多边形是两条不同的 D，却收敛到同一个 2πr；第一编第三节里，锯齿多边形是另一条 D，得到不同的周长，但那只说明 E（面积拓扑）给弱了。于是——

你的 D 要么会自己消掉，要么只是 E 没写全。D 根本不是独立变量。

这个反驳很强，必须正面回答，而不是绕开。回答是：上一节的 sinh 就是回答。E 完全相同（同一个 ℝ、同一个形式幂级数环、同一套收敛规则，无一处放宽或收紧），D 只改一个符号，得到的是一个在每一条可比特征上都不同的对象。这既不是"自己消掉"，也不是"E 没写全"。

三种情形的分工可以并成一张表：

情形                   换 D 的后果           说明
内接 / 外切              S 不变              F 非单射，同一纤维内
                                       的两条路径（推论
                                       10.3）
锯齿多边形                极限不唯一             E 给弱了，(D, E) 不构
                                       成解（条款 ⓑ）
sin / sinh           S 真的不同            D 是独立变量

第一编只给了前两格。第三格是 D 之为独立变量的唯一证据，本编把它补上。缺这一格，前两格加起来恰好构成上述反驳。

三、单靠一个都不行

只给 D：递推 a_(n+2) = −a_n/((n+1)(n+2)) 里的除法在哪个环中进行没有说，"负号"是哪个环的加法逆元没有说。没有载体，S 无从谈起——反例三已经证明这不是形式上的挑剔：换个特征，同一条递推就不再有解。

只给 E：ℝ[[x]] 里有不可数多个元素。没有 D，没有任何理由指向其中哪一个。

四、反向：D 能否由 S 与 E 回收

三方程的第二式 D = G(S, E) 在这里也有严格对应物，值得单列，因为它是本编唯一一处从 S 反推的地方。

sin 是 D-有限（holonomic）函数：它满足一个系数为有理函数的线性常微分方程。

定理 12.1（经典） 设 f 为 D-有限函数。在有理函数系数的 Weyl 代数 ℂ(x)

⟨∂⟩ 中，零化 f 的算子全体 Ann(f) 构成一个左理想。由于 ℂ(x)⟨∂⟩ 具有带余

除法，该理想是主左理想，由极小阶算子生成，且该生成元在 ℂ(x)^× 的左

乘意义下唯一。

对 sin：Ann(sin) = ℂ(x)⟨∂⟩ · (∂² + 1)。

读法是：给定 E，S 唯一地决定了 D 的极小形式。 于是 S = F(D, E) 与 D = G(S, E) 在这一层同时为真，且都是定理，不是修辞。

但要老实标出边界：这只回收 D 的"极小零化"那一面，不回收种子。cos 与 sin 有同一个极小零化算子，二者由种子区分。种子要从 S 在一点的 jet 读出，那是另一条信息。因此 D = G(S, E) 的准确形态是：算子部分可回收，种子部分需另给。