第三十四章 数学教育怎样培养典范发生能力
一、把基础知识放回能够产生问题的活动
数学教育不能因AI擅长解题就取消证明训练，也不能因为证明重要就要求每一代学生按同一顺序重演全部历史。真正需要回答的是：哪些训练使学习者能够进入数学活动，哪些训练只是用可重复成绩筛选人，以及工具封装以后，两者的关系怎样改变。基础知识的价值不只在于被记住，还在于能够支持新的区别、构造和判断。
一个学生能够熟练套用定理，却不知道条件为什么必要，他拥有的可能是局部操作能力。另一个学生能够说出漂亮的创新口号，却不能证明一个简单命题，也缺少展开猜想的条件。典范发生能力需要把两者连接：理解已有结构怎样工作，同时能够改变部分构成条件，并承担由此产生的数学后果。
这并不要求初学者直接创造新学科。最初的发生可以很小：给一个熟悉关系删去一条性质，观察哪些结论失效；把通常被看作误差的现象保留下来，检查是否需要新的变量；比较两个都能拟合算例的模型，寻找能把它们区分开的情形。学习者通过这些活动理解，定义不是任意起名，理论也不是未经选择便自然存在的答案集合。
工具封装改变了训练中的时间分配。标准计算可以在必要的理解与核验形成后交由工具支持，省下的时间可以用于解释假设、寻找反例和比较结构。但这种转移需要具体设计。若教师只是减少手算、增加更多同类题目，课堂仍然可能陷入更高速度的重复；若完全取消基本操作，学生又可能失去识别数量关系和异常结果的经验。
因此，教学应根据学习目标安排封装边界。学习某种算法的内部机制时，可以要求展开关键步骤；研究模型后果时，可以允许可靠实现承担常规计算；评价学生能否组织研究时，则应观察他怎样选择工具、检查结果并修订方案。同一工具在不同教学情境中具有不同地位，不宜用统一允许或统一禁止代替课程设计。
从SDE视角看，学生的数学能力显露于差异运行与特征纠缠。课堂中的问题顺序、教师回应、同伴讨论、符号系统和AI建议，都参与能力形成。把教育理解为把现成知识装入个人，就容易忽略这些条件；把教育理解为共同形成新的数学活动，才会认真考察什么安排使学生开始提出原来不会提出的问题。
二、一次改变定义的教学实验
下面是一项供课程试用的教学构想，不是已经完成的教育实验报告。教师给出实数上的关系：两数之差的绝对值不超过一个固定正数时，把它们看作“足够接近”。学生首先检查，这个关系能否直接用来定义同一对象。它具有自反性与对称性，却一般不具有传递性。取三个依次间隔该正数的点，相邻点足够接近，两端点却不满足条件。
这个小例子具有特殊意义。学生并没有只是回答一道预定题目，而是在“近似”与“同一”的冲突处遇到对象构成问题。如果继续把关系称为同一，就需要说明没有传递性的后果；如果要求传递性，则需要修改关系或对象。定义的改变由一个具体障碍推动，创造因此受到数学约束。
AI可以帮助生成更多例子，提出几种修订方案，但学生需要比较其后果。一种方案把所有可以通过有限接近链连接的点视为同类。在整个实数轴上，只要容许足够多的有限小步，任意两点都能连起来，于是所有实数落入同一类。这个结果说明，恢复传递性虽然成功，却可能抹去原来想保留的区别。
另一种方案先划分固定区间，再把同一区间中的点视为同类。这样能够形成等价关系，却引入新的边界问题：两个非常接近的点可能分处边界两侧，被认作不同类；同一区间中的两个点则可能相距较远。学生由此发现，没有一个命名决定能够免费解决全部要求。对象边界、局部接近与整体同一之间存在需要选择的张力。
还可以保留原来的接近关系，不强迫它成为同一性，而把它作为图中的连接或其他关系结构研究。此时问题发生了改变：不再问哪些点是同一个，而问连接怎样组成整体、局部密度怎样影响路径、阈值变化带来什么。既有数学为这些问题提供丰富资源，课堂的任务是使学生知道何时调用它们，并检验是否仍有未被表达的部分。
这项练习没有证明产生了新数学典范，却清楚展示典范发生能力的基础环节：提出要求，构造定义，寻找反例，比较修订，接受取舍。它也使学生体验到，发现一个方案失败并不意味着自己没有创造力。恰恰是失败暴露了需要继续研究的差异，推动对象从模糊直觉走向可讨论结构。
上述接近关系还可以形成一次完整的课堂验证。设阈值为正数，给定两个实数，选择足够大的正整数，把连接两点的线段等分，使每段长度不超过阈值。相邻分点因此满足接近关系，有限条这样的关系就把两点连接起来。这一证明只使用简单分割，却能推翻“传递闭包仍会保留许多局部类别”的直觉。学生应同时说明正阈值和连续可选分点分别起了什么作用。
接着把对象改成有限观测集合，并禁止添加观测以外的中间点，证明就不能照搬。学生可以构造两簇相距较远的点，使每簇内部相连、两簇之间没有连接。这时，同一算法得到多个类别。教师不需要立即引入大量术语，只需追问：改变的究竟是关系规则，还是允许参与连接的对象？这一追问能够帮助学生看见，数学结论不仅依赖公式，也依赖对象域的构成。
最后，让学生说明自己最初究竟想表达什么。如果要描述感受之间的连续影响，有限观测可能遗漏中间过程；如果要对实际记录分类，添加未经观测的点又可能改变任务。数学选择与经验问题由此相遇，但不能相互替代。课程可以让不同小组保留不同目标，再比较各自结构的收益与限制。学生会发现，分化有时来自任务差异，而不是谁没有理解唯一正确答案。
这些步骤可以形成简短而有证据的学习档案：初始定义、反例、证明、对象域改变和任务说明。档案展示的是一次可复核的认识变化，其教育价值比单纯增加难题数量更容易被具体讨论。
三、证明训练与模型比较如何共同展开
在上述练习中，证明和计算应承担不同任务。计算可以快速展示许多点的关系，帮助学生发现连接链导致类别合并；证明则说明为什么任意两个实数都能通过有限小步连接。若只看有限图像，学生可能误以为合并是某种参数巧合；若只接受教师给出的抽象证明，又可能不知道这一结论为何值得关心。两种活动结合，才能把直观、定义和一般性联系起来。
教师可以进一步要求学生明确命题的范围。若对象不再是整个实数轴，而是一组有限观测点，连接类是否仍只有一个？答案取决于点的分布和阈值。学生需要从一般叙述退回具体条件，而不是机械复制刚学会的结论。AI生成的回答若忽略对象改变，就成为一份可以分析的错误材料。
模型比较还需要共同任务。不能因为某个方案更复杂便称其更先进，也不能因为另一个方案更简洁便认定它更好。若任务是稳定分类，固定边界可能方便；若任务是描述相互影响，保留重叠关系可能更合适；若任务要求组合运算，另一些性质又变得重要。学习者需要说明价值判断依赖什么活动，而不是把模型排序看成脱离目的的普遍判断。
课程可以逐渐增加开放程度。开始时由教师给出对象与评价问题；随后让学生自己选择一个条件改变；最后由小组提出要保留的现象与可检验目标。每个阶段都保留足够的完成边界。开放任务如果没有支架，往往使熟悉学术语言的学生占优，而让缺少资源的学生把大量时间花在猜测教师想要什么。
数学史可以帮助学生理解这些活动并非对传统严谨性的背离。但历史材料应服务具体问题，不能只列出伟大人物曾经大胆创新。学生更需要看到一种定义为什么困难，某个反例怎样改变理论，以及新表达如何获得共同体接续。历史中的创造因此成为能够研究的过程，而不是少数天才不可模仿的神秘瞬间。
评价也应同时看正确性与研究质量。一份证明错误的作品不能因想法新颖而被判为数学上正确；一份指出错误并作出有根据修订的作品，则可能展现重要学习。教师需要分别说明结论可靠程度、问题质量和修订能力，让学生知道自己在哪个层次取得进展，而不是用一个总分掩盖所有差异。
四、AI参与条件下怎样观察真实能力
当学生可以借助AI完成作业，提交文本与个人能力之间的关系需要重新研究。最直接的反应是寻找一种无法使用工具的考试环境，这对观察某些基础操作有作用，却不能覆盖未来真实研究中的复合能力。另一种反应是完全接受最终成果，又可能无法辨认学生是否理解自己的选择。两种观察方式都需要，但应对应不同目标。
剑桥大学关于生成式AI与评估的教学指导强调，需要向学生清楚说明允许或限制使用的方式及其理由。由此可以得到一个基本原则：规则应在任务开始前明确，并与学习目标相连。本书提出的开放研究课程不能被理解为允许学生违反所在课程的当期要求。制度之间可能不同，教师和学生都应核对具体规定。
观察复合能力可以采用作品加现场修订的方式。学生提前提交允许使用AI完成的模型与证明，并说明工具参与及核验过程；讨论时教师改变一个条件，要求学生说明已有成果哪里需要重做。现场不一定要求立即证明新定理，而是观察他能否定位依赖、提出检查方法和辨认不确定处。这样的任务比要求背诵最终文本更接近研究能力。
还可以给学生一份故意包含缺口的证明草案，让其组织核验。缺口不宜只是一眼能识别的笔误，而应涉及假设范围、对象改变或错误类比。学生可以使用工具，但必须展示哪条证据支持修订。评价重点是错误如何被发现与处理，而不是工具是否提出了正确答案。
过程记录需要适度。教师没有必要查看学生每次输入，更不应把私人对话、无关资料和探索中的情绪都纳入考核。学生可以提交关键决策记录，保留与作品有关的版本关系。既能说明研究如何推进，又不过度扩大监控，是设计过程评价的重要条件。
还必须处理工具接入差异。如果课程把付费模型性能默认为个人能力，就会放大学生资源差距。学校可以提供共同基础工具，允许替代方案，并使任务主要检验可解释、可复核的活动。对无法获得同等接入的学生，应提供实现同一学习目标的路径。复合能力教育要扩大学习机会，而不能让平台预算成为新的隐形入学门槛。
五、博士训练怎样评价持续研究
博士训练的核心不应从完成可靠研究转向展示工具熟练程度。AI能够参与猜想、检索、推演与写作，反而使博士评价更需要观察研究者怎样组织这些活动。一个学生若能够稳定地产生正确结果，却无法说明研究问题为何成立、主要依赖是什么、何种证据会改变方向，其独立研究能力仍需进一步检验。
这里的独立不是完全不依赖他人或工具。数学研究一直依赖已有理论、指导与合作。更有意义的独立性，是研究者能够在支持条件下承担问题选择与修订责任，知道哪些部分需要外部帮助，并能够把帮助整合成自己理解的研究过程。人—AI复合体中的独立性因此是一种组织与判断的能力，而不是孤立劳动的姿态。
博士评价可以包括一份完整研究作品和几次不同性质的讨论。一次讨论聚焦主要结论及证明，一次追问失败分支和关键选择，一次使用陌生但相关的案例观察迁移。它们不要求学生在所有情境中即时成功，而是让评审看到，面对未知时他怎样建立工作路径。具体学位制度需要由机构正式设计，本书提供的是改革方向，不是自行替换现行程序。
评价贡献时，还要看到维护、反例和形式化工作。一个学生可能没有提出最宏大的猜想，却发现使整个项目成立的定义修订；另一个可能把非正式证明变成可靠公共资源。贡献的重要性不能仅由叙事中的显眼程度决定。评审应查阅相关作品与合作说明，避免把团队负责人能够讲述的整体故事等同于每位成员的贡献。
同时，博士训练必须保留能够完成的路径。若要求每位学生都建立新典范，学位风险会大幅增加，而且评价容易被宏大措辞操纵。研究可以贡献于成熟理论，也可以探索典范候选，二者都需要严谨与原创。鼓励典范发生，是让更多问题能够进入训练，不是把一种高度不确定的成果设为统一毕业门槛。
导师在其中承担制度责任。他需要提供及时反馈，帮助学生辨认任务规模，公开讨论AI使用规则，并在合作中保护学生的学习机会和成果权益。若导师只要求更快产出，却不帮助建立核验与选择机制，工具带来的速度便可能转化为训练质量下降。博士教育的升级必须在指导关系中实际发生。
六、让课程成为可以修订的教育研究
一门培养典范发生能力的课程，应当接受与其主张相称的检验。学生喜欢新形式，不足以证明能力提高；作品看起来丰富，也可能主要来自工具。课程可以在开始与结束时安排结构相近、内容不同的任务，观察学生是否更能识别假设、构造反例、比较模型和解释修订。评价应由明确标准支持，并保留不同学习起点的差异。
课程实验还需要检查负担。如果开放任务使少数学生投入大量额外时间而获得漂亮成果，平均表现提高可能只是劳动增长。教师应了解任务时间、工具成本和支持使用情况，判断教学是否真正改变学习效率与质量。教育创新不能依靠把隐藏成本转嫁给学生来证明成功。
同伴合作也值得观察。小组作品可能掩盖角色固化：一个人负责提出问题，一个人完成计算，其他人只做排版。轮换关键任务、安排个人解释和共同修订，可以帮助每位成员参与较完整的研究过程。但轮换不应机械否认特长；目标是扩大能力接触面，而不是要求所有人以同一方式工作。
还可以保留一小组经过匿名处理的代表作品，邀请其他教师按照同一标准独立判断。若评分差异很大，首先应检查评价标准是否清楚，而不是立即责怪学生表达不足。课程要培养可复核研究，也应让自己的教育判断具有可讨论的根据。
课程之间需要形成连续性。基础课程提供必要语言与证明经验，中级课程增加定义变更与模型比较，高级课程进入开放问题和跨学科合作。每一层都可以使用AI，但使用方式随目标变化。这样，基础训练支持创造，创造活动又反过来赋予基础知识意义，学生不必等到学完全部既有知识才获得提出问题的资格。
教师自身也在这一过程中发生变化。他需要把部分控制权交给真实问题，接受学生或工具提出未预见的路线，并能够公开说明自己尚不确定的地方。这不会削弱教学责任，反而要求更强的组织能力：把意外变成可研究的差异，同时保护课程的完成条件和学生的公平机会。
典范发生教育最终培养的，不是随时宣布革命的人，而是能够把一个模糊可能变成明确对象、让对象产生后果、让后果接受检验，并在失败后继续修订的人。这样的能力可以在成熟数学中推进研究，也可以参与新数学的形成。AI扩大活动范围，教育则要帮助学习者把这种扩大转化为能够持续承担的研究能力。