回到那张网
回到第一篇的网格例子。网格生成是计算数学中的重要工作之一，但并不是整个现代数学的共同起点。这里借它追问一个具体问题：当任务需要表达远距离相互作用时，几何划分、近似函数和相互作用算子应怎样配合？
许多工程计算采用有限元网格，也存在其他离散与无网格方法。讨论相容性时，需要区分网格几何、近似函数空间、求解算法和模型的局域性。下面列出的条件不应被提升为所有数学的公理。
某些网格要求单元内部互不重叠，并以合适方式共享边界；相邻闭单元可以共有边界点。有限元相容性通常还涉及近似空间与变分问题函数空间的关系。算法每步是否合法、目标是否单调改进，则属于具体算法的条件，不能无条件合并为一种普遍相容性要求。
因此，本书原称相容性公理的三项要求，不能作为传统数学的普遍公理。若保留这个名称，只能明确限定为所讨论的一类建模或算法约束，并逐项给出定义。
几何相容与作用局域是不同问题
几何划分相容，不自动推出模型只能有局域作用。需要另行查看双线性型、积分核或其他相互作用规则。
即使单元内部不重叠，基函数支集仍可跨单元重叠，非局域算子也可以把远处自由度耦合起来。因此，不能从单元几何直接推出影响只沿相邻边逐格传播。
局域微分算子在给定点附近使用函数的局部信息，但由它构成的方程如何传播影响，还取决于方程类型与初边值条件。算子局域性、有限传播速度和数值网格相容性，不能相互代替。
问题在于：世界上有大量最重要的现象，纠缠根本不是局域的。
非局域扩散与具有长程边的网络提供了相互作用不局限于几何近邻的数学对象。其具体作用机制应分别定义。生物信号、统计相关与量子纠缠也不应仅凭相似用语被当成同一种作用，更不能由关联直接推断可用于通信的瞬时影响。
非局域模型可能导致较稠密的离散矩阵，增加存储与计算成本；但这不意味着相容离散在原则上失效，更不意味着精度必然崩溃。已有连续Galerkin有限元和相容DG方法直接处理非局域问题并研究误差。伞模型需要与这些工作比较，说明自身新增的结构或收益。
伞模型：让纠缠可以重叠
一种可继续研究的组织方式，是以带尺度的核函数描述可重叠影响范围。本书称这种可视化与建模单元为伞。它与已有核模型、非局域算子及重叠近似之间的关系，需要明确建立。
想象把那张严丝合缝的网格，换成一片互相重叠的伞。每一把伞，不再是一个边界分明、只管自己那一格的单元，而是一个以某点为中心、向四周张开、可以和别的伞重叠的影响场。一把伞由三个参数刻画：
- 半径 r：这把伞张开多大——它的影响能延伸多远。
重叠度ω：在明确定义的测度、阈值和统计范围下，描述覆盖重复程度。平均重叠度为一，不单凭数值就保证每点恰好覆盖一次；必须另加覆盖与无空隙等条件。
- 传播速度 v：影响（纠缠信号）沿伞场传导的速度。
可重叠核能够表达某些非局域相互作用，但重叠是否对应物理影响，需要由具体模型说明。伞是候选建模对象，不是对全部数学对象的定义；共振也需要独立的动力学条件，不能作为一切运算和变换的同义词。
SDE数：一个需要限定解释的候选比值
在明确各参数的单位与取值范围后，可以尝试构造以下无量纲比值。它是否适合某一任务，需要独立校准，不能先称为整个理论的统一温度计。
SDE 数：NSDE = r · ω / (v · Tc)（其中 Tc 是系统的特征时间。）
当r为长度、v为长度除以时间、Tc为时间且ω无量纲时，这一比值无量纲。它可以作为比较时间和空间尺度的候选指标，但其是否足以衡量某类模型偏离局域近似的程度，尚需给出模型、误差量及验证。
由NSDE趋零，不能推出ω趋一，也不能推出作用局域化。固定r、ω和Tc而令v趋于无穷，就使NSDE趋零，但作用范围和重叠度均未改变。局域极限必须另行规定核、尺度归一、函数正则性与收敛意义。
在适当条件下，一类经过尺度归一的非局域核算子能够趋近特定微分算子。这是可以证明的局部命题，不是全部传统数学由伞模型退化而来的证明。
已有数学同时研究局域与非局域结构。伞模型的潜在贡献应落实在明确的新定义、定理、算法或组织方式上；如果只是对已知方法统一重述，应按其实际贡献命名。此处不再以与相对论的类比代替数学包含关系的证明。
地震波：尚需独立验证的建模线索
地震波可以作为提出建模问题的一个对象，但本书没有完成伞模型的地震数据验证。需要先说明已有波动模型怎样描述现象，再提出伞模型新增了什么可检验内容。
将某种波动写成r、ω、v的关系，必须定义这些参数如何从具体介质与观测中识别。体波或面波的名称，不能直接决定重叠度为一或模型属于局域极限。几何波前、作用范围、传播速度和核支集需要分别分析。
某些介质与传播条件下，面波会表现频散。可以尝试以尺度和耦合关系组织对此的理解，但必须指定介质模型、边界条件、频散关系及参数识别方案。不能仅凭不同频率可对应不同尺度，就认定伞模型已经得到独立验证。
将已知频散现象改写为伞语言，首先是一种解释性映射。若要提出新增的可证伪模型，需要给出与已有波动理论不同的明确预测、适用条件与误差比较。现有材料尚未提供这项验证，因此这里仍是一项待检验的解释性映射。
三态：伞场的秩序、混沌与介生
三态在这里首先是一组待操作化的概念。伞模型的名称与参数本身尚未定义动力学方程，因此不能说混沌、介生、秩序已经获得精确数学实现。
若研究某个具体核场，可以尝试用明确指标区分规则运行、复杂行为与结构形成。但必须指定状态空间、演化规则和观测判据。NSDE较大不自动推出混沌，较小也不自动推出秩序；本书更没有将Navier–Stokes方程的正则性问题归约为伞模型问题的证明。不同数学难题不能被一个发生学名称替代。
一种尚待实现的算法设想，是根据可靠的误差与状态指标选择不同求解策略。它需要定义可计算的指标，明确切换规则，并与适当基准比较精度、稳定性和成本。本书不报告已经完成的三态求解器，也不把候选比值能够计算等同于状态已经能够正确判定。
至此，伞模型保留为一种围绕重叠影响、尺度和反馈展开的研究纲领。它的贡献要在具体定义、有限定理和可比较算法中说明；不能由NSDE趋零宣布全部传统数学已被包含。下一章继续讨论有限的跨领域类比，并逐项说明推广所需的条件。
本章小结
本章将伞模型定位为以带尺度、可重叠核描述某类相互作用的研究纲领。几何相容不等于局域作用，既有数学能够处理非局域问题。NSDE仅是待校准的候选比值，趋零不足以推出局域化。在明确核、正则性与尺度归一条件下，可以证明特定算子的局域极限；该结论不涵盖全部传统数学。三态判据、共振机制和算法优势仍需分别研究。