判断卡片：七个小学核心概念，同一个动作的七次执行——先找到那条走不通的旧路，让新对象作为"让它走通的工具"发生出来，最后验一次改写。而本章后半必须处理那个从第一页起就悬着的立场：本书不是最小指导教学的变种。本书主张的次序是学习者先撞到旧办法的边界，然后由教师明确地讲授新结构；改变的只有一件事——它讲在什么时候。
每个案例四段：困境 → 路径 → 显露 → 改写。请特别留意每个案例的最后一段，它是发生是否完成的判据。
一对应，一个对一个地摆，看谁先摆完；对不清，才需要一个能 "记住多少"的东西。显露："数"发生了——5 就是和五根手指能一一对应的那一类聚集的共同名字。改写：从此看任何一堆东西，都会想"它能和几对上"。数不再是黑板上的符号，而是他亲手用 "对应"量出来的东西。
这一案例揭示了数的发生学原点：对应先于计数。 发现学从符号起步，正是把这条来路磨掉了。
数一遍。显露："＋"就是这条"合并再数"的路径，"＝"是它的结算点。改写：学生亲自试出"先合谁、后合谁，总数不变"——交换律不是背的，是他自己撞见的一个事实。
摆法是让他累。）路径：十根小棒捆成一捆 —— 这个"捆"的动作生出一个新单位。显露："十"作为一个新单位发生了。改写：11 里，左边的 1 是"一捆（十）" ，右边的 1是"一根（一）"，它们不一样大。
捆小棒是常见活动，但重点从来不是活动本身，而是让"捆"这个动作生出新单位。若只捆不悟，活动就退化为无效的热闹。
把"几个几"打包成一个整体。显露：乘法＝重复相加的打包。改写：再看加法，会分辨"零散地加"和"成倍地加"是两种事。口诀不再是要背的天书，是他亲手打包出来的省力工具。先有意义，再背才牢。
（"没有"类，摆法是让他卡住。）路径：真的去平分，给"每人分到的那一份"命名。显露：分数发生了，为让"平分"能结算；1/2 的同一性＝两个它拼成 1。改写：看"整数"从此知道——它只是数的一段，中间还挤着无数个数。
1/3 > 1/2 的错误不会再犯，因为他亲手分过，知道分的份越多、每份越小。这一案例是本书核心命题最清晰的一次现身。
2+4、1+5、3+3。路径：让学生写出 6＝2+4＝1+5＝3+3，把两边都摆出来、互相印证。显露："＝"是"两边是同一个东西" 的关系符 —— 像天平，不是箭头。改写：等号从"得"变成"平衡"，学生开始接受 8＝3+5，也接受 3+5＝2+6。
把等号当箭头，是小学最普遍、最隐蔽的一处误解，会一路拖累到中学的方程学习。而这一小步的改写，替中学扫清了一个大障碍。
把三个角撕下来拼到一起；再量一量、多试几个；再问"为什么每次都拼得上"。显露：三个角拼成一条直线—— 180°。改写：结论有了来路。而更重要的改写发生在一个更大的信念上——数学结论有来路、可验证，这一信念将支撑他此后全部的数学学习。
抽掉具体内容，七个是同一个动作：
先找到那条走不通的旧路（困境），让新对象作为"让它走通的工具"发生出来（路径→显
露），最后验一次改写。
教师一旦握住这个通用动作，就能自己造出第八、第九个案例。
而它还给了一个诊断入口：当某个概念反复教不好时，不必慌乱地归因于 "学生笨"或"练得少"，可以顺着这四段逐一排查—— 是困境没摆出来？是路径没让学生亲自走（教师替他走了）？是显露教残了（只给了符号、没给量）？还是压根漏了改写？ 四段之中，总有一段塌了。
而若四段都没塌、仍然无效——那就是编四第二十三章那第三种失败，要回到第三十一章去解锁。
现在处理那个从导论第七节起就悬着的立场，而且要处理干净，因为这是本书最容易也最有害的一处误读。
若本书被读成"让学生自己去发现新结构"，则那篇二〇〇六年的著名批评的每一个字都适用于本书，而本书不作抵抗。 那篇文章论证：最小指导的教学对新手无效甚至有害，因为工作记忆有限，缺乏图式的新手在无指导的搜索中会耗尽认知资源。 这个论证是对的，而且它有大量实验支持。
但本书主张的次序不是那个。本书主张的是：
学生先撞到旧办法的边界，然后由教师明确地讲授新结构。
请看这一句里每个部件由谁负责：· 困境：由教师 精心设计并摆出来。不是让学生自己去找一个困境 —— 那才是最小指
导。· 路径的落脚点：由教师铺好，铺得足够粗糙、足够有落脚点。· 走这条路的脚：是学生的。这是唯一不能代办的一件事。· 结论、定义、名称：由教师讲，而且要讲得清清楚楚，不含糊、不留白、不搞"你们
猜猜看"。
改变的只有一件事：它讲在什么时候。 从第一段挪到第五步。
本书在这一点上不是首创，而且必须说清楚，否则会显得本书在偷偷回避那篇批评。
这个立场在文献里有两个现成的名字：有效失败（productive failure）与《适合讲授的时机》（A Time for Telling）。前者的研究表明，让学生先在一个超出其现有能力的问题上尝试并失败，然后跟以明确的讲授，其效果优于直接讲授；后者的实验给出了同一形状的结果。
而前一条线的研究者还给出了一个极重要的区分：有效的失败与无效的失败不同，有效失败需要三个必要条件——其一，任务在学习者能力的边缘（太难则崩溃，太易则不构成困境）；其二，学习者有可调用的先验知识（否则他连试都试不起来）；其三，后面必须跟着明确的讲授（缺了这一条，失败就只是失败）。
这三条本书完整继承，并把它们当作第三十章那五步环的边界条件。 尤其第三条：五步环的第②步"立框架"与结论的明确讲授，不是可选的，是必要的。
既然这个立场已有名字，本书在这里的增量必须说清，否则第三十章与本章就只是复述。
其一，第三十章那条"困境两类"的区分（贵／没有，及对应的摆法：让他累／让他卡住），据本书所知未被写成过一条备课判据。
其二，也是主要的一处：解锁这道前置工序。 有效失败那条线假定，只要任务设计得当，学生会去试。本书指出存在一类学生，他不会去试——不是因为任务不合适，是因为他不认为一个数学对象会有"路"这回事。对他，那三个必要条件全部满足也无效。第三十一章那道工序，处理的正是这一类。
其三，本书明确不提供的东西：本书不提供新的实证结果。第三十章那五步环的有效性，靠的是有效失败那条线已有的证据；本书自己要负责证明的只有封写与解锁那一部分，而它的证明在第三十三章，尚未执行。
最后给一份清单，防止读者回去把讲授全砍掉。以下四类应当直接讲，不必也不该去还原：
约定类：记号、命名、书写格式、术语。这些本来就是约定，没有困境可摆，直接讲，讲清楚为止。
安全类：任何涉及安全的规程。
名字类：一个已经被学生走通的东西叫什么名字。名字要在结算点上给，而且要痛快地给。
脚手架类：为了让学生能走下一步而临时提供的工具或事实，本身不是这节课的目标。
这四类加起来，占一节课的时间可能超过一半。本书要动的只是那少数几个"反复教不好"的概念，不是整个课堂。 编三第十八章那三条判据，说的正是这件事。
本章七个案例是全书最容易被直接采用的部分，因此必须给出它们最可能的失败方式。
反读是：这七个案例是从结论倒推出来的，而不是从课堂里长出来的。
具体地说：每个案例都是"困境→路径→显露→改写"四段整齐排列，四段之间严丝合缝，每一段都恰好支持本书的框架。而真实的课堂不是这样的——学生会在你没预料的地方卡住，会给出与四段无关的答案，会在第三段还没走完时突然跳到第四段，也会在你以为发生了改写时其实只是记住了你想听的话。
一套在纸上四段整齐的案例，恰恰是它没有被真实课堂修改过的证据。
这个指控本书接受，而且它比表面上更重，因为它是本书自己那把刀的一次回击：编二第十一章批评拉卡托斯"把土壤和路径捡回来之后又把它们磨光了"——而本章这七个案例，正是同一种磨光。它们是被整理过的、干净的、去掉了所有毛刺的教学过程，也就是编六第三十章第六节明令禁止的那种"光滑的过程录像"。
本书的回应有两条，都是让步。
第一，这七个案例应当被当作模板，不应当被当作实录。 本章第二节那句"教师一旦握住这个通用动作，就能自己造出第八、第九个案例 "，说的正是它们的正确用法：取那个四段结构，不取那些具体的话。 而本书没有把这一点写在案例的开头，导致最容易被抄走的正是那些具体的话。本节把这句话补在这里，并建议读者在使用附录二那张表时，只取它的框架列，不取它的措辞。
第二，本书没有一份真实的课堂实录来对照这七个案例。 编四那五节课堂实录是本书能拿出的全部现场材料，而它们记的是失败，不是成功——本书有失败的实录，没有成功的实录。
这一处的欠缺是结构性的：本书全部工序尚未在任何一间教室里被系统地跑过（编六第三十三章那三个实验尚未执行）。于是这七个案例目前的地位，是从机制推出来的设计，不是从实践里提炼的经验。
本书把它写在明处，是为了让读者知道自己在拿什么：一份有理由的设计，不是一份被验证过的教案。
案例与立场都交代完了。但到这里为止，本书的全部主张——尤其编四那个机制——仍然只有概念论证与课堂观察，没有一份数据。
下一章要把它交出去。