通道二最难被看见,因为它没有留下失败的痕迹。
旧 D 运行正常,旧 E 没有失紧,没有任何东西不够用。变的是:有人开始问
一个此前不是问题的问题。
第二编第十三章的硬边界之一说过,只有同构不变量才被 (D, E) 决定。通道二处理的是更前面一层:一个对象为什么值得被问。这一层不在任何形式系统内部——形式系统能判定命题的真假,不能判定问题的存在。
通道二的证据必须是可指认年代的,否则它退化为事后叙述。以下四例各自有确定的时间点,说错即可被推翻。
其一,量化问题。 Voronoi 剖分的系统研究始于 1908 年。此后七十年里,“哪一种剖分最好”不是一个数学问题——不是无人有能力问,而是没有任何东西使它成为目标。使它成为目标的是数字通信中“以最少比特换最小失真”这一纠缠土壤;Gersho 于1979 年把它写成问题。这七十年间,Voronoi 剖分的理论运行良好,没有任何 D3 亏损,也没有任何类不封闭。
其二,五次方程的可解性。 三次、四次的求根公式在十六世纪已经完备,运行良好。伽罗瓦问的不是“怎么解得更快”,而是“有没有”。这是一个关于方法本身的问题,它在方法运行顺畅时被提出。
其三,无穷的大小。 无穷集合被使用了两千年,没有出过问题。康托尔问的是“无穷之间有没有大小之分”——一个此前没有人认为是问题的问题。
其四,可判定性。 希尔伯特第十问题(1900)问的是丢番图方程有没有通用判定算法。此前,人们一个一个地解方程,从未把“有没有通用办法”当作数学命题。
四例的共同形状:问题出现时,被问的那个领域正处在良好状态。
签名 B1(年代可指认). 存在时间点 t,在 t 之前该目标不作为数学问题存
在,在 t 之后存在;且能指出 t 处的纠缠条件(是什么使它成为目标)。
签名 B2(旧 D 未亏损). 在 t 之前,相关领域的既有方法对其既有任务给出
正确且代价可接受的答案。即签名 A1 为假。
签名 B3(旧 E 未失紧). 在 t 之前,不存在一族算子在当前类上不封闭,也
不存在无极限对象的序列。即第十九章的签名 C1 为假。
这条签名怎么答错. B1 可以被史料推翻——若查出该目标在更早已被明确提出,归属即错。B2 也可以被推翻——若查出旧方法当时确实在亏损,则该次发生实为通道一或复合。B3 同理。
举一例说明它确实能答错:把“负数”归入通道二是很自然的直觉(“人们开始考虑欠债这个新问题”),但 B3 为假——减法在自然数上不封闭是一个早已存在的结构事实,与是否有人问欠债无关。所以负数不走通道二。这在第十九章会被正面处理。
通道二在本学派的框架里有一个名字:目标不先在。目标不是等待被发现的对象,它在纠缠中被发生出来,而且可以指认年代。
这一条常被误读为相对主义——若目标是被发生出来的,答案是不是也是被发生出来的?不是。发生的是提问装置,不发生的是装置指向的那个真值。 Gersho 猜想在1979 年之前不是一个问题;但一旦它是一个问题,BCC 是不是最优就不再取决于任何人。这条界线本书第六编将单独处理,此处只标明:通道二说的是问题的来历,不是答案的来历。