在伞场上，一个泛函可以分成两部分：
• 体积量 V_r：只用单把伞内部的信息，形如 Σ_i ∫ ω_i(y) f(u(y), ∇u(y)) dy。• 跳变量 I_r：只用伞与伞重叠区的信息，形如 Σ(i,j) ∫ ω_i ω_j · g(u|_i − u|
_j)。
剖分是伞的端点特例，在那里重叠区是零测的界面，跳变量退化为界面上的求和——这正是有限体积法里的通量项、逐胞结算里的接口项。
命题 27.1. 设 u ∈ C¹ 且 ∇u 有界，g 为 p 次正齐次（g(λs) = λ^p g(s)），伞
场半径 r、每单位体积伞数 ~ r^(−d)。则当 r → 0：
(i) V_r → 经典体积积分，误差 O(r²)（定理 26.1）； (ii) I_r ~ C · r^(p−d)，
因而 p > d 时 I_r → 0：跳变信息在经典极限中被抹去； p = d 时 I_r
→ 有限非零：跳变信息在极限中存活为一个新项； p < d 时 I_r → ∞：
经典极限不存在。
论证. 单位体积内伞的数目为 Θ(r^(−d))，每把伞的重叠伙伴数为 O(1)。对 u ∈ C¹，相邻两伞中心相距 O(r)，故 u|_i − u|_j = O(r|∇u|)。g 的 p 次齐次性给出每对贡献O(r^p)。求和得 I_r = O(r^(−d)·r^p) = O(r^(p−d))。三分立即得出。∎
［证据分级：属第二层。它是一条标度论证，量级正确、常数未给。临界情形 p = d 的极限值与其存在性条件，属于非局部泛函向局部泛函收敛的既有理论范围（Bourgain–Brezis–Mironescu 一系结果与其后续），本书不重复那里的分析。］
它说的是一件很硬的事：
在经典（r = 0）表述中，只有临界齐次度 p = d 的跳变信息能够存活。齐次度
高于 d 的跳变信息在极限中恒为零——不是小，是零。
于是有：
推论 27.2（结构性失明）. 若一个问题的承重信息是齐次度 p > d 的跳变量，
则任何在 r = 0 上写出的表述都对它恒等失明，无论后续估计做得多精细。这一句给出了本书姊妹卷那条不可能性结论的一般形状。那里的具体情形是：能量被写成逐胞求和（r = 0，跳变项被丢弃），因而存在一个天花板严格低于目标值。天花板不是估计不够好造成的，是那一项在写下表述的那一刻就已经是零了。
据此，第二十三章的 SDE 数获得一个可操作的用法：
失明判据. 面对一个问题，先做三件事： 一、把承重泛函按体积量与跳变量分
开； 二、算跳变量的齐次度 p 与维数 d； 三、若 p > d，则逐块（r=0）方法
对该问题的承重部分恒等失明，应改用带重叠的表述，或把结算面迁到重叠
区上。
这条规则有正确答案与错误答案，因而是可用的。它同时也解释了为什么二维与三维会有截然不同的表现——d 变了，临界齐次度就变了，同一个 p 可能在二维处于临界之下、在三维处于临界之上。
第三编第十九章说过：扩张的方向由造成失紧的那一族算子唯一指定。本编给出了一个具体实例——共振算子的归一化指数 −(d+2) 就是这样被唯一指定的（第二十五章第三节）。而第二十七章的分道给出了扩张的代价表：扩张之后哪些信息被保住、哪些被丢掉，按齐次度分三档，一目了然。
三编的关系至此完整： 第二编说给定 (D, E) 之后 S 被定到什么程度； 第三编说 (D, E)怎样被换成下一组； 第四编说换完之后，旧的那一组究竟丢了什么。