判断卡片：弗雷格的反心理主义是对发生论最强的一次攻击，而且它成立——数学命题的真值确实不依赖任何人的心理过程。本书不反驳它。本书指出的是，他证成的是"命题的真"，而争论的是"知识的来"；把后者划归心理学并逐出，等于宣布这个问题不存在，而它并没有因此不存在。
十九世纪后期，有一批人试图把数学奠基在心理过程上：数是我们在计数活动中形成的心理表象，算术定律是思维的规律。弗雷格在《算术基础》（ 1884）与《算术的基本规律》里，把这个主张打成了碎片。
他的论证极其锋利，而且今天仍然成立。举其中三条：
其一，心理表象是私人的，数不是。 我心里的"5"这个表象和你心里的不是同一个东西——它们有不同的意象、不同的联想、不同的强度。但 5 是同一个 5。如果数是心理表象，"你我说的是同一个数"这句话就没有意义，而数学的全部工作都依赖这句话有意义。
其二，数学命题的真值不随心理事实变化。 就算全人类明天都开始认为2+2=5，2+2=4 仍然是真的。如果算术定律是思维的规律，它们就该是心理学定律，而心理学定律是可以有例外的、是被经验发现的、是随物种和个体变化的——算术定律不是。
其三，也是最狠的一条：混淆了"某物是什么"与"我们如何认识它"。 弗雷格反复说，我们必须把心理学的东西与逻辑的东西、主观的东西与客观的东西严格分开。北海里有多少水，不因为我怎么想而改变；数也一样。
这三条本书全部接受。不打折扣，不做保留。
前四次立法都在为"必然性从哪来"找户头，而户头一个比一个不好守。弗雷格做的是完全不同的事：他不找户头，他划边界。
他说：数学对象是客观的，但不是物理的（你摸不到 5），也不是心理的（它不在任何人心里）。它属于第三个领域——思想的领域，客观而非现实。它不需要被谁想着才存在，也不占据时空。
这一手的力量在于，它不再需要为知识的来源辩护。它把来源问题整个划到了数学之外。 数学研究数学对象，认识论研究我们如何认识它们，心理学研究认识发生时脑子里在干什么——三件事，三个学科，各管各的。弗雷格明确说，追问一个数学概念是如何在个人心中形成的，与追问这个概念是什么，是两个完全不同的问题，把后者混进前者，是哲学的堕落。
这是一次极其干净的手术，而且它救了数学。 二十世纪数学的严格化、逻辑与集合论的地基工作，都在这一刀之后才可能。本书对它没有任何异议。
那么本书站在哪里？
站在一个很窄的位置上，而且必须把它说得极精确，否则就会变成一次对弗雷格的拙劣反驳。
弗雷格证成的是：数学命题的真值，不依赖任何人的心理过程。 这条本书接受。
本书讨论的是：一个数学对象，如何从一个还没有它的人那里，变成一个有它的人那里的东西。
这两件事的关系，可以用一个类比说清楚。一份证明写在纸上，挂在墙上，谁来看都是它，一笔不差 —— 这是它的客观性，弗雷格说的就是这件事。但"看懂这份证明"这件事，每个人都得自己用眼睛和头脑重走一遍，谁也替不了谁。 证明可以封存，看懂不能代办。
弗雷格的手术把第二件事整个划到了数学之外，划给了心理学。这个划分在他的目的下是正确的、必要的。但它有一个后果：从此以后，"知识如何来到一个人身上"这个问题，在数学哲学里没有位置了。 它被判为心理学问题；而心理学并不认为自己有义务回答数学对象的构成；于是这个问题在两边都无家可归——正是导论第三节说的那个局面。
本书要说的是：逐出一个问题，不等于解决它。 那个孩子一周后说 1/3 比 1/2 大，这件事不因为弗雷格划清了界限而消失。
诚实地说一件对本书有约束的事。
本书全书都在使用弗雷格那条分界，而且离了它本书立不住。导论第七节那道挡板——"本书不主张数学命题的必然性是幻觉"——用的正是弗雷格的刀。 如果没有"命题的真"与"知识的来"这条分界，本书关于"先验感是被制造的"这个判断，就会立刻滑向"数学真理是被制造的"，而那是本书明确拒绝的立场。
所以本书与弗雷格的关系不是对立，是分工：他守住了命题一侧，本书处理接收者一侧；两侧不能互相还原，也不能互相代替。一本主张"知识的到来是一个过程"的书，恰恰需要弗雷格那条线来保护它不滑进相对主义。
这一点在编五第二十八章改判"实在论／建构论"那组对峙时是决定性的：本书将论证，那组对峙之所以纠缠不清，正是因为双方都在同时谈论命题一侧与接收者一侧，而且换来换去自己不觉得。
有一件事必须提一句，然后放下。
弗雷格的第三领域有它自己的困难：一个既非物理又非心理、不在时空中的领域，我们这些在时空中的生物如何与它发生关系？我们怎么"把握"一个不占时空的思想？这个问题在弗雷格那里没有回答，在后来的柏拉图主义者那里也一直是软肋 —— 贝纳塞拉夫在1973 年把它写成了一个著名的两难：一套令人满意的数学语义学（把数学命题当作关于抽象对象的真陈述）与一套令人满意的数学认识论（说明我们如何知道它们），二者似乎不可得兼。
本书不打这一处。理由是纪律性的：本书的判断只涉及接收端，不涉及数学对象的存在方式；用一个本书不打算解决的本体论难题去攻击对手，是不诚实的。此处记下，是为了让读者知道本书知道它在，而选择不用它。
《算术基础》里有一段追问，是本书最喜欢的一段弗雷格，因为它几乎就是一段发生学论证。
他问：数是被赋予给什么的？
一副扑克牌摆在桌上。我可以说这是一副牌，可以说这是四组花色，可以说这是五十二张。同一堆东西，同一时刻，同一位置，而数完全不同。
于是那个结论：数不可能是物的性质。 如果一是这堆东西的性质，那么四和五十二也是，而它们互相冲突。数被赋予的不是那堆东西，是"一副牌""花色""张"这些概念。
这段论证极其漂亮，而且它是对的，本书完整接受。
但请注意它同时摆出了一件弗雷格没有接着追的事：决定数是几的，是"你按哪一种方式去切它"。
而"按哪一种方式去切"是一个动作。它不是那堆东西的性质，也不是我脑子里的一团意象——它是我可以做、可以不做、可以换一种做法的一件事，而且一个孩子必须真的做过几次，才拿得到它。
于是这段文字前面摆着三条路：· 数在那堆东西里 → 弗雷格证明了这条不通。· 数在我心里 → 弗雷格证明了这条也不通。· 数依赖于那个切分的动作，而动作是可以被走的路径 → 他看见了这条路的入口，没
有走，转身把数安放进了第三领域。
本书不主张他应该走第三条。他要解决的是数学命题的客观性问题，而第三条路在他那个问题上帮不了他——一个动作是个别的、有时间的、可以不做的，而他要的是必然的、无时间的、不可不然的。他转身是有理由的。
本书只指出一件事：第三条路的入口，在这段文字里是敞开的，而且它敞开的方向，正是编六第三十二章第一个案例的做法——让孩子把同一堆东西按不同的方式切几次，看着数在他手底下变。
上一节有一个明显的把柄，必须自己交出来。
弗雷格的读者会说：这一节在偷换他的概念。 他所说的"概念"是客观的、非心理的、不属于任何人的东西；把它读成"切分动作"，恰恰是把它心理主义化了，而反心理主义是他毕生的工作。按他的标准，上一节是一次典型的误读。
这个指控是对的，本书接受。 并把话收窄到不能再窄：本书不主张弗雷格的"概念"是一个心理动作。本书只主张：在教学上，一个孩子要拿到"数被赋予给概念"这件事，唯一的办法是他自己切过几次。
前一句属于命题一侧，本书不裁决，而且按编一第五章第四节，本书靠他守着后门。后一句属于接收者一侧，是本书全书的题目。两句不冲突，因为它们不在同一侧——这正是编五第二十八章那张四格表要处理的事，而本节是那张表最好的一个标本： 同一段文字，在两侧读出两件不相干的事，而混读会同时冤枉两边。
顺带记一笔，这也是本书为什么把弗雷格放在编一而不是编二。按他的立场他属于发现派；按他这段论证的形状，他离发生派只差一步。 而他没有迈那一步，不是因为他没看见，是因为他的问题不在那一侧。
编一那六位里，他是唯一一位本书完全不打算劝服的人。
弗雷格把发生问题逐出了数学。这个逐出极其成功，以至于今天在数学哲学的主流文献里，"一个概念如何在一个人身上长出来"几乎不被认为是一个哲学问题。
于是发现派获得了它最稳固的形态：不再需要理念世界，不再需要天赋，不再需要主体形式——只需要一条边界。下一章那两位，一个在信念上、一个在工艺上，把这个形态推到了极限，然后在教室里第一次撞了墙。