第二十七章　执行与评估：让猜想产生数学后果

一、从定义表进入命题表

上一章留下了一个非空有限度量空间 X、一个非负剖面空间 $U=\mathbb{R}_{+}^X$，以及一组由中心、范围和强度生成的伞事件。现在开始执行猜想。执行的含义不是不断展示更多图形，而是要求定义承担后果：哪些性质必然成立，哪些只有在额外条件下成立，哪些直觉已经被反例否定。我们还需要把这种后果写成他人能够接续的形式。

一个常见误区是认为，只有非常困难的定理才值得写出。对于新对象的最小实验，这恰好可能妨碍研究。若连组合是否闭合都没有证明，就直接讨论“新数系的无限可能”，困难程度只是掩盖基础缺口。最小构造中的简单命题能够清理语言，使后续困难出现在真正的位置。例如，“影响可以组合”至少涉及组合结果仍是对象、组合次序是否重要、是否存在不产生影响的零对象，以及重复组合是否改变结果。

本章给出的结论大多属于成熟线性代数和动力系统的初等内容。它们在这里承担的任务，是为发生性问题建立可核对的承载结构，而不是争夺定理的历史优先权。AI可以很快建议这些结论，甚至生成一份证明草稿；研究者仍要检查它是否混淆了事件、状态和更新操作，是否遗漏非负条件，是否在证明中使用了定义尚未允许的逆运算。

我们先研究静态组合，再进入历史更新，最后讨论空间传播与稳定性。每一次扩展都由已识别的任务推动。静态组合解释多次同时作用如何叠加；历史更新解释先后发生的差别；空间传播解释原来没有直接输入的位置为何随后出现影响。这样，复杂性不是装饰，而是对具体缺口的逐项回应。

二、非负剖面的加法结构

定义 $u\oplus v$ 为逐点相加，即对每个 $x\in X$，$(u\oplus v)(x)=u(x)+v(x)$。零剖面记为 0，它在所有位置取零。对任何非负实数 $\alpha$，定义缩放 $\alpha u$，逐点取 $\alpha u(x)$。

命题二十七之一：非负剖面的组合结构

U 对上述加法闭合，加法满足交换律和结合律，零剖面是单位元，并且满足消去律。

证明

证明只需逐点进行。非负实数之和仍非负，因而 $u\oplus v\in U$。对任意 x，$u(x)+v(x)=v(x)+u(x)$，所以两个剖面相等。三个非负实数相加满足结合律，故 $(u\oplus v)\oplus w=u\oplus (v\oplus w)$。零的性质同理。若 $u\oplus w=v\oplus w$，则每个位置有 $u(x)+w(x)=v(x)+w(x)$；在实数中消去 w(x)，得到 $u(x)=v(x)$，于是 $u=v$。证明完成。

但U通常没有加法逆元。设 u 不是零剖面，则存在位置 x 使 u(x)>0。对任意非负剖面 v，u(x)+v(x)>0，故 $u\oplus v$不可能等于零。这个简单事实决定了我们暂时不能把U称为加法群，更不能未经构造便称作一个域。非负影响可以积累，却不能在同一对象空间内用“负影响”自动抵消。若任务确实需要抑制、抵消或方向，必须说明是否扩大到带符号的空间。

缩放满足常见分配关系：$\alpha (u\oplus v)=\alpha u\oplus \alpha v$，$(\alpha +\beta )u=\alpha u\oplus \beta u$，$(\alpha \beta )u=\alpha (\beta u)$，以及$1u=u$。这些等式同样逐点成立。因此，U是实向量空间$\mathbb{R}^X$中的非负锥，也可按非负标量组织为相应半模。这个定位比“广义数”更精确：它直接告诉我们可使用什么运算，也告诉我们哪些逆运算尚未获得意义。

加法并不是唯一可能的组合，但它有明确解释。对于任意子集A，定义该区域的总量$M_A(u)=\sum _{x\in A}u(x)$，那么$M_A(u\oplus v)=M_A(u)+M_A(v)$。若应用要求不同输入在同一区域的量可以累加，这一关系值得保留。若真实传感器存在上限，它可能只报告饱和值；那是观测或组合规则的改变，不能在当前加法下假装仍然保留总量。

由此也可以解释为什么重复作用不等于重复记录。$u\oplus u=2u$，除非$u=0$，否则并不等于u。假如同一次事件被数据库误录两次，程序会把它解释成两次真实输入。数学无法替我们识别记录错误。模型的对象语义必须包括事件识别和去重规则，否则一个正确执行加法的程序，也会产生错误的研究结论。

三、最小算例怎样暴露不同层次

继续取三个位置0、1、2。记$e_{0}=(1,0,0)$，$e_{1}=(0,1,0)$，$e_{2}=(0,0,1)$，它们分别是三个位置的单点伞。宽伞h由中心1、范围2、强度1生成，故$h=(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2})$。这些数值全部是有理数，可以使用精确分数计算，不必在最小阶段引入浮点舍入。

$e_{0}\oplus e_{2}=(1,0,1)$表现两个分开的峰；$e_{1}\oplus h=(\frac{1}{2},2,\frac{1}{2})$表现中心叠加；$h\oplus h=(1,2,1)$保留形状而增加强度。三个例子的总量分别为2、3和4，却无法仅凭总量恢复其形状。这不是总量计算错误，而是总量有意放弃了位置差异。当预测任务依赖形状时，这种放弃可能成为代价；当任务只依赖总量时，它又可能成为有效封装。

我们可以建立一个最简单的部分次序：若所有位置都有$u(x)\le v(x)$，就记$u\le v$。加法保序，即$u\le v$蕴含$u\oplus w\le v\oplus w$；非负缩放也保序。证明来自每一位置上的实数不等式。这个次序并非对任意两个剖面都能比较。$e_{0}$与$e_{2}$互不小于对方，因为一个在左端较大，另一个在右端较大。把所有状态强行排成一条从小到大的线，会失去这种分布差异。

这给“数包含范围”的说法带来一种可操作解释：我们研究的量具有多个位置上的可比较成分，因而它可能只有偏序，而没有一个天然的全序。传统实数的大小关系不能不加说明地移植过来。不过，偏序、向量和函数已经是成熟数学对象，所以这里仍不能由“不是单一实数”推出“现有数学不能表达”。真正的进展，是知道任务是否需要保存这种不可线性排序的差异。

最小算例还有一个组织作用。AI提出某种新运算时，可以先要求它在$e_{0}$、$e_{1}$、$e_{2}$和h上运行。如果运算连这些基本情况都没有清楚结果，复杂仿真只会增加不透明性。若基本算例通过，也不能宣布一般命题成立；它只是表明尚未找到低成本的反例。算例是探索和检查的入口，证明仍是一般结论的依据。

四、历史展开式与次序效应

令$0\le \lambda <1$，定义$T_v(u)=\lambda u+v$。给定初始状态$u_{0}$与输入序列$v_{1},\cdots ,v_{n}$，递推$u_t=\lambda u_{t-1}+v_t$。

命题二十七之二：衰减更新的历史展开式

历史展开式为：

$$u_n=\lambda^n u_0+\sum_{j=1}^{n}\lambda^{n-j}v_j$$

它说明当前状态由初始残留和各次输入按年龄加权组成。

证明

证明使用归纳法。$n=1$时等式就是定义。假设对n成立，则$u_{n+1}=\lambda u_n+v_{n+1}=\lambda^{n+1}u_0+\sum_{j=1}^{n}\lambda^{n+1-j}v_j+v_{n+1}$，正是下一步公式。每一步都在非负剖面空间内完成，因此状态始终非负。$\lambda =0$时只有最新输入保留；λ接近一时旧输入衰减较慢。两个边界都可以从同一公式解释，无需额外故事。

命题二十七之三：更新次序的差异

对于任意u、v、w，$T_w(T_v(u))-T_v(T_w(u))=(1-\lambda )(w-v)$。这里减法在包含U的实向量空间$\mathbb{R}^X$中进行，用于比较两个合法状态，并非宣称U已有加法逆元。把两边展开，第一项为$\lambda ^{2}u+\lambda v+w$，第二项为$\lambda ^{2}u+\lambda w+v$，相减即得结论。

因为$\lambda <1$，上述两种更新相同当且仅当$v=w$。若把$\lambda =1$作为不衰减的扩展版本，两个更新就交换。由此可见，不交换不是一个神秘的新性质，而是“较早输入多经历一次衰减”的严格后果。它可以被实验证实或否定：若作用次序在测量中没有影响，可能是λ接近一，也可能是观察把差异抹掉，还可能是模型本身不合适。

取$\lambda =\frac{1}{2}$，从零状态先输入$e_{0}$再输入$e_{2}$，得到$(\frac{1}{2},0,1)$；交换输入，得到$(1,0,\frac{1}{2})$。它们总量同为$\frac{3}{2}$，却在左端和右端分布不同。这个算例以后将用于检验低维封装：一个只记录总量的系统能否回答“当前左端强度是多少”？它显然不能仅凭同一个总量给出两个不同的正确答案。

历史展开式同时揭示了一种成功封装。对于这个固定规则，完整输入列表不必每次重新遍历；只要保存当前u，下一步就能正确更新。对象的历史被压缩进状态，而不是被否认。若随后增加一种依赖“过去出现过几次峰值”的规则，旧状态可能不再充分。一个封装是否可靠，取决于未来允许提出什么问题，而不只是它过去算对过几次。

五、让影响在位置之间传播

固定比例衰减只改变各位置的大小，不会把一个位置的影响传到另一个位置。为处理空间延续，引入非负矩阵K，定义$u_{t+1}=Ku_t+v_{t+1}$。矩阵元素$K_{ij}$表示上一时刻位置j的单位强度对下一时刻位置i的贡献。这个索引方向需要明确，否则图上的箭头和矩阵乘法可能被写反。

本编使用如下合成矩阵：第一行为$(\frac{1}{2},\frac{1}{4},0)$，第二行为$(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4})$，第三行为$(0,\frac{1}{4},\frac{1}{2})$。它允许相邻位置传递，不允许左右端在一步内直接传递。矩阵各行和均为$\frac{3}{4}$，各列和也均为$\frac{3}{4}$。行和用于后面的最大强度界，列和用于总量的更新，这两个条件在一般矩阵中不能互换。

以$e_{0}$为初始状态，并且不再加入输入，一步后得到$(\frac{1}{2},\frac{1}{4},0)$，两步后得到$(\frac{5}{16},\frac{3}{16},\frac{1}{16})$。右端最初没有影响，一步后仍没有，两步后出现了正值，因为存在从左端经过中点到右端的路径。总量依次为1、$\frac{3}{4}$和$\frac{9}{16}$，符合每一步乘以$\frac{3}{4}$的结果。最大值下降与支持范围扩大可以同时发生；“影响变小”和“影响变广”不是互相否定的描述。

命题二十七之四：空间传递的历史公式

一般历史公式为：

$$u_n=K^n u_0+\sum_{j=1}^n K^{n-j}v_j$$

证明与固定比例版本相同，只需用矩阵乘法替代标量乘法。该公式把空间传递和时间年龄结合起来：某次输入经历越多次更新，就经过越多次K作用；它可能衰弱，也可能沿允许路径传播。对不同K，这种传播具有不同形状。

若把有向边$j\to i$定义为$K_{ij}$>0，那么$(K^t)_{ij}>0$当且仅当存在一条从j到i、长度恰为t的有向行走。证明来自矩阵幂的展开：每一项对应一条中间位置序列，等于沿路边权之积；所有项非负，所以总和为正恰好要求至少有一条全为正边的路径。这里允许重复位置，故使用“行走”比要求不重复顶点的“简单路径”更准确。

非负性在这个证明中不可省略。若允许正负作用，不同路径贡献可能抵消，即使存在路径也未必出现非零结果。因此，支持传播定理不是一个对任何网络都成立的直觉，而是依赖非负模型的具体结论。把假设写清楚，后续扩展到抑制和干涉时，才知道哪些旧结果需要重新证明。

六、范围扩张与稳定性可以同时成立

定义剖面的无穷范数为$\lVert u\rVert_{\infty}=\max _{x\in X}|u(x)|$。假设K非负，且每一行元素之和不超过ρ，其中$0\le \rho <1$。那么对任意实向量z，有$\lVert Kz\rVert_{\infty}\le \rho \lVert z\rVert_{\infty}$。证明是对每一行取绝对值：$|\sum _j K_{ij}z_j|\le \sum _jK_{ij}|z_j|\le \rho \lVert z\rVert_{\infty}$；再对i取最大值。

命题二十七之五：有界输入与状态上界

如果每次输入满足$\lVert v_t\rVert_{\infty}\le B$，历史公式立即给出

$$\lVert u_n\rVert_\infty\le\rho^n\lVert u_0\rVert_\infty+B\frac{1-\rho^n}{1-\rho}$$

证明只需对历史公式应用三角不等式和幂次界，再求有限几何级数。它说明在持续有界输入下，状态不会无上界增长。没有输入时，初始影响以不超过$\rho ^{n}$的速度衰减。

现在比较两个由相同K驱动的过程u和w，初始状态与输入可以不同。相减后应用相同估计，得到

$$\lVert u_n-w_n\rVert_\infty\le\rho^n\lVert u_0-w_0\rVert_\infty+\sum_{j=1}^n\rho^{n-j}\lVert v_j-z_j\rVert_\infty$$

若两组输入每步差异至多ε，那么输入误差造成的偏差不超过$\varepsilon\frac{1-\rho^n}{1-\rho}$。这是一条可用于确定计算精度和测量精度的实际界限。

稳定并不意味着剖面永不变化，也不意味着系统一定接近某个有价值的目标。它只保证某种大小不会失控，或初始误差不会被无限放大。若ρ接近一，长期误差上界$\frac{\varepsilon}{1-\rho}$仍可能很大。因此，一个形式上满足稳定条件的模型，在实际任务中仍可能对测量噪声过于敏感。研究者需要根据允许误差选择参数范围，而不是把“稳定”当成一张无限通行证。

还应注意，最大行和小于一是一个足够条件，并非所有稳定矩阵都必须满足它。某些矩阵的最大行和超过一，长期行为仍可能衰减。本书选择这一条件，是因为它便于直接证明、易于代码检查，并为最小研究提供透明边界。若后续要扩大可用矩阵类别，可以进入谱半径与其他范数的分析，但不能把尚未开展的推广混入本章已经证明的范围。

对固定非负输入v，级数$u^*=\sum_{j=0}^{\infty}K^jv$按上述界收敛，并满足$u^{*}=Ku^{*}+v$。若另一个状态$w^*$也满足同一等式，则$\lVert u^{*}-w^{*}\rVert_{\infty}\le \rho \lVert u^{*}-w^{*}\rVert_{\infty}$；因$\rho <1$，只能有$u^{*}=w^{*}$。因此平衡状态存在且唯一。这个证明同时说明，平衡不是凭直觉寻找的静止点，而是反复更新能够接近的对象。对于固定输入，把任意轨迹与平衡轨迹比较，还得到$\lVert u_n-u^*\rVert_\infty\le\rho^n\lVert u_0-u^*\rVert_\infty$，所以收敛速度也有明确上界。

七、重叠、范围和参数误差的进一步后果

组合之外，我们还需要一个能够比较两次影响究竟重叠多少的量。定义$\Omega(u,v)=\sum_x\min\{u(x),v(x)\}$，称作重叠量。它非负、对称，并且不超过u和v各自的总量。重叠量不是简单计算两个支持集合的交集大小，因为很弱的尾部和很强的中心不应得到相同权重。两个支持完全相同的剖面，也可以具有不同的重叠强度。

对于任意非负实数a、b，有$|a-b|=a+b-2\min\{a,b\}$。逐位置相加，即得$\lVert u-v\rVert_{1}=M_X(u)+M_X(v)-2\Omega (u,v)$。这是一个严格等式，把总量、重叠和差异联系起来。若两个状态具有相同总量，那么它们的差异越大，重叠越小。它仍然没有把所有差异压缩成唯一研究标准，而是提供了一种有确定含义的比较方式。

例如$e_{0}$与$e_{2}$没有重叠，其一范数距离为二；$e_{0}$与宽伞h的重叠量为二分之一，总量分别为一和二，故距离也是二。两个距离相同的比较具有不同原因：前者全部分离，后者部分重叠但总量不同。若应用关心“覆盖是否相同”，与关心“总影响是否相同”，应使用不同指标，或者把两个指标同时报告。单一评分很容易把这些机制差别再次封装掉。

还可以对范围传播给出几何界。假设存在$\ell \ge 0$，使$K_{ij}$>0时必有$d(i,j)\le \ell$。设初始支持为A，且后续没有新输入。那么$K^tu$的支持包含于所有距A不超过$t\ell$的位置集合。证明沿上一节的正贡献行走展开：若某位置在第t步为正，就存在一个初始正位置和长度为t的正边行走；每一步距离不超过ℓ，由三角不等式得到总距离不超过$t\ell$。

这个界不保证球内每个位置都出现影响，因为路径可能被缺失边阻断；它也不保证所有有影响位置具有相同强度。它只排除了传播速度超过给定上界。若初始伞支持在中心c附近，则其后支持落在相应扩大的球内。把范围视为一个动态量，由此获得了可证明的表达，而不需要先假定每一步结果仍然是规则伞形。

实际记录常以阈值判断“有无影响”。若定义ε有效支持为$u(x)>\varepsilon$的位置，那么随时间变化，有效支持可能先扩大后缩小：新位置逐渐获得少量影响，随后整体衰减到阈值以下。这与严格正值支持不同。对于一个永远为正但不断趋零的尾部，数学支持不会消失，传感器却可能早已无法区分。报告范围时必须说明使用哪一种，否则两个研究者可能只是在阈值上不同，却误以为理论相互矛盾。

最后考虑传递矩阵本身有误差。设K与$\widetilde K$的最大绝对行和均不超过$\rho <1$，且$\lVert K-\widetilde{K}\rVert_{\infty}\le \eta$；两组过程使用相同输入。如果第二组状态始终满足$\lVert w_t\rVert_{\infty}\le C$，则差异递推满足$\lVert u_{t+1}-w_{t+1}\rVert_{\infty}\le \rho \lVert u_t-w_t\rVert_{\infty}+\eta C$。逐步展开后，得到$\rho ^t$倍初始差异，加上$\eta C\frac{1-\rho^t}{1-\rho}$的模型误差界。

这里的C可以由前面的输入有界结论取得。这个结果显示，即使程序执行完全精确，只要K估计有误，预测仍有偏差；当ρ接近一时，小的结构误差可能积累为明显偏差。因而研究者不能只增加数值精度而不检查参数来源。对真实装置的下一步研究，应优先识别哪些矩阵元素最影响任务，再决定把测量资源放在哪里。

这些结果把“更多范围信息”转化成可以比较的成本与收益。保存完整剖面增加了存储与估计工作，却允许区分重叠、传播速度和参数敏感性。是否值得保留，需要由任务决定。数学提供的不是一律越复杂越好的命令，而是一组能够计算省略代价的关系。

这里还能提出一个直接可做的研究题：在传感器数量固定时，怎样选择位置，使目标预测的最坏误差尽可能小？它不是简单寻找当前强度最大的点。某个当前读数很小的位置，可能位于未来传播的关键通道；某个当前强度很大的位置，也可能已经被其他传感器的组合充分代表。研究者可以让AI枚举候选布置，再利用误差界排除明显不合理的方案。

这个题目把最初的对象发明转化成实验设计。原先我们只问怎样表示一次影响，现在需要同时决定怎样观察它、怎样利用有限资源辨认未来变化。即使最后采用的仍是标准线性系统，研究活动也已经从重复计算一个既定问题，推进到重新组织问题、仪器与评价。这样的推进是本书所说的发生能力的一种具体形式。

八、证明、程序和图形各自承担什么

本编附有一个仅依赖Python标准库的实现。核心算例使用Fraction分数，能够精确得到二分之一、十六分之五等数值。程序实现伞剖面生成、逐点相加、固定衰减更新、矩阵传播与观测，也保留后续章节需要的最大合并、饱和组合和归一化组合。它不是大型仿真平台，而是让读者能够独立重跑的最小研究材料。

测试的重点不是把实现逐行复述一遍。次序测试在若干基向量上检查两种更新之差是否符合已证明公式；传播测试核对支持集合的两步变化；稳定性测试在一个有限网格上寻找是否存在违反上界的算例；观测测试特意展示当前读数相同而下一步读数不同的反例。这些测试可以发现实现错误，却不能把有限枚举变成无限范围的证明。

程序和证明的相互关系因此是双向的。证明告诉程序应该满足什么，程序则帮助研究者发现自己可能算错的例子。若程序与证明不一致，不能先决定程序必错，也不能先决定证明必错。应检查输入、索引、定义版本和算术过程。AI参与时尤其需要这种安排，因为它可能在文字证明中使用一套定义，在代码中悄悄采用另一套更容易实现的定义。

图形也有特定作用。画出三个位置的强度变化，可以直观看见范围扩展与峰值降低同时出现；但一条漂亮曲线无法告诉我们它是否来源于实际测量、合成计算或任意插值。因此，图旁必须说明数据来源与规则。对于只有三个位置的模型，把点连成平滑曲线只是视觉辅助，不能暗示我们已经定义了点间连续场。

执行阶段还应保存失败记录。例如单伞集合在相加下不闭合，已经导致对象空间扩大；如果把事件列表无序化，就会丢失时间衰减下的次序效应；如果把矩阵行列方向写反，传播解释会改变。这些失败不是附带的尴尬，而是定义逐步成熟的证据。没有失败记录，后来者只会看到一个看似从天而降的完成品，无法判断哪些选择具有必要性。

九、评估什么，暂时不能评估什么

到这里，我们可以肯定地说，所选状态空间闭合，更新规则保持非负，历史公式成立，次序效应可以精确计算，局部传递可以产生更广支持，在给定收缩条件下还具有稳定界。每一句话都对应一个清楚的数学对象和一段证明。这已经比“有范围的新数能够解释互动”推进了许多，因为它允许他人指出具体哪条假设不适用。

我们还不能肯定地说，这个模型准确描述人体触觉，能够替代现有神经科学模型，或已经构成新的数体系。它仍然是有限非负向量与线性更新的组合。它的研究价值需要通过下一阶段的任务比较来建立：哪些观察会破坏预测，哪些范围信息确有必要，哪些复杂度可以安全封装。若这些问题没有得到回答，再多算例也只是同一规则的重复展示。

从数学生涯的角度，本章展示了一种可以被工具支持的工作方式。AI帮助把一个含混直觉迅速展开为候选定义、算例和证明草稿；研究者与AI共同检查类型、边界、反例和近邻理论。执行成本下降后，关键不是只生成更多同类命题，而是把执行结果用于改变研究问题。下一章将这样做：从“我们已经有一个状态”转向“我们是否观察到了足够的状态”。

这一转向并不需要抛弃已经完成的工作。相反，正因为更新规则已经明确，我们才能严格问出哪些信息允许丢失、哪些同一性不能沿时间继续保持。封装成功与封装失败的界线，会在一个简单而有力量的观测闭合定理中显露出来。它将使本编的数学构造直接回应全书的核心问题：已有能力怎样成为下一层活动的可靠条件。接续者可以改变观察任务，再检验同一封装是否仍然成立，由此生成可以相互比较的研究分支。