第四十五章　教材革命：
把定义、定理和公式写回发生过程

45.1 一个知识单元需要显露什么

教材必须压缩知识，否则不可能被携带、阅读和反复使用。问题不在压缩本身，而在压缩以后是否仍保留进入发生关系的通道。如果一个定义只剩标准句式，一个定理只剩结论，一个公式只剩代入方法，学习者可能获得了正确的信息，却不知道这些表达何以成立以及何时需要重开。

本章以“从直接连接到可达关系”为完整示范单元。选择它不是因为数学只剩图结构，而是因为材料简单、边界清楚，可以同时展示概念命名、逻辑推进和场态组织。教师能够用纸卡实施，熟悉形式表达的学生也能够进入关系证明。同一对象因而支持不同层级的发生性认知。

一个教材单元至少需要显露所处理的问题、关键定义、成立条件、核心推演、边界例以及继续使用的方式。它不必把全部历史资料收入正文，却应让读者知道哪些材料可以被省略而不影响当前任务，哪些关系一旦省略就会造成误解。教材编写因此是一项知识结构设计，而不是文字长度管理。

先给出本章构造的结果讲授版。这个版本不是对所有现有教材的真实引用，也不是故意设计的薄弱对照，而是一份包含定义、证明和练习的可用材料。后面的比较必须保留这一点：SDE发生版需要证明新增了什么，不能只靠与一个没有解释的坏教材比较获得优势。

结果讲授版正文如下：在一组对象之间给定直接连接关系。允许对象与自己通过零步相连；两个对象之间若存在一串有限的连续连接，就称它们可达。在无向连接中，可达关系具有自反性、对称性和传递性。自反性由零步路径成立；对称性由反向读取路径成立；传递性由连接两段路径成立。

据此，可以把彼此可达的对象收为同一组。每个对象只属于一个这样的组，不同组之间不存在直接连接。组内并不要求任意两对象直接相邻，而要求它们之间存在允许的路径。三个点排成一条链时，首尾并不直接相邻，却仍然彼此可达，因而属于同一组。

配套练习要求学生判断三点链、两个分离三角形和一个孤立点的分组，解释为什么直接相邻不一定具有传递性，并在连接改为有向时重新检查三个性质。这份材料提供了明确表达与严格理由。学生如果已经具有相应经验，完全可能通过它形成很好的理解，不能先验宣布讲授无效。

教材革命要追问的是：对于尚未建立相应差异与关系的学习者，这些压缩表达是否足以使知识发生？如果不足，怎样补入必要的发生入口，而不是仅加一段热闹故事？同一个结果版在不同学习者那里可能形成不同效果，这也是完整SDE视角要求研究的事情。

因此，本章不把教材分为绝对落后与绝对先进的两类，而研究表达怎样与学习条件接合。结果版可以成为可靠封装，探究版可以打开问题，SDE发生版需要进一步把关键相互规定与重构留下。三者的比较将在相同目标和材料下展开，而不是以篇幅长短判定高下。

45.2 如何呈现D与E而不是添加故事背景

一般探究版可以这样组织：给学生若干颜色和形状不同的卡片，规定颜色相同或形状相同的两张卡可以直接连接。请他们画出连接图，尝试分组，解释组内和组间应当满足什么条件。教师不立即给出可达定义，而引导学生比较不同方案，最后共同整理为前节的关系表达。

这个版本已经具有很强的教学价值。学生不仅听到结论，还参与材料操作、猜想与讨论。本书不能把任何探究活动都说成没有发生，也不能假定只有使用SDE字母才有D和E。真正需要比较的是：哪些关键关系被学生辨认，哪些仍可能在活动中被教师默默决定。

SDE发生版在同一材料上增加三项明确要求。学生先记录自己把“同组”理解成什么，再寻找一个使原理解不能同时满足任务要求的构型，最后说明新定义改变了哪些判断和后续操作。它不是单纯增加活动数量，而是把对象边界、关键差异与整体规范之间的相互规定变成研究对象。

具体任务可以使用三张卡：红圆、红方、蓝方。第一张与第二张因颜色直接连接，第二张与第三张因形状直接连接，第一张与第三张没有直接连接。若原来把同组理解为直接相邻，又要求同组是一种能够稳定分配每张卡的位置关系，就会遇到不能忽视的传递问题。

教师此时不应只说“你们错了，正确答案是可达”。应当让学生明确自己想保留什么。要保留每张卡恰属一组，还是保留组内任意两张都直接连接，或者保留直接连接者不能被分开？不同保留条件会形成不同任务。纠缠中的规范选择由此显露，不再伪装成从材料里自动冒出的唯一答案。

若任务保留直接连接者同组，并希望得到尽可能细的稳定分组，学生就需要研究路径怎样把局部连接承接为整体。D不是卡片移动的全部录像，而是直接关系失配、保留条件选择、路径构造与新分组检验这些关键差异序列。E也不是教室环境，而是对象特征、连接规则、分组要求和公共使用之间的相互规定。

新的S是“可达分组”这一关系的显露，包括可辨认的新概念、能够推演的性质和实际分组结果。它反过来改变学生接下来的操作：不必逐对要求直接相似，而可以沿路径检查；也改变材料的意义：中间卡片成为连接承接点，而不只是另一张具有颜色和形状的纸。

教材应当把这个改变写进正文，而不是只把活动放在课前热身。学生需要完成一句具有实质内容的说明：我们原来把某种关系当成同组，某个构型显示它不能满足哪些要求，因此保留这些条件并改成新的关系。这样的说明把D与E带回S，不让发生过程在标准答案出现以后再次被删除。

添加人物故事、发明年代或趣闻，也可以丰富学习，但它们不自动完成上述工作。发生性教材不要求每个学生重演真实科学史，而要求当前知识成立所需的关系能够被重新进入。历史发生、课堂发生与逻辑证明是不同对象，教材应当利用它们的联系，而不把其中一种当作其余两种的替代。

45.3 把反例与条件写进正文

反例不应只作为章末挑战题出现。它是概念和规律获得边界的重要材料。对可达单元而言，直接相邻不传递的三点链、单向连接不保证对称、限制步数可能破坏传递，分别揭示不同条件的作用。把它们写入正文，可以使定义不再被理解成没有选择和限制的口令。

学生版可以提出第一个检验：把红圆、红方、蓝方按顺序连接。判断“红圆与红方可直接连接，红方与蓝方可直接连接，所以红圆与蓝方可直接连接”是否成立。请指出推断中哪一个关系被保持，哪一个关系被偷偷扩大。这里的错误不是不会背传递性，而是没有固定结论究竟在说哪一种关系。

第二个检验加入方向。设甲可以向乙发送信息，乙可以向丙发送，而没有反向通道。甲可以到达丙，并不意味着丙可以到达甲。若仍希望形成一种对称的同组关系，可以研究彼此都可达的对象。新的条件不是为了保住旧术语，而是明确本次分组要承担怎样的公共辨认。

第三个检验限制最多两步。四点链上，第一点到第三点可以两步到达，第三点到第四点可以一步到达，但第一点到第四点需要三步。这里不能继续使用无限制可达的传递结论。学生可以尝试把预算写进关系，说明两段路径接续以后总预算怎样改变，从反例进入新的表达。

教师说明应当区分三种修改。可以放宽允许步数，保留原来的可达概念；可以保持步数限制，但放弃传递性；也可以把预算作为关系的一部分，研究预算相加下的组合。不同选择各有用途。教材不应让学生误以为出现反例以后只有把条件补到永远正确这一种方式。

单元还需要一个全新的表面任务作为迁移。给出三项工作准备关系，或者几个车站之间的单向通行关系，让学生自行判断应当使用直接关系、单向可达还是双向可达。评分重点不是与原图形是否相像，而是是否核对了任务中真正需要保留的关系。

对于已有形式基础的学生，可以要求证明无向可达是包含直接连接的最小等价关系。任何包含直接连接的等价关系，都因传递性包含全部有限路径端点；可达自身又是等价关系并包含直接连接，因此具有这一最小性。这个证明把“尽可能细的稳定分组”与形式结构接起来，而不是只让学生凭图直觉接受。

对于暂时不能完成一般证明的学生，可以用不同小图反复辨认相同关系，并明确这属于实例支持而非全部证明。学习层级可以不同，证据名称不应混乱。教材让学生知道当前做到哪一步，本身就是根知识教育的一部分。

一组可以直接使用的学生材料

下面给出同一单元的进一步材料。它们是本书设计的纸面任务，不是课堂实测。第一张任务卡写明五个点甲、乙、丙、丁、戊，允许的无向直接连接只有甲乙、乙丙、丁戊。题目要求两件事：先列出所有直接连接，再按“允许沿有限路径行进”的规定分组。学生必须同时保留两份结果，因为这两份结果研究的关系不同。

教师版答案是，直接连接仍只有给定的三条边；按可达关系形成的组为甲乙丙一组、丁戊一组。甲丙没有直接连接，却通过乙可达。这里不把“零步”画成新增的物理边，而是在路径规范中允许每个点到达自身。这个细节能检验学生是否把逻辑规定误作材料中必须额外存在的一根线。

第二张任务卡保留甲乙、乙丙，改为只有甲向乙、乙向丙的单向连接，丁戊也只允许丁向戊。问题不再只问怎么分组，而要求学生先说明分组的目的。若目的在于记录单向可达，就不必强求一种对称的同组关系；若目的在于把能够彼此到达的对象视为一个单位，当前五个点分别成组。这里并不存在一个不说明目的就能接受的唯一“分组答案”。

第三张任务卡把甲乙、乙丙、丙丁、丁戊连成无向链，规定一个人本次最多走两步。甲可以在限制内到丙，丙也可以在限制内到戊，但甲不能在同一次两步预算内到戊。题目要求学生写出一个允许继续推演的替代结论，而不只写“传递性错误”。一种合格回应是：若允许累计四步，则两段可以接续；另一种回应是：保留两步限制，不把该关系当作传递关系。两种回应改变不同条件，应当分别说明。

第四张任务卡不再给点和线，而写三个人共享一个房间，房间同时最多容纳两人。任意两人都可以共同使用，三人却不能同时使用。学生需要判断，能否仅凭两两兼容图得出整体可行；再提出至少一种保留容量信息的表达。这里的迁移不是识别相同图形，而是识别“局部关系不足以恢复整体约束”的同类结构问题。

这些材料形成了一个逐步打开的知识序列：先区分关系，再辨认目的与对称要求，再处理资源预算，最后进入高阶约束。每一步都既能保留已有知识，又能使某种旧表达显出边界。学生的答案不必使用全部SDE术语，但应当让关系改变可被辨认。能否做到这一点，才是本书关心的发生性认知证据。

最后，反例需要进入回写任务。学生修改自己的原定义，标明仍保留的判断与已经撤回的判断，并说明下一次遇到方向或预算变化时应该先检查什么。教材由此不只传递一个完成结论，也传递重新打开结论的方式。可靠封装与可重开接口在同一单元中成立。

45.4 纸本文本、学习任务与智能体如何互接

纸本文本适合提供稳定的概念、证明与范围说明，学习任务使读者实际进入差异与纠缠，智能体则可以根据读者的当前状态提供候选、追问或局部解释。三者的结合不应是把同一段文字复制到三个界面，而应当明确各自承担的发生任务。

以本单元为例，文本给出正式定义与证明，任务包保留初始判断、三点链、方向变化和预算反例，智能体的职责是帮助读者选择适当的下一步，而不是立即把全部答案展示出来。读者若已经能够证明，可以进入新的约束；若混淆直接与可达，则需要回到具体材料。

学习包需要具有版本一致性。卡片编号、连接规则、允许零步与否、图是否有向、预算范围，都必须与正文一致。若正文研究无向可达，任务却默认单向通道，学生的错误可能来自材料失配，而不是理解不足。版本标记与规则说明因此是知识公共性的组成部分，不只是技术管理。

智能体接口也需要明确状态。它可以询问读者当前判断，记录一项关键理由，提供一个与该理由相关的反例，再要求读者决定是否修改。它不能仅根据“我懂了”就给出掌握认证，也不能因为读者不同意预设答案就无限追加诱导。发生性指导需要允许合理的替代任务和边界说明。

对于每次调用，最少应传递当前单元版本、任务目标、已提供材料、学习者的明确回答以及允许使用的支持范围。返回内容则应区分提示、解释、反例、正式结论和未核实候选。没有这些区分，智能体可能在学生尚未建立对象时直接提供高层公式，也可能重复已经完成的练习。

文本、任务包与智能体共同工作的验收，仍应落在学习证据上。读者能否说明关键条件，能否处理未预告的变化，能否在适当情况下独立重开或调用工具，才是重要问题。接口运行顺畅只说明系统可用，不等于教育效果已经成立。

本书当前完成的是这一连接规范和示范单元，不是已经部署的教育智能体。后续实现需要实际系统、运行日志、教师复核与学习研究。不能把一个提示词文档命名为智能体后，就宣称三合一出版已经完成。计划、可运行系统与实际学习结果是三个不同状态。

教材革命最终不是让纸本退出，也不是让AI接管所有解释，而是使稳定文本成为可重开知识的可靠入口，使任务承接实际发生，使工具支持适时进入。三者相互回写，教材才可能从结果存储转向知识发生的公共设施。下一章将把这个单元进一步落实为一堂有明确时间、材料与观察边界的课堂。

章末来源与论证身份

[1][2][4]三门根学科、完整知识与发生性认知定位。[13][16]关系与预算路径的实际数学检查。结果讲授版、一般探究版、SDE发生版均为本书新编材料，不冒充对现行教材的逐字引用或已实施课堂；三合一接口为设计规范，尚未部署智能体。

本次增厚中的构造、条件分析与教学材料为本书的进一步展开，不作为三篇理论底本已经给出的结论。