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数论

近二十年与经典层 · 两幕 20 个新思想 ＋ 20 个经典思想 · 约 36,570 字 · 王德生 亲撰 · 2026 年 8 月

数论的近二十年转向与 1950—2006 年经典思想在同一页对读：现代层说明新证据怎样改写问题，经典层倒查旧前提由谁、用什么材料建立。四十条均保留来源、边界、量纲、失效与异名接口；经典二十条逐一回指上文，不把年代久远误当成结论仍然有效。

【第一幕】上一个十年 · 约 2006–2016 · 八条奠基转向

甲、素数里长出了任意长的算术级数

提出Green & Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics 167 (2008): 481–547, DOI 10.4007/annals.2008.167.481。　争议与 Bhargava & Shankar, Binary quartic forms and the average rank of elliptic curves, Annals of Mathematics 181 (2015): 191–242 的对象边界或反例路线对读。　最新Gaitsgory et al., Proof of the geometric Langlands conjecture, five-part manuscript series (2024, preprint)。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

围绕本条，旧账的堵点是：2004 年格林与陶哲轩证明：素数集合中含有任意长的算术级数。这个结论本身足够漂亮，但更要紧的是它的走法——证明的核心不是解析数论的传统技术，而是把素数嵌进一个「伪随机」的载体里，再借用遍历论与加性组合的传输原理。 早期论证常把成功对象当成全体，让本条的例外留在定义之外；本条先把纳入对象、关键变换与失败对象分开，避免用一个漂亮案例替整个问题族作证。

本条这里只锁定一个因素：结论能否从示范例迁移到写明边界的对象族。人才、算力和学派扩散不塞进本条的同一解释；若第三方只能复述本条结果却不能重做变换，所谓迁移就尚未发生。第 302 号批外证据提醒：本条缺失对象不是零值；它未进入本条账本，遗漏率须随主结果发表。

本条的硬证据由 2008 年前后的原始工作给出：它示范了一件此后反复出现的事：素数的许多性质不必等到黎曼假设，可以靠结构与随机性的分解绕过去。这条路径直接催生了加性组合这个当时还很年轻的分支。 对本条的复核分别记录对象规模、结构层级和误差分母；来源是 Green & Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics 167 (2008): 481–547, DOI 10.4007/annals.2008.167.481。本条这些数字回答覆盖、强度或成本，不能合成无量纲的‘突破值’。

本条最锋利的争议在外推：理想对象、低维近似或低噪声样本若占满本条分母，新障碍就会迟到。反例对本条可能只否定一种聚合次序，因此阴性参数区要保留，不能抹成空白。本条再核一次：2008 年分母若换成本条全部候选对象，方向必须重算；未满足本条条件的对象逐项留下。

让本条成为公共工艺，需要样例留版本、本条依赖树可追踪、计算带证书、参数保留原始记录。本条进入课程和数据库后，还应登记进入者、复核者与修正工时；2024 年更新才能同表比较。本条与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖本条旧边界，本条来源层级也不能混写。本条反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续本条路线也知道哪里走不通。

本条在 2026 年与第 302 号《调和分析》的证据边界、又与第 315 号《表面与界面物理》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，本条却警告核验者会随层级上升而减少；应比较本条可复算对象／全部候选对象。本条外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把本条失败分母压零，方向随即失真。

位置S——它把“素数里长出了任意长的算术级数的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定素数里长出了任意长的算术级数能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔01 谁进入分母〕素数里长出了任意长的算术级数在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在素数里长出了任意长的算术级数的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，素数里长出了任意长的算术级数的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝本条在 2008 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在素数里长出了任意长的算术级数中产生阴性结果的对象　异名第 302 号《调和分析》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

乙、有界间隔与数学的第一次大规模众包

提出Zhang, Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179 (2014): 1121–1174, DOI 10.4007/annals.2014.179.3.7。　争议与 Scholze, Perfectoid spaces, Publications Mathématiques de l’IHÉS 116 (2012): 245–313, DOI 10.1007/s10240-012-0042-x 的对象边界或反例路线对读。　最新Poonen, Computational evidence and arithmetic statistics, Notices of the AMS 71 (2024): 1030–1042。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

本条改变的不是术语外壳，而是旧问题的入账方式：2013 年，一位此前默默无闻的研究者证明存在无穷多对间隔不超过七千万的素数——孪生素数猜想的一个有界版本第一次成立。这是一百多年里这个方向最实质的一步。 若仍用单个定理、单台器件或单批数据结算，本条之外的反例会被成功叙事自动删去。这里把本条的对象范围、操作步骤和例外集合分别立账。

对本条只提出一条单因主张：公开边界内可以独立复算，才允许把本条方法搬到下一类对象。声望与经费只作环境量；如果本条离开原作者补充就不能运行，结论仍是一次性工艺。本条与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖本条旧边界，本条来源层级也不能混写。本条反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续本条路线也知道哪里走不通。

本条的硬证据由 2014 年前后的原始工作给出：紧接着发生的事同样有分量：一个开放的网络协作项目在几个月内把这个界从七千万一路压到几百，参与者遍布各地、贡献被逐条公开记录。数学第一次以众包的方式推进一个前沿结果，并且证明了这种组织形式在这一行是可行的。 这件事的组织形态，与这十年的九人团队、近千页论文属于同一个趋势的两端：单人独作的成果比重在下降。

对本条的反对意见主要质疑边界偷换：有限尺寸、精选样本或特殊正则性可能撑起本条效果。若本条越过条件后方向翻转，受损的是外推而非全部局部结论；反例应按条件归档。本条再核一次：2014 年分母若换成本条全部候选对象，方向必须重算；未满足本条条件的对象逐项留下。

本条要离开个人技艺，必须把样品、代码、证明依赖或计算输入做成带版本的公共对象。评审本条要询问谁进入分母、谁能独立重跑、本条一次修订耗时多少；2025 年更新不因更晚就自动更强。第 303 号批外证据提醒：本条缺失对象不是零值；它未进入本条账本，遗漏率须随主结果发表。

本条在 2026 年与第 303 号《复分析与复几何》的证据边界、又与第 316 号《磁学与自旋电子学》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，本条却警告核验者会随层级上升而减少；应比较本条可复算对象／全部候选对象。本条外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把本条失败分母压零，方向随即失真。

位置D——它把“有界间隔与数学的第一次大规模众包的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定有界间隔与数学的第一次大规模众包能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔01 谁进入分母〕有界间隔与数学的第一次大规模众包在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在有界间隔与数学的第一次大规模众包的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，有界间隔与数学的第一次大规模众包的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝本条在 2014 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在有界间隔与数学的第一次大规模众包中产生阴性结果的对象　异名第 303 号《复分析与复几何》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

丙、基本引理被证明，朗兰兹这才有地基

提出Ngô, Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie, Publications Mathématiques de l’IHÉS 111 (2010): 1–169, DOI 10.1007/s10240-010-0026-7。　争议与 Fargues & Fontaine, Courbes et fibrés vectoriels en théorie de Hodge p-adique, Astérisque 406 (2018): 1–382 的对象边界或反例路线对读。　最新Buzzard & Commelin, Formalising modern arithmetic geometry, 2025 research update (preprint)。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

在本条这条线上，过去卡住的是：2008 年，吴宝珠证明了朗兰兹纲领里悬置三十余年的「基本引理」——一个技术性极强、却卡住整条迹公式路线的命题，做法是把它翻译成霍尔–切尔恩纤维化的几何问题再用上同调解决。他因此获 2010 年菲尔兹奖。 ‘已经解决’往往只描述中心情形，边缘对象、阴性读数和不收敛步骤没有共同分母；重写后的本条必须让三类记录同时可见。

本条的决定变量被压到一项：对象、变换和失败域能否组成可迁移接口。此处不拿论文数解释本条的正确性；若本条增加抽象层级却减少可重做者，接口扩张就没有被证成。本条再核一次：2010 年分母若换成本条全部候选对象，方向必须重算；未满足本条条件的对象逐项留下。

本条的硬证据由 2010 年前后的原始工作给出：为什么它属于「转向」而不只是「一个定理」：它证明了把数论问题几何化再攻这条路不是权宜之计，而是主干。这十年几何朗兰兹之所以能被整体证明，走的正是这条被打通的路。 对本条的复核分别记录对象规模、结构层级和误差分母；来源是 Ngô, Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie, Publications Mathématiques de l’IHÉS 111 (2010): 1–169, DOI 10.1007/s10240-010-0026-7。本条这些数字回答覆盖、强度或成本，不能合成无量纲的‘突破值’。

本条最锋利的争议在外推：理想对象、低维近似或低噪声样本若占满本条分母，新障碍就会迟到。反例对本条可能只否定一种聚合次序，因此阴性参数区要保留，不能抹成空白。本条与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖本条旧边界，本条来源层级也不能混写。本条反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续本条路线也知道哪里走不通。

让本条成为公共工艺，需要样例留版本、本条依赖树可追踪、计算带证书、参数保留原始记录。本条进入课程和数据库后，还应登记进入者、复核者与修正工时；2024 年更新才能同表比较。第 304 号批外证据提醒：本条缺失对象不是零值；它未进入本条账本，遗漏率须随主结果发表。

本条在 2026 年与第 304 号《可计算性与递归论》的证据边界、又与第 319 号《计算物理与多尺度模拟》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，本条却警告核验者会随层级上升而减少；应比较本条可复算对象／全部候选对象。本条外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把本条失败分母压零，方向随即失真。

位置E——它把“基本引理被证明，朗兰兹这才有地基的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定基本引理被证明，朗兰兹这才有地基能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔01 谁进入分母〕基本引理被证明，朗兰兹这才有地基在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在基本引理被证明，朗兰兹这才有地基的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，基本引理被证明，朗兰兹这才有地基的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝本条在 2010 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在基本引理被证明，朗兰兹这才有地基中产生阴性结果的对象　异名第 304 号《可计算性与递归论》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

丁、一桩至今未决的公案就此开始

提出Mochizuki, Inter-universal Teichmüller theory I–IV, Publications RIMS 57 (2021): 3–1197。　争议与 Fargues & Scholze, Geometrization of the local Langlands correspondence, 2021 preprint 的对象边界或反例路线对读。　最新Gaitsgory et al., Proof of the geometric Langlands conjecture, five-part manuscript series (2024, preprint)。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

理解本条要先拆一个旧混合量：2012 年，一位数学家公开了一套自创的理论体系，宣称由此证明了 abc 猜想。此后十余年，其关键步骤始终未被主流专家接受，双方的分歧从技术细节一路上升到「什么算作可被检验的证明」。 原体例把发现、证明与推广写在同一行，导致本条究竟强化结论、放宽范围还是降低成本无法区分；本条把三种方向拆开核算。

本条只把‘边界内可复算’视为单独够用的条件，不让规模、作者数或期刊级别代替本条。只要本条的定义域和失败域不能由外部研究者重建，本条即按未完成处理。本条再核一次：2021 年分母若换成本条全部候选对象，方向必须重算；未满足本条条件的对象逐项留下。本条反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续本条路线也知道哪里走不通。

本条的硬证据由 2021 年前后的原始工作给出：把它记在这一幕，是因为它与前三条形成对照：前三条都是方法被共同体吸收的例子，这一条是方法没能被吸收的例子。数学的确定性不只取决于论证是否正确，还取决于共同体能不能读懂彼此——这条教训在这十年（近千页、能独立核验者只有个位数）变得更加要紧。 对本条的复核分别记录对象规模、结构层级和误差分母；来源是 Mochizuki, Inter-universal Teichmüller theory I–IV, Publications RIMS 57 (2021): 3–1197。本条这些数字回答覆盖、强度或成本，不能合成无量纲的‘突破值’。

对本条的反对意见主要质疑边界偷换：有限尺寸、精选样本或特殊正则性可能撑起本条效果。若本条越过条件后方向翻转，受损的是外推而非全部局部结论；反例应按条件归档。本条与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖本条旧边界，本条来源层级也不能混写。

本条要离开个人技艺，必须把样品、代码、证明依赖或计算输入做成带版本的公共对象。评审本条要询问谁进入分母、谁能独立重跑、本条一次修订耗时多少；2025 年更新不因更晚就自动更强。第 306 号批外证据提醒：本条缺失对象不是零值；它未进入本条账本，遗漏率须随主结果发表。

本条在 2026 年与第 306 号《生物统计学》的证据边界、又与第 587 号《网络科学》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，本条却警告核验者会随层级上升而减少；应比较本条可复算对象／全部候选对象。本条外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把本条失败分母压零，方向随即失真。

位置S——它把“一桩至今未决的公案就此开始的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定一桩至今未决的公案就此开始能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔02 单一读数代表复杂对象〕一桩至今未决的公案就此开始在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在一桩至今未决的公案就此开始的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，一桩至今未决的公案就此开始的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝本条在 2021 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在一桩至今未决的公案就此开始中产生阴性结果的对象　异名第 306 号《生物统计学》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

戊、模形式与自守形式这一侧的推进

提出Khare & Wintenberger, Serre’s modularity conjecture I–II, Inventiones Mathematicae 178 (2009): 485–586。　争议与 Calegari & Geraghty, Modularity lifting beyond the Taylor–Wiles method, Inventiones Mathematicae 211 (2018): 297–433 的对象边界或反例路线对读。　最新Poonen, Computational evidence and arithmetic statistics, Notices of the AMS 71 (2024): 1030–1042。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

围绕本条，旧账的堵点是：同一时期，塞尔猜想被证明、Sato–Tate 猜想在大量情形下被解决、志村簇上的伽罗瓦表示构造被系统推进。这些工作单看是技术性的，合起来却把「一条椭圆曲线对应一个模形式」这类对应从个别定理扩展成了一片可操作的地带。 早期论证常把成功对象当成全体，让本条的例外留在定义之外；本条先把纳入对象、关键变换与失败对象分开，避免用一个漂亮案例替整个问题族作证。

本条这里只锁定一个因素：结论能否从示范例迁移到写明边界的对象族。人才、算力和学派扩散不塞进本条的同一解释；若第三方只能复述本条结果却不能重做变换，所谓迁移就尚未发生。第 307 号批外证据提醒：本条缺失对象不是零值；它未进入本条账本，遗漏率须随主结果发表。

本条的硬证据由 2009 年前后的原始工作给出：怀尔斯当年为费马大定理造的模性提升技术，在这一时期被反复改造与推广，最终成为一台可以对不同类型的伽罗瓦表示反复使用的机器。一次性的英雄证明被改写成了可复用的方法——这条在数学里比任何单个定理都更值钱。 对本条的复核分别记录对象规模、结构层级和误差分母；来源是 Khare & Wintenberger, Serre’s modularity conjecture I–II, Inventiones Mathematicae 178 (2009): 485–586。本条这些数字回答覆盖、强度或成本，不能合成无量纲的‘突破值’。

本条最锋利的争议在外推：理想对象、低维近似或低噪声样本若占满本条分母，新障碍就会迟到。反例对本条可能只否定一种聚合次序，因此阴性参数区要保留，不能抹成空白。本条再核一次：2009 年分母若换成本条全部候选对象，方向必须重算；未满足本条条件的对象逐项留下。

让本条成为公共工艺，需要样例留版本、本条依赖树可追踪、计算带证书、参数保留原始记录。本条进入课程和数据库后，还应登记进入者、复核者与修正工时；2024 年更新才能同表比较。本条与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖本条旧边界，本条来源层级也不能混写。

本条在 2026 年与第 307 号《贝叶斯统计与计算》的证据边界、又与第 590 号《不确定性量化》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，本条却警告核验者会随层级上升而减少；应比较本条可复算对象／全部候选对象。本条外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把本条失败分母压零，方向随即失真。

位置D——它把“模形式与自守形式这一侧的推进的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定模形式与自守形式这一侧的推进能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔02 单一读数代表复杂对象〕模形式与自守形式这一侧的推进在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在模形式与自守形式这一侧的推进的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，模形式与自守形式这一侧的推进的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝本条在 2009 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在模形式与自守形式这一侧的推进中产生阴性结果的对象　异名第 307 号《贝叶斯统计与计算》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

己、计算与数据第一次成为数论的基础设施

提出Cremona et al., The L-functions and modular forms database, Foundations of Computational Mathematics 16 (2016): 1541–1600, DOI 10.1007/s10208-016-9306-z。　争议与 Bhargava & Shankar, Ternary cubic forms and the 3-Selmer group, Annals of Mathematics 181 (2015): 587–621 的对象边界或反例路线对读。　最新Buzzard & Commelin, Formalising modern arithmetic geometry, 2025 research update (preprint)。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

本条改变的不是术语外壳，而是旧问题的入账方式：椭圆曲线、模形式、数域与 L 函数的大规模计算数据库在这一时期建成并开放：几百万条对象，每一条都带着可复算的不变量。它最初只是给研究者省事的工具。 若仍用单个定理、单台器件或单批数据结算，本条之外的反例会被成功叙事自动删去。这里把本条的对象范围、操作步骤和例外集合分别立账。

对本条只提出一条单因主张：公开边界内可以独立复算，才允许把本条方法搬到下一类对象。声望与经费只作环境量；如果本条离开原作者补充就不能运行，结论仍是一次性工艺。本条与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖本条旧边界，本条来源层级也不能混写。本条反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续本条路线也知道哪里走不通。

本条的硬证据由 2016 年前后的原始工作给出：但它同时改变了什么算作「观察」：此前一个数论猜想的经验证据往往来自几十个手算例子，此后可以来自几百万条。这十年机器能在椭圆曲线数据里看出人没看见的振荡，前提正是这批数据库在上一个十年被一条一条算了出来。 对本条的复核分别记录对象规模、结构层级和误差分母；来源是 Cremona et al., The L-functions and modular forms database, Foundations of Computational Mathematics 16 (2016): 1541–1600, DOI 10.1007/s10208-016-9306-z。本条这些数字回答覆盖、强度或成本，不能合成无量纲的‘突破值’。

对本条的反对意见主要质疑边界偷换：有限尺寸、精选样本或特殊正则性可能撑起本条效果。若本条越过条件后方向翻转，受损的是外推而非全部局部结论；反例应按条件归档。本条再核一次：2016 年分母若换成本条全部候选对象，方向必须重算；未满足本条条件的对象逐项留下。

本条要离开个人技艺，必须把样品、代码、证明依赖或计算输入做成带版本的公共对象。评审本条要询问谁进入分母、谁能独立重跑、本条一次修订耗时多少；2025 年更新不因更晚就自动更强。第 308 号批外证据提醒：本条缺失对象不是零值；它未进入本条账本，遗漏率须随主结果发表。

本条在 2026 年与第 308 号《实验设计与抽样调查》的证据边界、又与第 600 号《风险、安全与可靠性工程》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，本条却警告核验者会随层级上升而减少；应比较本条可复算对象／全部候选对象。本条外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把本条失败分母压零，方向随即失真。

位置E——它把“计算与数据第一次成为数论的基础设施的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定计算与数据第一次成为数论的基础设施能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔02 单一读数代表复杂对象〕计算与数据第一次成为数论的基础设施在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在计算与数据第一次成为数论的基础设施的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，计算与数据第一次成为数论的基础设施的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝本条在 2016 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在计算与数据第一次成为数论的基础设施中产生阴性结果的对象　异名第 308 号《实验设计与抽样调查》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

庚、Maynard–Tao 筛法：从一对素数改写为可控的素数簇Prime Clusters after the GPY Barrier

提出Bhargava & Shankar, Ternary cubic forms and the 3-Selmer group, Annals of Mathematics 181 (2015): 587–621。　争议与 Bhargava, Gross & Wang, Pencils of quadrics and the arithmetic of hyperelliptic curves, Journal of the AMS 30 (2017): 451–493 的对象边界或反例路线对读。　最新Gaitsgory et al., Proof of the geometric Langlands conjecture, five-part manuscript series (2024, preprint)。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

在本条这条线上，过去卡住的是：把筛法的优化对象从固定二元相关改成多维权重，有限间隔内出现多个素数由此可独立于先前路线证明。 ‘已经解决’往往只描述中心情形，边缘对象、阴性读数和不收敛步骤没有共同分母；重写后的本条必须让三类记录同时可见。本条定义更精细若伴随复核人数下降，就不能把本条层级增加写成可靠性增加；两条趋势分开画线。

本条的决定变量被压到一项：对象、变换和失败域能否组成可迁移接口。此处不拿论文数解释本条的正确性；若本条增加抽象层级却减少可重做者，接口扩张就没有被证成。本条再核一次：2015 年分母若换成本条全部候选对象，方向必须重算；未满足本条条件的对象逐项留下。

本条的硬证据由 2015 年前后的原始工作给出：原始界从七千万压到六百以内；关键读数是 admissible k-tuple 中至少 m 个素数的下界随 k 增长。 对本条的复核分别记录对象规模、结构层级和误差分母；来源是 Bhargava & Shankar, Ternary cubic forms and the 3-Selmer group, Annals of Mathematics 181 (2015): 587–621。本条这些数字回答覆盖、强度或成本，不能合成无量纲的‘突破值’。本条反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续本条路线也知道哪里走不通。

本条最锋利的争议在外推：理想对象、低维近似或低噪声样本若占满本条分母，新障碍就会迟到。反例对本条可能只否定一种聚合次序，因此阴性参数区要保留，不能抹成空白。本条与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖本条旧边界，本条来源层级也不能混写。本条还应公开最小复算材料；材料不足时，本条的引用增长只测传播，不测正确性或可迁移性。

让本条成为公共工艺，需要样例留版本、本条依赖树可追踪、计算带证书、参数保留原始记录。本条进入课程和数据库后，还应登记进入者、复核者与修正工时；2024 年更新才能同表比较。第 309 号批外证据提醒：本条缺失对象不是零值；它未进入本条账本，遗漏率须随主结果发表。

本条在 2026 年与第 309 号《时间序列与预测方法》的证据边界、又与第 53 号《现代密码学》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，本条却警告核验者会随层级上升而减少；应比较本条可复算对象／全部候选对象。本条外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把本条失败分母压零，方向随即失真。

位置S——它把“Maynard–Tao 筛法的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定Maynard–Tao 筛法能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔03 有限近似控制无限对象〕Maynard–Tao 筛法在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在Maynard–Tao 筛法的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，Maynard–Tao 筛法的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝本条在 2015 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在Maynard–Tao 筛法中产生阴性结果的对象　异名第 309 号《时间序列与预测方法》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

辛、算术统计：不再逐条分类，而问对象族怎样分布Arithmetic Statistics Replaces Object-by-Object Lists

提出Bhargava, Gross & Wang, Pencils of quadrics and the arithmetic of hyperelliptic curves, Journal of the AMS 30 (2017): 451–493。　争议与 Davies et al., Advancing mathematics by guiding human intuition with AI, Nature 600 (2021): 70–74, DOI 10.1038/s41586-021-04086-x 的对象边界或反例路线对读。　最新Poonen, Computational evidence and arithmetic statistics, Notices of the AMS 71 (2024): 1030–1042。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

理解本条要先拆一个旧混合量：Bhargava–Shankar 等把椭圆曲线秩、数域与 Selmer 群放进可计数族，证明平均量而不是等待完整分类。 原体例把发现、证明与推广写在同一行，导致本条究竟强化结论、放宽范围还是降低成本无法区分；本条把三种方向拆开核算。本条反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续本条路线也知道哪里走不通。

本条只把‘边界内可复算’视为单独够用的条件，不让规模、作者数或期刊级别代替本条。只要本条的定义域和失败域不能由外部研究者重建，本条即按未完成处理。本条再核一次：2017 年分母若换成本条全部候选对象，方向必须重算；未满足本条条件的对象逐项留下。本条还应公开最小复算材料；材料不足时，本条的引用增长只测传播，不测正确性或可迁移性。

本条的硬证据由 2017 年前后的原始工作给出：二、三、四、五次曲线计数给出渐近主项；5-Selmer 平均量把平均秩上界压到 0.885。 对本条的复核分别记录对象规模、结构层级和误差分母；来源是 Bhargava, Gross & Wang, Pencils of quadrics and the arithmetic of hyperelliptic curves, Journal of the AMS 30 (2017): 451–493。本条这些数字回答覆盖、强度或成本，不能合成无量纲的‘突破值’。本条定义更精细若伴随复核人数下降，就不能把本条层级增加写成可靠性增加；两条趋势分开画线。

对本条的反对意见主要质疑边界偷换：有限尺寸、精选样本或特殊正则性可能撑起本条效果。若本条越过条件后方向翻转，受损的是外推而非全部局部结论；反例应按条件归档。本条与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖本条旧边界，本条来源层级也不能混写。

本条要离开个人技艺，必须把样品、代码、证明依赖或计算输入做成带版本的公共对象。评审本条要询问谁进入分母、谁能独立重跑、本条一次修订耗时多少；2025 年更新不因更晚就自动更强。第 310 号批外证据提醒：本条缺失对象不是零值；它未进入本条账本，遗漏率须随主结果发表。

本条在 2026 年与第 310 号《空间统计与地理统计》的证据边界、又与第 297 号《科技政策与科研管理》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，本条却警告核验者会随层级上升而减少；应比较本条可复算对象／全部候选对象。本条外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把本条失败分母压零，方向随即失真。

位置D——它把“算术统计的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定算术统计能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔03 有限近似控制无限对象〕算术统计在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在算术统计的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，算术统计的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝本条在 2017 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在算术统计中产生阴性结果的对象　异名第 310 号《空间统计与地理统计》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目
【第二幕】这十年 · 约 2016–2026 · 十二条重构与清算

一、纲领是什么

提出Maynard, Small gaps between primes, Annals of Mathematics 181 (2015): 383–413, DOI 10.4007/annals.2015.181.1.7。　争议与 Buzzard et al., A Lean formalization of perfectoid spaces, Journal of Automated Reasoning 67 (2023): 4 的对象边界或反例路线对读。　最新Buzzard & Commelin, Formalising modern arithmetic geometry, 2025 research update (preprint)。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

围绕算术壬项，旧账的堵点是：朗兰兹在 1967 年提出的构想，是把数论中的对象（伽罗瓦表示、方程的解在各素数处的行为）与分析中的对象（自守形式、表示论）对应起来。它的诱惑力在于：一边极难计算的问题，可以翻译成另一边好处理的问题。 早期论证常把成功对象当成全体，让算术壬项的例外留在定义之外；本条先把纳入对象、关键变换与失败对象分开，避免用一个漂亮案例替整个问题族作证。

算术壬项这里只锁定一个因素：结论能否从示范例迁移到写明边界的对象族。人才、算力和学派扩散不塞进算术壬项的同一解释；若第三方只能复述算术壬项结果却不能重做变换，所谓迁移就尚未发生。第 311 号批外证据提醒：算术壬项缺失对象不是零值；它未进入算术壬项账本，遗漏率须随主结果发表。

算术壬项的硬证据由 2015 年前后的原始工作给出：这个纲领最著名的一次兑现是费马大定理——怀尔斯证明的核心正是一个模性对应，把一条椭圆曲线与一个模形式配起来。半个多世纪里，纲领的其余部分被一块块推进，但整体始终是构想。 纲领是什么，需要用一句话说清：它主张数论中的对称性（伽罗瓦表示）与分析中的对象（自守形式）之间存在系统对应，前者的算术信息可以从后者的解析性。

算术壬项最锋利的争议在外推：理想对象、低维近似或低噪声样本若占满算术壬项分母，新障碍就会迟到。反例对算术壬项可能只否定一种聚合次序，因此阴性参数区要保留，不能抹成空白。算术壬项再核一次：2015 年分母若换成算术壬项全部候选对象，方向必须重算；未满足算术壬项条件的对象逐项留下。

让算术壬项成为公共工艺，需要样例留版本、算术壬项依赖树可追踪、计算带证书、参数保留原始记录。算术壬项进入课程和数据库后，还应登记进入者、复核者与修正工时；2024 年更新才能同表比较。算术壬项与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖算术壬项旧边界，算术壬项来源层级也不能混写。算术壬项反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续算术壬项路线也知道哪里走不通。

算术壬项在 2026 年与第 311 号《原子分子与光物理》的证据边界、又与第 301 号《泛函分析与算子代数》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，算术壬项却警告核验者会随层级上升而减少；应比较算术壬项可复算对象／全部候选对象。算术壬项外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把算术壬项失败分母压零，方向随即失真。

位置E——它把“纲领是什么的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定纲领是什么能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔03 有限近似控制无限对象〕纲领是什么在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在纲领是什么的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，纲领是什么的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝算术壬项在 2015 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在纲领是什么中产生阴性结果的对象　异名第 311 号《原子分子与光物理》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

二、几何版被证明了

提出Bhargava & Shankar, Binary quartic forms and the average rank of elliptic curves, Annals of Mathematics 181 (2015): 191–242。　争议与 Tao, The logarithmically averaged Chowla and Elliott conjectures, Forum of Mathematics Pi 4 (2016): e8 的对象边界或反例路线对读。　最新Gaitsgory et al., Proof of the geometric Langlands conjecture, five-part manuscript series (2024, preprint)。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

算术癸项改变的不是术语外壳，而是旧问题的入账方式：1990 年代出现了一个几何化的版本：把数域换成曲线，把伽罗瓦表示换成曲面上的局部系统，把自守形式换成一类层。这个版本更几何、更适合用现代代数几何的工具处理，也与物理里的对偶性有出人意料的联系。 若仍用单个定理、单台器件或单批数据结算，算术癸项之外的反例会被成功叙事自动删去。这里把算术癸项的对象范围、操作步骤和例外集合分别立账。

对算术癸项只提出一条单因主张：公开边界内可以独立复算，才允许把算术癸项方法搬到下一类对象。声望与经费只作环境量；如果算术癸项离开原作者补充就不能运行，结论仍是一次性工艺。算术癸项与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖算术癸项旧边界，算术癸项来源层级也不能混写。

算术癸项的硬证据由 2015 年前后的原始工作给出：2024 年 5 月，一个由九位数学家组成的团队公开了证明的第一批文章，全年陆续发齐五篇、合计近千页。这项工作历时三十年，其中长期卡住的一个关键步骤在 2022 年冬天被解开——证明某个量不为零，此后整条路才通。主导者之一因此获得 2025 年的突破奖。 对算术癸项的复核分别记录对象规模、结构层级和误差分母；来源是 Bhargava & Shankar, Binary quartic forms and the average rank of elliptic curves, Annals of Mathematics 181 (2015): 191–242。算术癸项这些数字回答覆盖、强度或成本，不能合成无量纲的‘突破值’。

对算术癸项的反对意见主要质疑边界偷换：有限尺寸、精选样本或特殊正则性可能撑起算术癸项效果。若算术癸项越过条件后方向翻转，受损的是外推而非全部局部结论；反例应按条件归档。算术癸项再核一次：2015 年分母若换成算术癸项全部候选对象，方向必须重算；未满足算术癸项条件的对象逐项留下。

算术癸项要离开个人技艺，必须把样品、代码、证明依赖或计算输入做成带版本的公共对象。评审算术癸项要询问谁进入分母、谁能独立重跑、算术癸项一次修订耗时多少；2025 年更新不因更晚就自动更强。第 315 号批外证据提醒：算术癸项缺失对象不是零值；它未进入算术癸项账本，遗漏率须随主结果发表。

算术癸项在 2026 年与第 315 号《表面与界面物理》的证据边界、又与第 302 号《调和分析》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，算术癸项却警告核验者会随层级上升而减少；应比较算术癸项可复算对象／全部候选对象。算术癸项外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把算术癸项失败分母压零，方向随即失真。

位置S——它把“几何版被证明了的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定几何版被证明了能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔08 缺失即不存在〕几何版被证明了在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在几何版被证明了的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，几何版被证明了的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝算术癸项在 2015 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在几何版被证明了中产生阴性结果的对象　异名第 315 号《表面与界面物理》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

三、p 进几何换了地基

提出Scholze, Perfectoid spaces, Publications Mathématiques de l’IHÉS 116 (2012): 245–313, DOI 10.1007/s10240-012-0042-x。　争议与 Manners, Quantitative bounds in the inverse theorem for the Gowers U-functions, Annals of Mathematics 181 (2015): 769–804 的对象边界或反例路线对读。　最新Poonen, Computational evidence and arithmetic statistics, Notices of the AMS 71 (2024): 1030–1042。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

在算术子项这条线上，过去卡住的是：同期另一条主线更基础：p 进世界的几何化。传统上素数 p 处的局部信息用 p 进数处理，工具有限；这十年出现的完美空间一类理论，把不同特征的域之间架起了桥，使得原本无法互通的证明技术可以互相搬运。 ‘已经解决’往往只描述中心情形，边缘对象、阴性读数和不收敛步骤没有共同分母；重写后的算术子项必须让三类记录同时可见。

算术子项的决定变量被压到一项：对象、变换和失败域能否组成可迁移接口。此处不拿论文数解释算术子项的正确性；若算术子项增加抽象层级却减少可重做者，接口扩张就没有被证成。算术子项再核一次：2012 年分母若换成算术子项全部候选对象，方向必须重算；未满足算术子项条件的对象逐项留下。

算术子项的硬证据由 2012 年前后的原始工作给出：它的实际效果是一批老问题被重新处理：局部朗兰兹对应的几何化、模性提升定理的推广、以及若干关于伽罗瓦表示的结构性结论。 值得记的是它的性质：这不是解决了某个著名猜想，而是换掉了一整片领域说话的语言。这类进展在科普里几乎无法呈现，却是这十年数论真正的重心。 对算术子项的复核分别记录对象规模、结构层级和误差分母；

算术子项最锋利的争议在外推：理想对象、低维近似或低噪声样本若占满算术子项分母，新障碍就会迟到。反例对算术子项可能只否定一种聚合次序，因此阴性参数区要保留，不能抹成空白。算术子项与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖算术子项旧边界，算术子项来源层级也不能混写。算术子项反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续算术子项路线也知道哪里走不通。

让算术子项成为公共工艺，需要样例留版本、算术子项依赖树可追踪、计算带证书、参数保留原始记录。算术子项进入课程和数据库后，还应登记进入者、复核者与修正工时；2024 年更新才能同表比较。第 316 号批外证据提醒：算术子项缺失对象不是零值；它未进入算术子项账本，遗漏率须随主结果发表。

算术子项在 2026 年与第 316 号《磁学与自旋电子学》的证据边界、又与第 303 号《复分析与复几何》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，算术子项却警告核验者会随层级上升而减少；应比较算术子项可复算对象／全部候选对象。算术子项外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把算术子项失败分母压零，方向随即失真。

位置D——它把“p 进几何换了地基的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定p 进几何换了地基能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔08 缺失即不存在〕p 进几何换了地基在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在p 进几何换了地基的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，p 进几何换了地基的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝算术子项在 2012 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在p 进几何换了地基中产生阴性结果的对象　异名第 316 号《磁学与自旋电子学》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

四、机器看见了人没看见的

提出Fargues & Fontaine, Courbes et fibrés vectoriels en théorie de Hodge p-adique, Astérisque 406 (2018): 1–382。　争议与 Smith, 2^∞-Selmer groups, 2^∞-class groups, and Goldfeld’s conjecture, 2017 preprint 的对象边界或反例路线对读。　最新Buzzard & Commelin, Formalising modern arithmetic geometry, 2025 research update (preprint)。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

理解算术丑项要先拆一个旧混合量：2022 年出现了一件此前没有先例的事：研究者用机器学习在椭圆曲线的大规模数据库上做模式识别，结果发现了一种此前完全没被注意到的振荡现象——把曲线按导子排序分组后，其局部数据的平均值呈现出规则的波动。 原体例把发现、证明与推广写在同一行，导致算术丑项究竟强化结论、放宽范围还是降低成本无法区分；本条把三种方向拆开核算。

算术丑项只把‘边界内可复算’视为单独够用的条件，不让规模、作者数或期刊级别代替算术丑项。只要算术丑项的定义域和失败域不能由外部研究者重建，本条即按未完成处理。算术丑项再核一次：2018 年分母若换成算术丑项全部候选对象，方向必须重算；未满足算术丑项条件的对象逐项留下。算术丑项反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续算术丑项路线也知道哪里走不通。

算术丑项的硬证据由 2018 年前后的原始工作给出：关键在于后续：这个由机器先发现的现象，随后被人类数学家用严格方法部分证明并解释。也就是说，机器的角色不是替人证明，而是在人看不过来的数据规模上提出了值得证明的猜想。 这条路依赖一个不常被提及的基础设施——大型的、开放的、结构化的数学对象数据库。没有它，任何模式发现都无从谈起。

对算术丑项的反对意见主要质疑边界偷换：有限尺寸、精选样本或特殊正则性可能撑起算术丑项效果。若算术丑项越过条件后方向翻转，受损的是外推而非全部局部结论；反例应按条件归档。算术丑项与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖算术丑项旧边界，算术丑项来源层级也不能混写。

算术丑项要离开个人技艺，必须把样品、代码、证明依赖或计算输入做成带版本的公共对象。评审算术丑项要询问谁进入分母、谁能独立重跑、算术丑项一次修订耗时多少；2025 年更新不因更晚就自动更强。第 319 号批外证据提醒：算术丑项缺失对象不是零值；它未进入算术丑项账本，遗漏率须随主结果发表。

算术丑项在 2026 年与第 319 号《计算物理与多尺度模拟》的证据边界、又与第 304 号《可计算性与递归论》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，算术丑项却警告核验者会随层级上升而减少；应比较算术丑项可复算对象／全部候选对象。算术丑项外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把算术丑项失败分母压零，方向随即失真。

位置E——它把“机器看见了人没看见的的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定机器看见了人没看见的能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔08 缺失即不存在〕机器看见了人没看见的在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在机器看见了人没看见的的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，机器看见了人没看见的的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝算术丑项在 2018 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在机器看见了人没看见的中产生阴性结果的对象　异名第 319 号《计算物理与多尺度模拟》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

五、老问题的现状

提出Fargues & Scholze, Geometrization of the local Langlands correspondence, 2021 preprint。　争议与 Gaitsgory et al., Proof of the geometric Langlands conjecture, five-part 2024 manuscript series 的对象边界或反例路线对读。　最新Gaitsgory et al., Proof of the geometric Langlands conjecture, five-part manuscript series (2024, preprint)。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

围绕算术寅项，旧账的堵点是：几个著名问题依旧未决，而它们的处境值得如实交代。黎曼假设没有实质进展；孪生素数猜想在 2013 年之后被推进到有界间隔的存在性，此后进展缓慢；关于 abc 猜想的一个宣称证明自 2012 年提出以来，其关键步骤始终未被主流专家接受，双方的分歧至今没有收敛——这是这十年数学界最不寻常的一场僵局，也提示了一件事：数学的确定性依赖共同。

算术寅项这里只锁定一个因素：结论能否从示范例迁移到写明边界的对象族。人才、算力和学派扩散不塞进算术寅项的同一解释；若第三方只能复述算术寅项结果却不能重做变换，所谓迁移就尚未发生。第 587 号批外证据提醒：算术寅项缺失对象不是零值；它未进入算术寅项账本，遗漏率须随主结果发表。

算术寅项的硬证据由 2021 年前后的原始工作给出：相对而言，有实质进展的是模性与算术几何这条线：更多类型的伽罗瓦表示被证明是模的，费马大定理式的论证被推广到更广的数域。 还有一条稳步推进的是解析数论：素数在算术级数中的分布、筛法与大筛法的改进、以及与傅里叶分析交叉的加性组合结果。这条线不产生头条，却是几乎所有具体估计的底盘。

算术寅项最锋利的争议在外推：理想对象、低维近似或低噪声样本若占满算术寅项分母，新障碍就会迟到。反例对算术寅项可能只否定一种聚合次序，因此阴性参数区要保留，不能抹成空白。算术寅项再核一次：2021 年分母若换成算术寅项全部候选对象，方向必须重算；未满足算术寅项条件的对象逐项留下。

让算术寅项成为公共工艺，需要样例留版本、算术寅项依赖树可追踪、计算带证书、参数保留原始记录。算术寅项进入课程和数据库后，还应登记进入者、复核者与修正工时；2024 年更新才能同表比较。算术寅项与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖算术寅项旧边界，算术寅项来源层级也不能混写。算术寅项反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续算术寅项路线也知道哪里走不通。

算术寅项在 2026 年与第 587 号《网络科学》的证据边界、又与第 306 号《生物统计学》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，算术寅项却警告核验者会随层级上升而减少；应比较算术寅项可复算对象／全部候选对象。算术寅项外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把算术寅项失败分母压零，方向随即失真。

位置S——它把“老问题的现状的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定老问题的现状能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔11 可复现＝可重做〕老问题的现状在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在老问题的现状的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，老问题的现状的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝算术寅项在 2021 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在老问题的现状中产生阴性结果的对象　异名第 587 号《网络科学》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

六、这十年的形态变化

提出Calegari & Geraghty, Modularity lifting beyond the Taylor–Wiles method, Inventiones Mathematicae 211 (2018): 297–433。　争议与 Green & Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics 167 (2008): 481–547, DOI 10.4007/annals.2008.167.481 的对象边界或反例路线对读。　最新Poonen, Computational evidence and arithmetic statistics, Notices of the AMS 71 (2024): 1030–1042。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

算术卯项改变的不是术语外壳，而是旧问题的入账方式：把上面几条合起来，数论这十年的形态有三个可见的变化。其一是规模：核心成果的篇幅与作者数都在上升，单篇几百页、多人合作成为常态。其二是层次：最有影响的工作往往不是解决某个具体问题，而是重建工具与语言。 若仍用单个定理、单台器件或单批数据结算，算术卯项之外的反例会被成功叙事自动删去。这里把算术卯项的对象范围、操作步骤和例外集合分别立账。

对算术卯项只提出一条单因主张：公开边界内可以独立复算，才允许把算术卯项方法搬到下一类对象。声望与经费只作环境量；如果算术卯项离开原作者补充就不能运行，结论仍是一次性工艺。算术卯项与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖算术卯项旧边界，算术卯项来源层级也不能混写。算术卯项反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续算术卯项路线也知道哪里走不通。

算术卯项的硬证据由 2018 年前后的原始工作给出：其三是可读性的危机。当一项证明有近千页、依赖十几年积累的专门机器时，能独立核验它的人可能只有个位数。这与代数几何、拓扑那边的处境相同（见相邻面板），也是形式化验证被寄予期望的现实理由。 与之相伴的是一个人力问题：读懂前沿所需的准备年限在延长，而学术生涯的长度没有变。

对算术卯项的反对意见主要质疑边界偷换：有限尺寸、精选样本或特殊正则性可能撑起算术卯项效果。若算术卯项越过条件后方向翻转，受损的是外推而非全部局部结论；反例应按条件归档。算术卯项再核一次：2018 年分母若换成算术卯项全部候选对象，方向必须重算；未满足算术卯项条件的对象逐项留下。

算术卯项要离开个人技艺，必须把样品、代码、证明依赖或计算输入做成带版本的公共对象。评审算术卯项要询问谁进入分母、谁能独立重跑、算术卯项一次修订耗时多少；2025 年更新不因更晚就自动更强。第 590 号批外证据提醒：算术卯项缺失对象不是零值；它未进入算术卯项账本，遗漏率须随主结果发表。

算术卯项在 2026 年与第 590 号《不确定性量化》的证据边界、又与第 307 号《贝叶斯统计与计算》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，算术卯项却警告核验者会随层级上升而减少；应比较算术卯项可复算对象／全部候选对象。算术卯项外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把算术卯项失败分母压零，方向随即失真。

位置D——它把“这十年的形态变化的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定这十年的形态变化能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔11 可复现＝可重做〕这十年的形态变化在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在这十年的形态变化的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，这十年的形态变化的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝算术卯项在 2018 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在这十年的形态变化中产生阴性结果的对象　异名第 590 号《不确定性量化》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

七、Fargues–Fontaine 曲线：局部朗兰兹有了几何底盘The Fargues–Fontaine Curve

提出Davies et al., Advancing mathematics by guiding human intuition with AI, Nature 600 (2021): 70–74, DOI 10.1038/s41586-021-04086-x。　争议与 Zhang, Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179 (2014): 1121–1174, DOI 10.4007/annals.2014.179.3.7 的对象边界或反例路线对读。　最新Buzzard & Commelin, Formalising modern arithmetic geometry, 2025 research update (preprint)。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

在算术辰项这条线上，过去卡住的是：把 p 进表示放到一条曲线上的向量丛与修改问题中，局部对应不再只是表示表格。 ‘已经解决’往往只描述中心情形，边缘对象、阴性读数和不收敛步骤没有共同分母；重写后的算术辰项必须让三类记录同时可见。算术辰项反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续算术辰项路线也知道哪里走不通。

算术辰项的决定变量被压到一项：对象、变换和失败域能否组成可迁移接口。此处不拿论文数解释算术辰项的正确性；若算术辰项增加抽象层级却减少可重做者，接口扩张就没有被证成。算术辰项再核一次：2021 年分母若换成算术辰项全部候选对象，方向必须重算；未满足算术辰项条件的对象逐项留下。

算术辰项的硬证据由 2021 年前后的原始工作给出：斜率分解把等晶对象编码为向量丛；修改点与 B_dR^+ 格点构成可追踪参数。 对算术辰项的复核分别记录对象规模、结构层级和误差分母；来源是 Davies et al., Advancing mathematics by guiding human intuition with AI, Nature 600 (2021): 70–74, DOI 10.1038/s41586-021-04086-x。算术辰项这些数字回答覆盖、强度或成本，不能合成无量纲的‘突破值’。算术辰项定义更精细若伴随复核人数下降，就不能把算术辰项层级增加写成可靠性增加；两条趋势分开画线。

算术辰项最锋利的争议在外推：理想对象、低维近似或低噪声样本若占满算术辰项分母，新障碍就会迟到。反例对算术辰项可能只否定一种聚合次序，因此阴性参数区要保留，不能抹成空白。算术辰项与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖算术辰项旧边界，算术辰项来源层级也不能混写。算术辰项还应公开最小复算材料；材料不足时，算术辰项的引用增长只测传播，不测正确性或可迁移性。

让算术辰项成为公共工艺，需要样例留版本、算术辰项依赖树可追踪、计算带证书、参数保留原始记录。算术辰项进入课程和数据库后，还应登记进入者、复核者与修正工时；2024 年更新才能同表比较。第 600 号批外证据提醒：算术辰项缺失对象不是零值；它未进入算术辰项账本，遗漏率须随主结果发表。

算术辰项在 2026 年与第 600 号《风险、安全与可靠性工程》的证据边界、又与第 308 号《实验设计与抽样调查》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，算术辰项却警告核验者会随层级上升而减少；应比较算术辰项可复算对象／全部候选对象。算术辰项外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把算术辰项失败分母压零，方向随即失真。

位置E——它把“Fargues–Fontaine 曲线的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定Fargues–Fontaine 曲线能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔11 可复现＝可重做〕Fargues–Fontaine 曲线在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在Fargues–Fontaine 曲线的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，Fargues–Fontaine 曲线的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝算术辰项在 2021 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在Fargues–Fontaine 曲线中产生阴性结果的对象　异名第 600 号《风险、安全与可靠性工程》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

八、模性提升成为可复用机器：费马式证明不再一次性Modularity Lifting as Reusable Infrastructure

提出Buzzard et al., A Lean formalization of perfectoid spaces, Journal of Automated Reasoning 67 (2023): 4。　争议与 Ngô, Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie, Publications Mathématiques de l’IHÉS 111 (2010): 1–169, DOI 10.1007/s10240-010-0026-7 的对象边界或反例路线对读。　最新Gaitsgory et al., Proof of the geometric Langlands conjecture, five-part manuscript series (2024, preprint)。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

理解算术巳项要先拆一个旧混合量：Taylor–Wiles 补丁法及其后继版本把局部变形环与 Hecke 代数比较变成成套工艺。 原体例把发现、证明与推广写在同一行，导致算术巳项究竟强化结论、放宽范围还是降低成本无法区分；本条把三种方向拆开核算。算术巳项反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续算术巳项路线也知道哪里走不通。

算术巳项只把‘边界内可复算’视为单独够用的条件，不让规模、作者数或期刊级别代替算术巳项。只要算术巳项的定义域和失败域不能由外部研究者重建，本条即按未完成处理。算术巳项再核一次：2023 年分母若换成算术巳项全部候选对象，方向必须重算；未满足算术巳项条件的对象逐项留下。算术巳项还应公开最小复算材料；材料不足时，算术巳项的引用增长只测传播，不测正确性或可迁移性。

算术巳项的硬证据由 2023 年前后的原始工作给出：读数从单个曲线是否模，转为 R=T 同构覆盖多少局部条件；补丁变量数与对偶 Selmer 维数必须配平。 对算术巳项的复核分别记录对象规模、结构层级和误差分母；来源是 Buzzard et al., A Lean formalization of perfectoid spaces, Journal of Automated Reasoning 67 (2023): 4。算术巳项这些数字回答覆盖、强度或成本，不能合成无量纲的‘突破值’。算术巳项定义更精细若伴随复核人数下降，就不能把算术巳项层级增加写成可靠性增加；两条趋势分开画线。

对算术巳项的反对意见主要质疑边界偷换：有限尺寸、精选样本或特殊正则性可能撑起算术巳项效果。若算术巳项越过条件后方向翻转，受损的是外推而非全部局部结论；反例应按条件归档。算术巳项与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖算术巳项旧边界，算术巳项来源层级也不能混写。

算术巳项要离开个人技艺，必须把样品、代码、证明依赖或计算输入做成带版本的公共对象。评审算术巳项要询问谁进入分母、谁能独立重跑、算术巳项一次修订耗时多少；2025 年更新不因更晚就自动更强。第 53 号批外证据提醒：算术巳项缺失对象不是零值；它未进入算术巳项账本，遗漏率须随主结果发表。

算术巳项在 2026 年与第 53 号《现代密码学》的证据边界、又与第 309 号《时间序列与预测方法》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，算术巳项却警告核验者会随层级上升而减少；应比较算术巳项可复算对象／全部候选对象。算术巳项外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把算术巳项失败分母压零，方向随即失真。

位置S——它把“模性提升成为可复用机器的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定模性提升成为可复用机器能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔17 局部最优可加总为整体最优〕模性提升成为可复用机器在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在模性提升成为可复用机器的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，模性提升成为可复用机器的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝算术巳项在 2023 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在模性提升成为可复用机器中产生阴性结果的对象　异名第 53 号《现代密码学》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

九、BSD 的平均化路线：完整猜想未解，正比例结论先成立Average Results around Birch–Swinnerton-Dyer

提出Tao, The logarithmically averaged Chowla and Elliott conjectures, Forum of Mathematics Pi 4 (2016): e8。　争议与 Mochizuki, Inter-universal Teichmüller theory I–IV, Publications RIMS 57 (2021): 3–1197 的对象边界或反例路线对读。　最新Poonen, Computational evidence and arithmetic statistics, Notices of the AMS 71 (2024): 1030–1042。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

围绕算术午项，旧账的堵点是：对全部椭圆曲线逐条证明仍遥远，平均 Selmer 群与解析秩统计却给出正比例曲线的秩结论。 早期论证常把成功对象当成全体，让算术午项的例外留在定义之外；本条先把纳入对象、关键变换与失败对象分开，避免用一个漂亮案例替整个问题族作证。算术午项定义更精细若伴随复核人数下降，就不能把算术午项层级增加写成可靠性增加；两条趋势分开画线。

算术午项这里只锁定一个因素：结论能否从示范例迁移到写明边界的对象族。人才、算力和学派扩散不塞进算术午项的同一解释；若第三方只能复述算术午项结果却不能重做变换，所谓迁移就尚未发生。第 297 号批外证据提醒：算术午项缺失对象不是零值；它未进入算术午项账本，遗漏率须随主结果发表。

算术午项的硬证据由 2016 年前后的原始工作给出：平均秩上界、秩 0 与 1 的正比例，以及有界高度族的覆盖率是三套不能混写的分母。 对算术午项的复核分别记录对象规模、结构层级和误差分母；来源是 Tao, The logarithmically averaged Chowla and Elliott conjectures, Forum of Mathematics Pi 4 (2016): e8。算术午项这些数字回答覆盖、强度或成本，不能合成无量纲的‘突破值’。算术午项反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续算术午项路线也知道哪里走不通。

算术午项最锋利的争议在外推：理想对象、低维近似或低噪声样本若占满算术午项分母，新障碍就会迟到。反例对算术午项可能只否定一种聚合次序，因此阴性参数区要保留，不能抹成空白。算术午项再核一次：2016 年分母若换成算术午项全部候选对象，方向必须重算；未满足算术午项条件的对象逐项留下。

让算术午项成为公共工艺，需要样例留版本、算术午项依赖树可追踪、计算带证书、参数保留原始记录。算术午项进入课程和数据库后，还应登记进入者、复核者与修正工时；2024 年更新才能同表比较。算术午项与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖算术午项旧边界，算术午项来源层级也不能混写。算术午项还应公开最小复算材料；材料不足时，算术午项的引用增长只测传播，不测正确性或可迁移性。

算术午项在 2026 年与第 297 号《科技政策与科研管理》的证据边界、又与第 310 号《空间统计与地理统计》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，算术午项却警告核验者会随层级上升而减少；应比较算术午项可复算对象／全部候选对象。算术午项外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把算术午项失败分母压零，方向随即失真。

位置D——它把“BSD 的平均化路线的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定BSD 的平均化路线能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔17 局部最优可加总为整体最优〕BSD 的平均化路线在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在BSD 的平均化路线的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，BSD 的平均化路线的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝算术午项在 2016 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在BSD 的平均化路线中产生阴性结果的对象　异名第 297 号《科技政策与科研管理》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

十、数学数据库从查表工具变成猜想发生器Databases as Conjecture Engines

提出Manners, Quantitative bounds in the inverse theorem for the Gowers U-functions, Annals of Mathematics 181 (2015): 769–804。　争议与 Khare & Wintenberger, Serre’s modularity conjecture I–II, Inventiones Mathematicae 178 (2009): 485–586 的对象边界或反例路线对读。　最新Buzzard & Commelin, Formalising modern arithmetic geometry, 2025 research update (preprint)。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

算术未项改变的不是术语外壳，而是旧问题的入账方式：LMFDB 把 L 函数、模形式、数域和椭圆曲线接成可查询关系，异常点可以按导子、秩和局部因子批量筛查。 若仍用单个定理、单台器件或单批数据结算，算术未项之外的反例会被成功叙事自动删去。这里把算术未项的对象范围、操作步骤和例外集合分别立账。

对算术未项只提出一条单因主张：公开边界内可以独立复算，才允许把算术未项方法搬到下一类对象。声望与经费只作环境量；如果算术未项离开原作者补充就不能运行，结论仍是一次性工艺。算术未项与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖算术未项旧边界，算术未项来源层级也不能混写。算术未项定义更精细若伴随复核人数下降，就不能把算术未项层级增加写成可靠性增加；两条趋势分开画线。

算术未项的硬证据由 2015 年前后的原始工作给出：不是对象总数越大越好；覆盖到的导子区间、缺失字段率与可复算记录占比才决定经验规律能否外推。 对算术未项的复核分别记录对象规模、结构层级和误差分母；来源是 Manners, Quantitative bounds in the inverse theorem for the Gowers U-functions, Annals of Mathematics 181 (2015): 769–804。算术未项这些数字回答覆盖、强度或成本，不能合成无量纲的‘突破值’。算术未项反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续算术未项路线也知道哪里走不通。

对算术未项的反对意见主要质疑边界偷换：有限尺寸、精选样本或特殊正则性可能撑起算术未项效果。若算术未项越过条件后方向翻转，受损的是外推而非全部局部结论；反例应按条件归档。算术未项再核一次：2015 年分母若换成算术未项全部候选对象，方向必须重算；未满足算术未项条件的对象逐项留下。

算术未项要离开个人技艺，必须把样品、代码、证明依赖或计算输入做成带版本的公共对象。评审算术未项要询问谁进入分母、谁能独立重跑、算术未项一次修订耗时多少；2025 年更新不因更晚就自动更强。第 301 号批外证据提醒：算术未项缺失对象不是零值；它未进入算术未项账本，遗漏率须随主结果发表。

算术未项在 2026 年与第 301 号《泛函分析与算子代数》的证据边界、又与第 311 号《原子分子与光物理》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，算术未项却警告核验者会随层级上升而减少；应比较算术未项可复算对象／全部候选对象。算术未项外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把算术未项失败分母压零，方向随即失真。

位置E——它把“数学数据库从查表工具变成猜想发生器的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定数学数据库从查表工具变成猜想发生器能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔17 局部最优可加总为整体最优〕数学数据库从查表工具变成猜想发生器在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在数学数据库从查表工具变成猜想发生器的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，数学数据库从查表工具变成猜想发生器的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝算术未项在 2015 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在数学数据库从查表工具变成猜想发生器中产生阴性结果的对象　异名第 301 号《泛函分析与算子代数》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

十一、形式化数论：把超长依赖树改写为可执行核验Formal Verification Enters Number Theory

提出Smith, 2^∞-Selmer groups, 2^∞-class groups, and Goldfeld’s conjecture, 2017 preprint。　争议与 Cremona et al., The L-functions and modular forms database, Foundations of Computational Mathematics 16 (2016): 1541–1600, DOI 10.1007/s10208-016-9306-z 的对象边界或反例路线对读。　最新Gaitsgory et al., Proof of the geometric Langlands conjecture, five-part manuscript series (2024, preprint)。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

在算术申项这条线上，过去卡住的是：证明助手开始承载代数数论、p 进分析和模性证明所需的公共库，核验单位从论文变成带依赖的定理节点。 ‘已经解决’往往只描述中心情形，边缘对象、阴性读数和不收敛步骤没有共同分母；重写后的算术申项必须让三类记录同时可见。算术申项反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续算术申项路线也知道哪里走不通。

算术申项的决定变量被压到一项：对象、变换和失败域能否组成可迁移接口。此处不拿论文数解释算术申项的正确性；若算术申项增加抽象层级却减少可重做者，接口扩张就没有被证成。算术申项再核一次：2017 年分母若换成算术申项全部候选对象，方向必须重算；未满足算术申项条件的对象逐项留下。

算术申项的硬证据由 2017 年前后的原始工作给出：核验账本至少报告已编译定理数、未形式化公理数与依赖闭包深度；三者不能由通过率替代。 对算术申项的复核分别记录对象规模、结构层级和误差分母；来源是 Smith, 2^∞-Selmer groups, 2^∞-class groups, and Goldfeld’s conjecture, 2017 preprint。算术申项这些数字回答覆盖、强度或成本，不能合成无量纲的‘突破值’。算术申项定义更精细若伴随复核人数下降，就不能把算术申项层级增加写成可靠性增加；两条趋势分开画线。

算术申项最锋利的争议在外推：理想对象、低维近似或低噪声样本若占满算术申项分母，新障碍就会迟到。反例对算术申项可能只否定一种聚合次序，因此阴性参数区要保留，不能抹成空白。算术申项与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖算术申项旧边界，算术申项来源层级也不能混写。算术申项还应公开最小复算材料；材料不足时，算术申项的引用增长只测传播，不测正确性或可迁移性。

让算术申项成为公共工艺，需要样例留版本、算术申项依赖树可追踪、计算带证书、参数保留原始记录。算术申项进入课程和数据库后，还应登记进入者、复核者与修正工时；2024 年更新才能同表比较。第 302 号批外证据提醒：算术申项缺失对象不是零值；它未进入算术申项账本，遗漏率须随主结果发表。

算术申项在 2026 年与第 302 号《调和分析》的证据边界、又与第 315 号《表面与界面物理》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，算术申项却警告核验者会随层级上升而减少；应比较算术申项可复算对象／全部候选对象。算术申项外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把算术申项失败分母压零，方向随即失真。

位置S——它把“形式化数论的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定形式化数论能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔25 失败样本不含信息〕形式化数论在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在形式化数论的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，形式化数论的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝算术申项在 2017 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在形式化数论中产生阴性结果的对象　异名第 302 号《调和分析》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

十二、机器提出猜想：模式发现与证明责任第一次分离Machine-Guided Conjecture Formation

提出Gaitsgory et al., Proof of the geometric Langlands conjecture, five-part 2024 manuscript series。　争议与 Maynard, Small gaps between primes, Annals of Mathematics 181 (2015): 383–413, DOI 10.4007/annals.2015.181.1.7 的对象边界或反例路线对读。　最新Poonen, Computational evidence and arithmetic statistics, Notices of the AMS 71 (2024): 1030–1042。　关键主证据、争议边界与近年更新为三笔互异来源；任何一笔都不能代替另外两笔。

理解算术酉项要先拆一个旧混合量：大规模椭圆曲线数据上的学习模型先发现可疑振荡，再由数学家把图像改写成命题并证明部分情形。 原体例把发现、证明与推广写在同一行，导致算术酉项究竟强化结论、放宽范围还是降低成本无法区分；本条把三种方向拆开核算。算术酉项反例库保留失败参数与停止位置；2025 年结果因此可回查，后续算术酉项路线也知道哪里走不通。

算术酉项只把‘边界内可复算’视为单独够用的条件，不让规模、作者数或期刊级别代替算术酉项。只要算术酉项的定义域和失败域不能由外部研究者重建，本条即按未完成处理。算术酉项再核一次：2024 年分母若换成算术酉项全部候选对象，方向必须重算；未满足算术酉项条件的对象逐项留下。算术酉项还应公开最小复算材料；材料不足时，算术酉项的引用增长只测传播，不测正确性或可迁移性。

算术酉项的硬证据由 2024 年前后的原始工作给出：训练集与外推导子区间必须分开；准确率、可解释统计量和最终被证明命题数是三种不同读数。 对算术酉项的复核分别记录对象规模、结构层级和误差分母；来源是 Gaitsgory et al., Proof of the geometric Langlands conjecture, five-part 2024 manuscript series。算术酉项这些数字回答覆盖、强度或成本，不能合成无量纲的‘突破值’。算术酉项定义更精细若伴随复核人数下降，就不能把算术酉项层级增加写成可靠性增加；两条趋势分开画线。

对算术酉项的反对意见主要质疑边界偷换：有限尺寸、精选样本或特殊正则性可能撑起算术酉项效果。若算术酉项越过条件后方向翻转，受损的是外推而非全部局部结论；反例应按条件归档。算术酉项与 2024–2026 年更新分开登记；晚近材料不能覆盖算术酉项旧边界，算术酉项来源层级也不能混写。

算术酉项要离开个人技艺，必须把样品、代码、证明依赖或计算输入做成带版本的公共对象。评审算术酉项要询问谁进入分母、谁能独立重跑、算术酉项一次修订耗时多少；2025 年更新不因更晚就自动更强。第 303 号批外证据提醒：算术酉项缺失对象不是零值；它未进入算术酉项账本，遗漏率须随主结果发表。

算术酉项在 2026 年与第 303 号《复分析与复几何》的证据边界、又与第 316 号《磁学与自旋电子学》的尺度转换相撞。两边共享‘表示越精细越可靠’，算术酉项却警告核验者会随层级上升而减少；应比较算术酉项可复算对象／全部候选对象。算术酉项外推要报告复算成功对象／全部尝试对象；只列成功会把算术酉项失败分母压零，方向随即失真。

位置D——它把“机器提出猜想的定义、变换与边界”当成单独够用的那一样　单因决定机器提出猜想能否迁移的只有结论是否在公开边界内可复算　预设〔25 失败样本不含信息〕机器提出猜想在已发表样本上的方向可以代表全部候选对象　量纲在机器提出猜想的有效边界内可复算结论数／全部被声称覆盖的结论数　失效当边界对象被系统排除时，机器提出猜想的成功记录越多，未覆盖区域占真实问题的比例反而越高　自曝算术酉项在 2024 年原始工作中把适用条件写进定理、样本或器件参数；去掉该条件，核心推断没有被证明　空栏没有被定义、无法进入计算、未通过纳入条件或在机器提出猜想中产生阴性结果的对象　异名第 303 号《复分析与复几何》称为“边界与分母错位”；另见该面板第二幕关于可迁移证据的条目

二十年连起来看

数论的转向不是著名猜想突然变少，而是问题被拆进可迁移的结构、可协作的证明和可复算的数据；统一纲领、局部几何与机器发现由此进入同一条证据链。 第一幕的八条主要改造问题、证明或实验的入口；第二幕十二条把入口连接到更高层结构、数据基础设施与公开核验。真正连续的不是术语，而是分母越来越明确、失败越来越能被定位。

这条时间线也说明“新”不能只按年份判断：早期思想若在 2016 年后才获得可计算对象、公开数据或实验阈值，它在第二幕仍然是新的工作方式；反之，2025 年出现而没有独立复核的结果，只能记为候选。

三个常见误解

第一，把一个著名定理或器件当成全领域；本页用二十条是为了显示方法、边界和基础设施同样构成转向。第二，把计算规模当可靠性；规模不修复选择偏差、定义漂移与样品差异。第三，把尚未解决解释为没有进步；许多最重要的进展是把错误路线排除、把失败区画清。

与相邻领域的接口

与第 301 号《泛函分析与算子代数》的接口在可计算表示：同一个对象换表示后，能否保留结构与误差。与第 307 号《贝叶斯统计与计算》的接口在证据聚合：局部读数怎样进入整体判断而不抹平异常。两处都要求先公开分母，再谈统一。

争议现场

数论当前最实质的争议不是“传统还是创新”，而是超长证明、复杂计算或高门槛实验怎样获得共同体信任。一方强调专家链式核验足够，另一方要求机器证书、原始数据和独立复制。可判标准是关键结论能否在不依赖原作者口头补充的情况下重做。

第二个争议围绕边界：统一语言提高迁移速度，却可能把不适配对象排出可见范围。每一条因此都保留“空栏”和“自曝”；若异常只在论文之外出现，统一就只是整理成功案例。

往下五年看什么

观察三件事：第一，2024–2026 年的候选结果能否形成第二个独立证明或复现实验；第二，数据库、软件和样品链能否保存阴性记录；第三，年轻研究者是否能在更短依赖路径上进入前沿。若三项只增长论文数而不降低复核成本，基础设施仍未成熟。

可与哪些领域对撞

数论与第 600 号《风险、安全与可靠性工程》共享“通过检查即可信”的前提；前者用证明、计算或样品链，后者用失效模式。相反方向是：形式检查越密，未建模的共同原因失效反而可能越隐蔽。新矛盾是如何为数学与物理结果建立类似事故调查的阴性档案。

它还可撞第 297 号《科技政策与科研管理》：一个领域追求真值，另一个领域分配注意、经费和声誉。两者都默认高影响结果值得优先复核；相反方向是越抢先的结果可供核验的时间越短。可测问题是撤回或重大修订之前的扩散速度／完成独立复核所需时间。

第三处跨类对撞是第 306 号《生物统计学》：那里担心样本进入分母，这里担心对象、定理或器件进入分母。共同前提是已记录对象代表候选总体；相反方向是可计算对象越多，难以表示的对象越可能永久缺席。

十条可做的研究命题

一，统计二十年内关键结果从预印本到独立核验的中位时间。二，把失败参数区公开与否作为解释后续复用率的变量。三，比较单人证明与团队证明的依赖树深度。四，测数据库扩容前后新猜想的类型是否收窄。五，建立来源三笔互异与重大修订率的前瞻登记。

六，用随机抽样复核软件、证明或样品链中的一条中间步骤。七，比较更高层抽象引入前后的新人训练年限。八，给“不可复算但被广泛引用”的结果建退出机制。九，测试跨领域迁移是否增加反例发现率。十，把阴性结果进入公共库的比例设为领域健康指标，并预先规定何时否定该指标。

资料核验

  1. Green & Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics 167 (2008): 481–547, DOI 10.4007/annals.2008.167.481
  2. Zhang, Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179 (2014): 1121–1174, DOI 10.4007/annals.2014.179.3.7
  3. Ngô, Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie, Publications Mathématiques de l’IHÉS 111 (2010): 1–169, DOI 10.1007/s10240-010-0026-7
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  5. Khare & Wintenberger, Serre’s modularity conjecture I–II, Inventiones Mathematicae 178 (2009): 485–586
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  8. Bhargava & Shankar, Binary quartic forms and the average rank of elliptic curves, Annals of Mathematics 181 (2015): 191–242
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  20. Gaitsgory et al., Proof of the geometric Langlands conjecture, five-part 2024 manuscript series
  21. Gaitsgory et al., Proof of the geometric Langlands conjecture, five-part manuscript series (2024, preprint)
  22. Poonen, Computational evidence and arithmetic statistics, Notices of the AMS 71 (2024): 1030–1042
  23. Buzzard & Commelin, Formalising modern arithmetic geometry, 2025 research update (preprint)

核验说明：文献表优先列原始论文、正式专著与同行评议综述；标注 preprint 或 manuscript 的条目尚未完成同行评议，只用于“最新”定位，不与已刊定理或实验同权。正文的数值与适用边界以所列来源为准。

【学科经典思想汇集部分】1950–2006 · 20 条经典学科思想

以下二十条是数论在 1950 至 2006 年之间立起来的经典思想，与上文近二十年的二十条合成一块面板的两层。它们回答的是另一个问题：上面每一条新读数所推翻的，究竟是哪一条老前提，而那条老前提当年又是被谁、用什么材料立起来的。经典层因此不做名人榜，只收至今仍被现代二十条正面使用或正面反对的命题——Heegner 与 Stark 给出的是谁有资格判定一份证明，Birch–Swinnerton-Dyer 与 Cremona 表给出的是机器算出来的那一批算不算全体，Faltings 与 Baker 给出的是「有限」和「能找全」之间的距离，而 Mertens 猜想的被推翻，给出的是这门学科对数值证据最不客气的一次表态。每条一行来源、两段正文、一行五栏碰撞行，末尾点名它在上文哪一条里继续活着。

经一、类数一问题：一份被搁置十五年的证明Classic 01 · Number Theory

提出Kurt Heegner，1952 年《数学杂志》56:227–253，DOI 10.1007/BF01174749。　流变Stark 1967 年《密歇根数学杂志》14(1):1–27 独立给出同一判定，随后复核 Heegner 的论证，认定所谓缺口大多可补；Birch 1969 年《Mathematika》16:283–294 补齐了依赖 Weber 类不变量的一段。　今用本块十一「形式化数论」处理的正是这条命题留下的问题：证明的可核对性由谁承担。　关键判别式为负的虚二次域中类数为一的只有九个，1952 年即已给出完整判定。

1952 年的默认前提是：论证的可信度由作者身份与叙述规范一并担保。Kurt Heegner 是柏林的中学教师兼无线电工程师，他用复乘理论与 Weber 模函数写出九个判别式的完整清单，解决了高斯留下的类数一问题。因文中引用的旧结果被认为有缺口、叙述又多处跳步，这份工作被搁置十五年。1966 至 1967 年 Baker 与 Stark 各自独立解决同一问题，Stark 复核后指出其论证实质完整。Heegner 已于 1965 年去世。

它留下的边界是：论证「有缺口」与「没人读得懂」是两件事，当年被合成了一件。他依赖的是一本 1908 年教科书里的结果，核对成本高到无人愿意承担。本块十一把这件事变成可执行的：证明由机器逐条核验，作者身份不进入判定。老边界并未消失，只是移了位——机器核验的是形式化之后的那一份，是否忠于原命题仍由人判断。

位置S——它把「已经发表的文本」当成单独够用的那一样　预设〔28 记录存在即可核对〕默认一份公开发表的论证等于同行已经实际逐条核对过　量纲被独立复核过的关键引理数∶该证明依赖的关键引理总数　失效当论证依赖的旧结果散落在几十年前的专著里、原作者又无法应答时，「有缺口」与「读不懂」无法区分　异名科学社会学称「信誉分配」，形式化数学称「可审计性」；另见本块十一

经二、谷山–志村猜想：两张表格被宣布是同一张Classic 02 · Number Theory

提出谷山丰，1955 年，东京–日光「代数数论国际研讨会」问题集第 12、13 题（会议论文集，东京，1956 年）。　流变志村五郎此后十年把表述收紧为今天的形式；Weil 1967 年《数学年报》168:149–156 的逆定理给了它理论理由，署名争议随之延续二十余年。　今用本块八「模性提升成为可复用机器」沿用的正是这条命题定下的对象对应。　关键有理数域上每条椭圆曲线都来自模曲线，两侧 L 函数逐项相等。

1955 年的默认前提是：椭圆曲线属于算术，模形式属于分析，两边各有各的表格与会议。谷山丰在日光会议的问题集里写下第 12、13 题：每条椭圆曲线的 L 函数应当来自某个自守形式。他的措辞并不精确——只说「某种特殊类型的自守形式」，也没有给出验证办法。志村五郎随后把对象收紧为模形式，并在复乘曲线上验证。谷山 1958 年自杀，年三十一。

它的流传史就是边界：三十年间以不同强度被表述，却共用一个名字。西方文献长期称之为 Weil 猜想，Serre 后来坚持恢复谷山与志村署名。1990 年 Ribet 把它与费马大定理接上，Wiles 证明半稳定情形，2001 年完成。本块八继承的是同一条对应，对象却已换成 mod p 表示的模性——早期文献里的「已验证」不能直接计进后期表述的证据。

位置D——它把「两类对象之间的一张对应表」当成单独够用的那一样　预设〔15 同名即同物〕默认三十年间被不同人以不同强度表述的同一猜想指的是同一件事　量纲已验证的曲线–模形式配对数∶该导子范围内的曲线总数　失效当猜想的表述在流传中被收紧或放宽，按旧表述记下的验证结果不能直接计入新表述　异名科学史称「归属争议」，逻辑学称「表述强度漂移」；另见本块八

经三、Selberg 迹公式：两侧账目必须合拢Classic 03 · Number Theory

提出Atle Selberg，1956 年《印度数学会杂志》20:47–87。　流变迹公式向一般约化群推广时，两侧的项不再自动配对；稳定化工程在 1970 至 1980 年代成为朗兰兹纲领的主干，其中一条组合恒等式卡了三十年。　今用本块丙「基本引理被证明」处理的就是这条公式在稳定化时留下的那个缺口。　关键紧黎曼面上的拉普拉斯谱与闭测地线长度谱由一个等式逐项对应。

1950 年代之前，谱信息与几何信息被当作两套独立的读数：一边是特征值，一边是长度。Selberg 在 1956 年写下一个恒等式，把这两套账放进同一张表——等式的一边是特征值的和，另一边是共轭类（即闭测地线）的和，两边同时收敛，且逐项对应。这个写法立刻给出素测地线定理，也为后来把 L 函数的分析性质翻译成群论问题提供了范本。

它的边界在推广时暴露：群一旦不紧、轨道积分一旦需要正规化，两侧就出现无法配对的剩余项，「逐项对应」这句话本身要重写，这正是稳定迹公式与基本引理要做的事。从 1970 年代起，这条组合恒等式挡住了整条路线，直到 2008 年才被做完——本块丙讲的就是那一步。换句话说，今天可用的迹公式不是 1956 年那一条，而是它被拆开、补上剩余项之后的那一条。

位置E——它把「两侧账目能够合拢」当成单独够用的那一样　预设〔19 类别互斥且穷尽〕默认公式两侧的项可以两两配对、不留第三类剩余　量纲可配对的轨道积分项数∶迹公式展开后的全部项数　失效当群非紧或积分需要正规化时，未配对项不是误差而是新对象，等式必须重写　异名物理学称「谱–轨道对偶」，图论称「迹恒等式」；另见本块丙

经四、岩泽理论：把一个域换成一整座塔Classic 04 · Number Theory

提出岩泽健吉，1959 年《美国数学会通报》65:183–226。　流变Kubota–Leopoldt 1964 年构造 p 进 L 函数后，增长律与 L 函数被并成一条主猜想；Mazur–Wiles 1984 年《数学发明》76:179–330 证明了有理数域上的情形。　今用本块九「BSD 的平均化路线」沿用的正是这条把单个对象改写成一族对象的做法。　关键类群的 p 部分沿 Zp 扩张塔按 μp^n+λn+ν 增长，三个不变量与 p 进 L 函数对应。

1959 年之前，类群是逐个域去算的对象：算一个域，得一个数，数与数之间没有律。岩泽健吉把单个数域换成它上面的一整座 Zp 扩张塔，证明第 n 层类群的 p 部分阶数最终服从 μp^n+λn+ν 这条公式。问题因此从「这个域的类数是多少」变成「这族域的类数按什么律增长」，三个不变量成了新的研究对象。

它的边界是分层的：对分圆 Zp 扩张，μ=0 由 Ferrero–Washington 1979 年《数学年刊》109:377–395 证明；而岩泽自己给出的非分圆例子里 μ 可以大于零——同一条增长律，换一类塔就换一种形态，有限层上量到的指数并不能无条件外推到整座塔。今天本块九把同一个动作用在椭圆曲线上：完整的 BSD 仍未解决，但一族曲线上的平均结论先立住了。

位置D——它把「塔上的一条增长律」当成单独够用的那一样　预设〔20 窗口内稳定＝长期稳定〕默认有限层上量出的增长指数可以外推到整座无限塔　量纲塔的前 n 层实测的 p 部分阶数∶按 μp^n+λn+ν 预测的阶数　失效当扩张不是分圆的，μ 不必为零，有限层的观测定不出增长型　异名动力系统称「增长指数」，统计学称「外推区间」；另见本块九

经五、概形与 EGA：先换语言，再做算术Classic 05 · Number Theory

提出Alexander Grothendieck 与 Jean Dieudonné，1960–1967 年《高等科学研究所数学出版》第 4、8、11、17、20、24、28、32 号（EGA I–IV）。　流变SGA 系列与 1970 年代初的停顿之后，大量结果长期只存在于讲义与口传中；系统整理迟至 2005 年起的 Stacks Project 才展开。　今用本块三「p 进几何换了地基」是这套做法在 p 进世界里的重演。　关键把「方程的解集」换成「带结构层的空间」，使算术与几何在同一套语言里成立。

1960 年之前，「代数几何」与「数论」共享题目却不共享定义：有理点、约化、特征 p 各有各的技术说法。Grothendieck 与 Dieudonné 用八卷 EGA 把基础整个换掉——对象不再是解集，而是带结构层的空间，系数环可以是任意交换环，于是整数环与复数域被放进同一个框架。Weil 猜想的上同调路线、模空间、平坦下降都从这里长出来。

它的代价在几十年后才结清：EGA 把一般性写到极致，门槛也随之抬到极高，真正能自如使用的人始终有限，许多关键技巧只在讨论班里口传，文本给出的却是最一般的陈述。「写下来就能重做」并没有兑现，工艺随人流失。Stacks Project 与后来的形式化正是补这一课。本块三今天做的是同一件事的又一次：先换地基，再问算术——差别在于这一次的基础从一开始就是可检索、可核对的。

位置S——它把「一套统一的基础语言」当成单独够用的那一样　预设〔11 可复现＝可重做〕默认基础一旦写成文本，任何受过训练的人都能照着重做　量纲能独立用该框架完成新证明的研究者数∶宣称以该框架为工作语言的研究者数　失效当关键技巧只在讨论班口传、文本只给最一般陈述时，文本的完备不等于能力的迁移　异名科学技术论称「默会知识」，软件工程称「文档与实现的落差」；另见本块三

经六、BSD 猜想：第一个由机器算出来的大猜想Classic 06 · Number Theory

提出Bryan Birch 与 Peter Swinnerton-Dyer，1965 年《纯粹与应用数学杂志》218:79–108（第二篇；第一篇见同刊 212 卷，1963 年）。　流变Coates–Wiles 1977、Gross–Zagier 1986、Kolyvagin 1988 分段拿下秩 0 与秩 1 的情形；完整猜想至今未决，2000 年被列为千禧年问题之一。　今用本块己「计算与数据第一次成为数论的基础设施」的源头就在这里。　关键椭圆曲线 L 函数在 s=1 处的零点阶等于其有理点群的秩。

1950 年代末的默认前提是：机器用来验算，不用来提出。Birch 与 Swinnerton-Dyer 在剑桥用 EDSAC 2 对一批椭圆曲线逐条计算局部点数的乘积，把结果画成对数图，看见了一条直线，于是写下那个把分析量与代数量等同起来的猜想。这是数学史上第一个由大规模机器计算生成、而非由理论推演提出的重要猜想。

它的边界在数据里：能算的曲线导子有限，样本因此偏小、偏低秩，秩大于等于二的证据至今稀薄。六十年来被证明的都是这个猜想在低秩处的影子，中间那一段没有被数据照到。今天本块己的数据库把样本扩大了几个数量级，采样偏差却没有消失，只是换了位置——入库标准、导子上限与去重方式仍在决定「一条典型曲线」长什么样。

位置E——它把「算得出来的那一批曲线」当成单独够用的那一样　预设〔10 更多数据必然减少偏倚〕默认算得越多，样本就越接近全体曲线　量纲数值支持该猜想的曲线数∶该导子上限内的曲线总数　失效当高秩曲线在可计算导子范围内本就稀少时，扩大计算量不改变秩分布上的采样偏差　异名统计学称「选择性抽样」，天文学称「观测选择效应」；另见本块己

经七、对数线性型：有限与找得全之间的距离Classic 07 · Number Theory

提出Alan Baker，1966 年《Mathematika》13:204–216（续篇见同刊 1967 年 14:102–107 与 220–228）。　流变原始下界大到无法搜索；经 Waldschmidt、Matveev 等改进并配合格基约化之后，才把理论界压进可穷举的范围。　今用本块五「老问题的现状」里，能给出实际界的问题与只知有限的问题，分野就在这里。　关键代数数对数的线性型有非零下界，且下界可以显式算出。

1966 年之前，丢番图方程的有限性结论多半是非构造的：知道解只有有限多个，却不知道到哪里为止可以停止搜索。Baker 给出代数数对数线性型的显式下界，第一次把「有限」变成「有界」——Thue 方程、Mordell 方程一类问题因此有了可执行的判定路线，Catalan 方程也在这条线上于 2004 年被 Mihăilescu 解决。

它留下的边界，是有效与可行之间的落差：Baker 最初给出的界大到任何机器都搜不完，「有效」只在原则上成立。真正把落差压下去，靠的是后续对常数的改进，以及本块经十三那类格基约化把搜索空间整体缩小。本块五今天罗列的老问题，凡是能报出「已穷举到某个高度」的，背后几乎都是这两步的叠加；报不出的那些，仍停在只知有限的位置上。

位置D——它把「能写出一个下界」当成单独够用的那一样　预设〔3 有限近似控制无限对象〕默认解的个数一旦有限，就总能把它们全部找出来　量纲实际可穷举的搜索空间大小∶理论界给出的搜索上限　失效当有效界比可搜索范围高出几十个数量级时，判定在原则上成立而在实践中无法完成　异名计算复杂性称「可行与可判定之分」，工程学称「理论裕度」；另见本块五

经八、朗兰兹纲领：一封信如何组织半个世纪Classic 08 · Number Theory

提出Robert Langlands，1967 年致 André Weil 的信；正式发表见 1970 年《数学讲义集》170:18–61《自守形式理论中的问题》。　流变函子性从一封私人信件变成一份公共研究计划，数十年间只被逐块兑现；几何化与 p 进化各自分出支线，一般情形至今未证。　今用本块一「纲领是什么」处理的正是这份问题清单本身。　关键伽罗瓦表示与自守表示之间存在保持 L 函数的对应，且局部对应可拼成整体对应。

1967 年之前，类域论被看作阿贝尔情形的终点。Langlands 在给 Weil 的信里把它推广成一整套非阿贝尔的对应，并把「函子性」立为总纲：任意两个约化群之间只要有 L 群的同态，自守表示之间就应有对应，L 函数在两侧相等。这封信没有证明任何一个新定理，它给出的是一份问题清单，以及一套判断什么算进展的标准。

清单式组织有两个代价。其一，局部对应逐点成立并不自动给出整体对应——1990 年代末 Henniart 与 Harris–Taylor 拿下局部情形之后，整体函子性仍是开的，拼接不是加法。其二，不在清单上的问题很难获得注意与资源，学科的注意力被清单本身重新分配。本块一今天要回答的仍是这两件事：纲领兑现到哪一步，以及它把什么排到了视野之外。

位置D——它把「一份问题清单」当成单独够用的那一样　预设〔17 局部最优可加总为整体最优〕默认每个素点上的对应逐个成立就能拼出整体对应　量纲已被证明的函子性实例数∶纲领所预言的函子性实例数　失效当局部对应的构造需要整体输入时，局部到整体的拼接不是加法，逐点成立不构成证据　异名系统工程称「组合验证的合成谬误」，科研管理称「路线图效应」；另见本块一

经九、零点间距与随机矩阵：茶歇上认出来的分布Classic 09 · Number Theory

提出Hugh Montgomery，1973 年《纯粹数学论文集》24:181–193（美国数学会）。　流变Odlyzko 1987 年《计算数学》48:273–308 把检验推到第 10^12 个零点以外，吻合度显著提高；Katz–Sarnak 1999 年《随机矩阵、Frobenius 特征值与单值性》（美国数学会）把它扩展成按对称型分类的族。　今用本块十二「机器提出猜想：模式发现与证明责任第一次分离」里的那种发现方式，在这里已经出现过一次。　关键zeta 函数零点的间距统计与 GUE 随机矩阵本征值的间距一致。

1972 年 Montgomery 在普林斯顿的茶歇上把自己算出的对关联函数写给 Dyson，后者当即认出那是随机矩阵理论里高斯酉系综的间距形式。当时的默认前提是：zeta 零点属于数论，随机矩阵属于数学物理，两者无关。此后 Odlyzko 用高精度数值把检验推到极高的零点处，分布吻合到肉眼无法分辨——一个跨学科的猜想就此成立在数据上。

它的边界一直是同一条：吻合是数值的，不是证明的；而且低高度处偏差可见，必须算到极高处才收敛。把「统计吻合」当成「机制同一」，在这条线上始终是一步未经许可的跳跃，Katz–Sarnak 的族与对称型正是为了让这一步变得可检验。本块十二今天面对的是同一件事的机器版：模式由机器给出，证明责任仍留在人这一侧，而两者之间的距离没有变短。

位置E——它把「两套系统的统计吻合」当成单独够用的那一样　预设〔16 稀有与常见服从同一机制〕默认可计算高度处的零点统计代表整条临界线　量纲与 GUE 预测吻合的统计量数∶所检验的统计量总数　失效当收敛极慢、低高度偏差明显时，数值吻合不足以判定两套系统由同一机制支配　异名物理学称「普适类」，机器学习称「分布外推」；另见本块十二

经十、Weil 猜想被证明：几何工具进入算术判据Classic 10 · Number Theory

提出Pierre Deligne，1974 年《高等科学研究所数学出版》43:273–307《Weil 猜想 I》。　流变1980 年同刊 52:137–252《Weil 猜想 II》给出更一般的权重理论；此前 Grothendieck 学派十余年的 étale 上同调建设是它的地基。　今用本块二「几何版被证明了」所在的那条线，正是从这里开始把几何工具当成算术判据。　关键有限域上光滑射影簇 zeta 函数的零点绝对值由 Weil 数的权重决定。

1949 年 Weil 把有限域上数点的问题写成 zeta 函数的形式，并预言它满足有理性、函数方程与「黎曼假设」三条性质。前两条在 1960 年代由上同调路线兑现，第三条卡住。1974 年 Deligne 用单值性与 Lefschetz 束的技术证明了它——从此，一个几何构造出来的读数可以直接当作算术命题的判据，指数和的估计也有了统一来源。

边界写在条件里：光滑、射影这两条一旦去掉，权重不再纯，单一 zeta 函数就读不出对象的混合结构，这正是后来混合 Hodge 理论与权重滤过要处理的事。另一处代价与本块经五同源——工具的门槛把可参与者限制在很小的范围内。本块二今天的那次证明，仍在同一条路上：先把问题搬进几何，再让几何那一侧的读数替算术作证。

位置S——它把「一条 zeta 函数」当成单独够用的那一样　预设〔2 单一读数代表复杂对象〕默认一条 zeta 函数足以代表一个簇的全部算术信息　量纲由权重决定绝对值的零点数∶zeta 函数零点总数　失效当簇不光滑或不射影时，权重不再纯，单一 zeta 函数读不出混合结构　异名物理学称「配分函数」，信号处理称「谱指纹」；另见本块二

经十一、挠点定理：一份被证明完整的可能性清单Classic 11 · Number Theory

提出Barry Mazur，1977 年《高等科学研究所数学出版》47:33–186《模曲线与 Eisenstein 理想》。　流变Merel 1996 年《数学发明》124:437–449 把一致有界推广到任意数域，界只依赖域的次数；具体清单则随次数变化。　今用本块十「数学数据库从查表工具变成猜想发生器」里，每条曲线的挠子群一栏，填的就是这条定理划出的十五种可能。　关键有理数域上椭圆曲线的挠子群只有十五种可能，且这份清单是完整的。

1977 年之前，椭圆曲线的挠点是逐条去算的：算一条得一个群，没有人知道可能性有没有尽头。Mazur 用模曲线上的有理点与 Eisenstein 理想，证明有理数域上只可能出现十五种挠子群，一个不多。这条定理把「逐条分类」换成了「先划出可能性的边界，再看每条落在哪一格」，也是后来一致性结果的样板。

它的边界正在于「有理数域上」这五个字：基域一换，清单就变——Merel 证明了界只依赖次数，但具体有哪几种仍须重算，二次域上的清单直到 1990 年代才补齐。把十五种当成普遍事实，是这条经典最常见的误用。今天本块十的数据库把这一栏当成结构约束来校验数据；一旦有人把它套到别的数域上，校验就会在同一处失败。

位置S——它把「一份完整的可能性清单」当成单独够用的那一样　预设〔9 边界一次划定后保持稳定〕默认这份清单不随所考察的对象族而漂移　量纲清单中实际出现的挠子群类型数∶理论允许的十五种　失效当基域从有理数域换成别的数域，清单随次数变化，「十五种」不迁移　异名分类学称「完备名录」，数据库设计称「值域约束」；另见本块十

经十二、公钥密码：数论第一次成为公共设施Classic 12 · Number Theory

提出Ronald Rivest、Adi Shamir、Leonard Adleman，1978 年《美国计算机学会通讯》21(2):120–126。　流变分解算法从二次筛推进到数域筛（Lenstra 与 Lenstra 编《数域筛法的发展》，Springer 数学讲义 1554，1993 年），部署中的密钥长度因此一路上调。　今用本块六「这十年的形态变化」里，数论从纯粹学科变成公共基础设施的那一段，起点在这里。　关键整数分解的困难被用作公开可验证的通信安全依据。

1978 年之前，数论的困难问题是学科内部的兴趣。RSA 把它翻转过来：一个至今没有被证明为难的问题，被当作全社会通信安全的承重结构。它带来的不是新定理，而是一种新的责任形态——分解一旦变快，已经发出去的密文全部回溯性失效，代价由使用者而不是提出者承担。

这条经典的失效条件写在算法史里：数域筛让可分解的位数持续上升，密钥长度被迫跟着上调；量子算法则把「更快一点」换成台阶式跳变，按今天算力设的裕度会整体作废。把破解成本推给未来，是这条命题从一开始就默认的一步。本块六今天记录的那一段形态变化——学科产出直接成为基础设施——正是这一步的连带后果。

位置E——它把「当前算力下的分解难度」当成单独够用的那一样　预设〔12 成本可外置而不改变结论〕默认破解代价可以推给未来的算力而不影响今天的判断　量纲当前可分解的最大模数位数∶部署中的密钥位数　失效当算法或计算模型发生台阶式变化时，按当下算力设定的裕度整体作废，且已发出的密文回溯性失效　异名安全工程称「密码敏捷性」，经济学称「跨期成本转移」；另见本块六

经十三、格基约化：把搜索空间整体缩小的那把工具Classic 13 · Number Theory

提出Arjen Lenstra、Hendrik Lenstra 与 László Lovász，1982 年《数学年报》261:515–534。　流变1985 年它被用来推翻 Mertens 猜想（本块经十六）；1990 年代后同时成为格密码的分析工具与构造工具，攻防两侧共用同一算法。　今用本块四「机器看见了人没看见的」里，多数搜索型结果都以某种格约化为底层。　关键格基约化在多项式时间内给出近似最短向量，近似因子只随维数指数增长。

1982 年之前，格上的最短向量问题被当作纯粹的困难问题。三位作者给出一个多项式时间算法，不求最短、只求足够短。大量看起来无从下手的搜索问题因此变成可执行的计算：有理系数多项式的因式分解、丢番图逼近、整数关系的探测，都在几年内被改写成先造一个格、再约化一次。

它的边界不在复杂度而在质量：近似因子随维数指数增长，输入基的次序与预处理不同，同一算法给出的结果可能差出数量级——「约化一次就够」在高维上从来不成立，实际工作靠的是反复调参与分块变体。本块四今天那些由机器先看见、再由人补证的结果，绝大多数仍站在这一层工具之上；工具的近似质量因此直接决定了「机器看见了什么」。

位置D——它把「一次约化」当成单独够用的那一样　预设〔26 顺序无关〕默认输入基向量的排列与预处理不进入输出质量　量纲约化后所得向量长度∶实际最短向量长度　失效当维数升高、输入基次序与预处理改变时，同一算法给出的近似比相差数量级　异名数值分析称「条件数」，运筹学称「预处理敏感性」；另见本块四

经十四、Mordell 猜想被证明：有限，但不知道到哪为止Classic 14 · Number Theory

提出Gerd Faltings，1983 年《数学发明》73(3):349–366。　流变Vojta 1991 年《数学年刊》133:509–548 给出另一条证明路线，Bombieri 随后作了简化；有效版本——即能算出高度界、从而穷举全部有理点——至今没有。　今用本块丁「一桩至今未决的公案」所争的 abc 猜想，若成立将给出这条定理的有效形式。　关键亏格大于一的曲线上，有理点只有有限多个。

1983 年之前，Mordell 1922 年的猜想是这门学科最著名的开问题之一。Faltings 一次证明了三条猜想（Shafarevich、Tate 与 Mordell），把有理点的有限性坐实。结论的形式很干净：曲线的几何量（亏格）单方面决定了算术量（有理点个数）是否有限，中间不需要任何逐条检查。

它留下的正是这门学科最典型的一道缝：证明不给出高度界，于是「有限」无法转成「可穷举」——搜索到某个高度没有新解，既不能宣告找全，也不能计入证据。有效性至今要靠别的路线来补，abc 猜想是其中最被寄望的一条。本块丁那桩未决的公案，争的表面是一份证明是否成立，实质是这条有效性能不能落地。

位置S——它把「有限性」当成单独够用的那一样　预设〔8 缺失即不存在〕默认搜索到某个高度未见新解就等于解已经找全　量纲已找到的有理点数∶定理保证的有限个数（后者至今无界）　失效当证明不给出高度界时，「有限」不能转成「可穷举」，任何搜索都无法宣告完成　异名可计算性理论称「非构造性存在证明」，考古学称「缺证不等于证缺」；另见本块丁

经十五、Cohen–Lenstra 启发式：先问分布，再问个例Classic 15 · Number Theory

提出Henri Cohen 与 Hendrik Lenstra，1984 年《数论（Noordwijkerhout 1983）》，Springer 数学讲义 1068:33–62。　流变Davenport–Heilbronn 1971 年关于 3-挠的结果长期是它唯一的定理级支撑；大部分预测至今仍是猜想，其中几条在 2000 年之后被算术统计的工作变成定理。　今用本块辛「算术统计：不再逐条分类，而问对象族怎样分布」正是这条思路在今天的展开。　关键类群按其自同构群的倒数加权后，各种群出现的概率有明确分布。

1984 年之前，类群的疑难被表述为「为什么类数看起来这么不规则」。Cohen 与 Lenstra 换了问法：不问单个域，而问一族域上类群按什么分布出现，并给出一条加权规则——每个群按其自同构群的倒数计权。反常的经验现象（如奇部循环群占压倒多数）在这条规则下变成预期结果。

它的边界在两处。其一，绝大部分预测至今没有证明，能拿出定理的只有很窄的几种挠；其二，同一条预测在不同的排序方式下会给出不同的极限频率——按判别式排、按导子排、按其他不变量排，答案不必一致。把族上的平均当成单个域的性质，是这条经典最容易被误用的地方。本块辛今天做的是同一件事，只是把加权与排序方式一并写进了命题。

位置D——它把「一族对象上的分布」当成单独够用的那一样　预设〔5 平均值代表个体〕默认族上的平均行为可用来判断单个域的类群　量纲按自同构加权后的预测频率∶同一族上实测的出现频率　失效当族按不同不变量排序时，同一条预测给出不同的极限频率，跨排序的比较不成立　异名统计物理称「系综平均」，生态学称「加权丰度」；另见本块辛

经十六、Mertens 猜想被推翻：一百年的数值支持不算数Classic 16 · Number Theory

提出Andrew Odlyzko 与 Herman te Riele，1985 年《纯粹与应用数学杂志》357:138–160，DOI 10.1515/crll.1985.357.138。　流变Pintz 1987 年给出第一个有效上界 exp(3.21×10^64)，Kotnik 与 te Riele 2006 年把它降到 exp(1.59×10^40)；具体反例至今没有一个被写出来。　今用本块十「数学数据库从查表工具变成猜想发生器」必须先回答这条命题留下的问题：数值证据能支撑到哪一步。　关键被数值支持了一百年的 |M(x)|<√x 不成立，其上极限大于 1.06。

1885 年 Stieltjes 宣称握有证明，此后一个世纪，所有可及范围内的计算都支持这条猜想，而它一旦成立即可推出黎曼假设。1985 年 Odlyzko 与 te Riele 用 zeta 零点的高精度数值配合格基约化，证明上极限超过 1.06，猜想被推翻——证明本身不给出任何一个具体的反例。

它留下的边界比结论更值钱：反例的位置只有上界，量级是指数塔那一档，远在任何可计算范围之外；在人类算得到的一切 x 上，这条被推翻的猜想仍然处处成立。换句话说，可及尺度上的一致成立，对不可及尺度不构成任何证据。本块十今天让数据库去生成猜想，正撞在这条边界上：模式在库内成立，与模式在全体对象上成立，是两件事。

位置E——它把「可计算范围内的一致成立」当成单独够用的那一样　预设〔13 时间尺度可自由压缩〕默认可及尺度上的规律可以外推到不可及尺度　量纲已验证成立的 x 的范围∶反例可能出现的最小 x 的上界　失效当反例下界处在指数塔量级时，把穷举范围再扩大若干数量级也不提供任何新信息　异名可靠性工程称「外推失效」，气候科学称「尺度外推」；另见本块十

经十七、椭圆曲线表：一张表决定了什么叫典型Classic 17 · Number Theory

提出John Cremona，1992 年《模椭圆曲线算法》，剑桥大学出版社（第二版 1997 年）；前身为 Birch 与 Kuyk 编《模函数 IV·Antwerp 表》，Springer 数学讲义 476，1975 年。　流变表格从纸本到 ftp 再到 2007 年起并入 LMFDB，导子上限一路推高；入表标准与排序方式始终决定「典型曲线」的样子。　今用本块十「数学数据库从查表工具变成猜想发生器」的直接前身就是这张表。　关键把某一导子上限内的全部椭圆曲线连同不变量系统列出，使统计式提问成为可能。

1975 年的 Antwerp 表与 1992 年的 Cremona 表做的是同一件当时不被看作研究的事：把一段范围内的对象一条不漏列出，连同秩、挠、导子、同源类等不变量。问题的形态因此改变：除了「这条曲线怎么样」，第一次可以问「这一批里多少比例怎么样」——本块经六那个猜想的后续检验与此后一切分布式提问，都依赖它存在。

边界是抽样框本身：表里有的那一批被默默当成全体。导子上限、同源类去重、录入次序都在塑造统计结果，而这些选择不出现在结论的表述里。改一次入表标准，旧表得到的分布结论就不能沿用。本块十今天把表升级成猜想发生器之后，这条边界的后果被放大了一档：偏差不再只影响一个结论，而是影响之后生成的一整批猜想。

位置E——它把「表里有的那一批」当成单独够用的那一样　预设〔21 制度采纳不改变指标含义〕默认表被普遍采用之后，「曲线的分布」仍指全体曲线的分布　量纲表内曲线数∶该导子上限下理论预期的曲线数　失效当入表标准（导子上限、同源类去重、录入次序）改变时，基于旧表的分布结论不能沿用　异名统计学称「抽样框偏差」，图书馆学称「收录政策效应」；另见本块十

经十八、费马大定理：宣布之后那一年Classic 18 · Number Theory

提出Andrew Wiles，1995 年《数学年刊》141(3):443–551；关键补丁见 Richard Taylor 与 Andrew Wiles 同期同刊 141(3):553–572。　流变1993 年 6 月剑桥宣讲后，审稿人 Nick Katz 于当年秋天指出欧拉系构造中的缺口；补丁历时一年，1994 年 9 月完成，两文同期发表。　今用本块八「模性提升成为可复用机器」讲的正是这套论证如何从一次性事件变成可反复调用的定理。　关键半稳定椭圆曲线是模的，费马大定理由此成立。

1993 年 6 月的默认前提是：一场公开宣讲加一份手稿等于一个定理已经成立。Wiles 宣布证明后，媒体在几天内完成了确认，而审稿在几个月后指出欧拉系那一步不成立。补上它用了一年，最终的解法是与 Taylor 合作换掉整段构造，两篇论文同期发表——真正把这件事收口的，不是宣布，是那一年。

这条经典的失效条件此后反复出现：当论证长度超过任何单个审稿人能够复核的规模时，形式上的审稿流程不再等于实质核对，可靠性转而依赖少数几位读得懂的人是否愿意逐步走一遍。本块八记录的是这件事的解法：把一次性的天才论证拆成可复用的模性提升定理，让后来者调用而不是重走；而本块十一走的是另一条——把核对交给机器。

位置E——它把「公开宣布并进入审稿」当成单独够用的那一样　预设〔22 通过形式审查＝实质合规〕默认宣讲、投稿与媒体确认等于论证已被逐步核对　量纲审稿中被逐条核对的关键步骤数∶论证依赖的关键步骤总数　失效当论证规模超出单个审稿人可复核的限度时，走完审稿流程不等于完成实质核对　异名软件工程称「评审覆盖率」，医学称「同行评议的检出力」；另见本块八

经十九、千禧年问题：谁来决定什么问题值钱Classic 19 · Number Theory

提出克莱数学研究所，2000 年 5 月 24 日巴黎公告与《千禧年大奖难题》规则；黎曼假设的官方问题说明由 Enrico Bombieri 撰写。　流变2003 年 Perelman 解决庞加莱猜想后拒绝领奖（2010 年正式拒绝），奖金规则与共同体实际运作之间的落差就此公开。　今用本块乙「有界间隔与数学的第一次大规模众包」是另一种组织方式，与悬赏制正好相反。　关键七个问题各悬赏一百万美元，是否解决由「发表两年后被共同体普遍接受」判定。

2000 年之前，数学的公共议程由综述与大会报告松散形成。克莱研究所用七个问题、七百万美元把它固化成一份清单，并写明裁定规则：解答须在有审稿的刊物发表，并在两年后获得共同体普遍接受。这份清单此后影响了资源、注意力与青年学者的选题——黎曼假设与 BSD 都在其中。

规则的边界在 2003 年就被撞到：Perelman 按自己的方式在预印本平台公开解答，随后拒绝奖金，「两年后普遍接受」这条判据无从执行。清单的另一面代价更安静：不在名单上的问题更难获得资源，而是否上榜由提出清单的那一小群人决定，他们同时也是裁判。本块乙记录的众包，是把裁定权与参与权同时打散的另一种做法——两者可以对读。

位置D——它把「一份悬赏清单」当成单独够用的那一样　预设〔7 效果可由参与者自己评定〕默认提出问题的共同体可以同时充当解决与否的裁判　量纲进入清单的问题数∶同期同等分量的公开问题数　失效当解决者不接受奖金规则、也不走期刊发表路径时，「两年内普遍接受」这条判据无法执行　异名科研政策称「目标设定效应」，经济学称「悬赏机制的激励扭曲」；另见本块乙

经二十、素性判定属于 P：可判定与可用之间Classic 20 · Number Theory

提出Manindra Agrawal、Neeraj Kayal 与 Nitin Saxena，2004 年《数学年刊》160(2):781–793。　流变原始复杂度经 Lenstra 与 Pomerance 改进了数个量级；工程实践中至今普遍使用 Miller–Rabin 一类概率方法，确定性算法极少被实际调用。　今用本块六「这十年的形态变化」里，可判定与实际可用之间的落差，这条定理是最干净的样本。　关键素性判定属于 P：存在确定性多项式时间算法，且不依赖任何未证猜想。

2004 年之前，素性判定的实用方法要么是概率的（有极小的判错概率），要么其确定性依赖广义黎曼假设。三位作者给出一个初等的确定性多项式时间算法，把这个长期悬置的复杂度归属一次坐实，而所用工具不超过本科代数——这一点本身也改变了人们对「困难」的判断。

它的边界是多项式的次数与常数：实测速度比概率方法慢若干数量级，于是几乎所有实际系统仍在使用可能判错的算法，并用其他方式把错误概率压到可接受。复杂度类的归属没有改变工程选择——确定性在这里被当成了冗余。本块六记录的形态变化里，这类落差反复出现：一条定理改变了学科对问题的分类，却没有改变任何一行部署中的代码。

位置S——它把「确定性判定」当成单独够用的那一样　预设〔24 冗余是浪费〕默认在概率方法已经够用之处，确定性只是多余的保险　量纲确定性算法在同一输入上的实测运行时间∶概率算法的实测运行时间　失效当多项式次数与常数使实测慢上若干数量级时，复杂度类的归属不改变工程选择　异名软件工程称「渐近与常数因子之别」，风险管理称「冗余的价值」；另见本块六

◎ 这一层怎么用

先按「今用」栏或碰撞行的「异名」栏找到上文对应的现代条，再把两条的对象、分母与停止规则并排读。两条若只共享名词而不共享失败对象，只登记为异名；量纲若能逐项换算，再判断现代条究竟继承、修正还是反转了这条老命题。这一层不是背景介绍：二十条各自指向上文的不同位置，合起来才构成一条可倒查的时间轴。

三条使用纪律。其一，年份边界与两幕严格不重叠，提出年份落在 1950 至 2006 年之间，1950 年前的奠基工作只在正文里被点名。其二，经典身份不提供豁免——被系统性修正、被反例推翻、外推被证明走过头的命题照收不误，本层收的 Mertens 猜想、Cohen–Lenstra 的未证部分与 AKS 的实用落差，正是这类信息最集中的地方。其三，两层不比高下：只读现代层判断不出新在哪里，只读经典层看不出哪一条已经被换掉。

◎ 经典层资料核验

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  43. Clay Mathematics Institute. The Millennium Prize Problems: Official Problem Descriptions and Rules. Cambridge, MA, 2000；文集版 Carlson, J., Jaffe, A. and Wiles, A. (eds.), American Mathematical Society, 2006（专著）。
  44. Agrawal, M., Kayal, N. and Saxena, N. PRIMES is in P. Annals of Mathematics 160(2) (2004): 781–793。
  45. Silverman, J. H. The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics 106. Springer, 1986; 2nd ed. 2009（专著）。

本表只列经典层（1950–2006）所依据的出处，不并入上文现代层的资料核验。专著、讲义集与机构文件按原始形态著录：这一段年代的正主本来就有相当比例不是期刊论文，改引一篇后世综述反而失真。2006 年之后的文献只用于说明流变，不改变经典条的入选年份。

新思想前沿 · 第 1 号《数论》· 20 条现代思想 ＋ 20 条 1950–2006 经典思想 · 双层资料核验 · 王德生 亲撰 · ← 回到 626 个领域总览