第六章说过一句话：他们两个争的，是一样还没有定型的东西的所有权。这一章把这句话坐实。
微积分的心脏上有一个洞。
算一条曲线在某一点的斜率，两个人的办法都是：取一小段，算出来，再让这一小段「变没」。问题就在这个「变没」。
那一小段，在计算当中是有的——你要拿它去做除法，它不能是零。算完以后它又必须是零——不然结果就不准。
一样东西，在同一道题的两个步骤里，先是不等于零，后是等于零。
莱布尼兹的处理很干脆：这是一种方便的讲法，它比任何给定的数都小，好用就行。他还说过，就算有人在哲学上不承认这种量，也不妨碍把它当成一种简便的说法来算。
牛顿绕着走。他不肯讲那个小东西本身，改讲「最初的比」和「最终的比」——两个量一起趋于消失的时候，它们的比趋向的那个值。这个讲法离今天课本上的极限已经很近了，可是他也没法把「趋向」说清楚。
两个人都知道这里有个洞。两个人都先用起来再说。
用起来的效果好得惊人：行星的轨道、摆的周期、水的流出、梁的弯曲，一算一个准。一样根基不清的东西，结果全对。
1734 年，贝克莱主教出了一本小册子，副题是写给一位不信教的数学家的。
他的招数很聪明：他不碰结果。他承认那些结果都对。他只问一句——你们凭什么？
他说，你们指责神学里的东西说不清，可是你们自己天天在用的这个小东西，到底是有还是没有？它既不是有限的量，又不是零，又不是无；那它是什么？他给了一个流传至今的说法：那是些已经死去的量留下的鬼魂。
他还有更狠的一句，大意是：你们的推导里有两处错，一处把它当成有，一处把它当成没有，两处错正好抵消，所以答案是对的。
这本小册子当时把英国数学界惹得很不痛快，可是没有人能像样地回答他。回答不了，是因为那个洞是真的。
这里值得停一下：一样东西可以用得很准，同时讲不清自己是什么。 这是知识发生时的常态，不是丑闻。第二章讲的「半成不成」那一段，就是这个样子——它还没定型，可它已经在干活了。
洞是分两步补上的。
第一步在 1820 年前后，柯西在巴黎的讲义里把「极限」摆到了正中间：不要问那个小东西是什么，只问一个量能不能要多近有多近地靠向另一个量。他把导数、连续、级数收敛全部拿极限重新定义了一遍。
第二步在十九世纪六七十年代，魏尔斯特拉斯在柏林的课堂上把「要多近有多近」也拆开了：给我任意一个小的界限，我能找到一个范围，让差别落在那个界限里面。今天大学一年级折磨人的那套东西，就是从这儿来的。
到这一步，无穷小被请出了门。微积分终于讲得清自己了，代价是它的讲法跟 1684 年那六页纸、跟 1666 年那册小论文，已经不是一回事。
也就是说：那两个人争了三十年的东西，一百五十年后被人拆掉重装了一遍。
故事还没完。
1960 年前后，一位数学家用现代逻辑的办法，给无穷小重新造了一个严格的身份——那种「比任何正数都小却不是零」的数，可以被正正经经地放进一个扩大了的数系里，规矩不乱。用这一套重新讲微积分，莱布尼兹当年那种写法几乎可以原样照搬。
于是这条线成了这样：
先用，用得很准；被判为不严格，赶出去；一百多年后，换一套工具，请回来。
这一段最值得记住。要是知识真是一座早已摆在那儿的岛，那么「无穷小到底存不存在」这道题应该有一个一次定下的答案。事实上它有过三个答案，而且这三个答案都不是错的——它们各自长在各自那片地上：长在十七世纪的手算里，长在十九世纪对严格性的焦虑里，长在二十世纪的数理逻辑里。
把这条线摆在 1712 年那份报告旁边，滋味很复杂。
那份报告要判的是：一件东西归谁。
而那件东西，在被判归属的时候，还没有说清楚自己是什么；说清楚以后，它已经换了形状；换了形状一百年后，它又长出了另一个形状。
委员会判的是一样正在变的东西。它把一个还在成形的过程，当成了一件可以过户的财产。
这不怪十一个人。当时全欧洲都这么看，两位当事人也这么看。这也是第十一章说的那句话：那一格是整个时代的空格。
你手上要是有一样刚做出来、还说不清自己是什么的东西——一个做法、一个流程、一个还在改的产品——请记住这一章。
它说不清自己，不等于它不成立；它现在归谁，往往比它将来是什么更早被定下来。 这两句话合起来，就是很多争执的根子：产权定得比形状早。
能做的，还是第十二章那三件事：加一把椅子，钉住日子，把地写上。再加一条：别急着替一件还在长的东西下定义，更别急着替它分家。
「还没定型」是什么样子？小区里就有一个。
草坪的两角之间，有人为了抄近道，从草上斜着走了过去。走的人多了，草踩秃了一条，下雨天泥泞，天晴时发白。
这时候问一句：这算不算一条路？
不算：它不在图纸上，物业的清单里没有它，下雨天没法走。
算：每天几百人从这儿过，问路的人被指着它说「从那边穿过去近」。
它就卡在算与不算之间。过两年，物业认了，铺上砖，装了灯——这时候它才成了一条路，有名字，进了图纸。
1684 年的微积分，就处在草被踩秃、砖还没铺的那一段。
这一段有三个特点，认准了很有用：它已经在被人用；它还说不清自己是什么；谁也没法替它定边界。
那两位争的，就是这样一条还没铺砖的小道的所有权。
你手上那件正在成形的东西，多半也在这一段。别人问你「这到底是个什么」，你答不上来——那不是你没想清楚，那是它还没到铺砖的时候。
还有一件事值得停一下看：那个洞，大家带着它用了一百多年。
贝克莱挖苦完以后，并没有人因此不用微积分。欧拉照用，而且用得出神入化；工程师照用，拿它算桥、算船、算炮弹；天文学家照用，拿它算行星的轨道。
他们都知道根基上有个说不清的地方。不过它算出来的东西，一次一次被现实验证是对的。
这就是「正在成形」那一段最奇特的地方：一样东西可以在根基没补好的时候，先把活干了。
这件事在今天也常见。
一种药，药效很确定，可是它为什么起作用，研究了几十年还没完全讲清楚。一种做法，在一个行业里用了很多年，大家都知道它管用，可是没有人能说出一套完整的道理。
碰上这种情况，有两种反应都不对。
一种是：讲不清楚就不许用。——那样的话，微积分要等一百五十年才能用。
另一种是：既然好用，讲不清楚也无所谓。——那样的话，洞永远不会有人去补，而且某一天它会在一个没人料到的地方出事。
准确的态度是那一百年里做事的人的态度：照用，同时承认那里有个洞，并且把它记下来。
后来补洞的人，就是从这些「记下来」开始的。
「照用，同时承认那里有个洞」——这句话可以对着自己手上的东西试一次。
拿一张纸，写下你每天都在用、可是说不清为什么管用的三样东西。
可能是一套做事的习惯：你每天早上先做最难的那件事，效果很好，可是你说不出道理。
可能是一条行业里的老规矩：大家都这么做，你也这么做，出了问题照样这么做。
可能是一个工具、一种方法、一句前辈教的话。
每一样后面，写两行。
第一行：它在哪些时候管用。 尽量具体：什么样的事，什么样的人，什么样的日子。
第二行：它在哪儿可能会出事。 你说不清它为什么管用，就意味着你也说不清它在什么情况下会不管用。猜一猜：换一种事、换一群人、换一个环境，它还灵不灵？
写完，你手上就有了一张「洞的清单」。
这张清单不是要你停用那些东西——照用。它的用处是：哪一天某样东西突然不灵了，你不会一脸茫然，你知道洞在哪儿，知道该从哪儿开始查。
那一百年里用微积分的人，大多数都是这样过来的。补洞的人不多，可是记下洞在哪儿的人多，后来补洞的人就有了起点。
他们争的那样东西，一百五十年后才定型，定型之后又换过一次形状。给还在长的东西分家，分的永远不是它将来的样子。
我手上这件东西，现在能讲清楚它是什么吗：＿＿＿＿＿＿。
它的形状还没定，归属是不是已经定了：＿＿＿＿＿＿。