定义 9.1（纠缠系统 E） 一个结构：载体集连同其上的运算、关系、拓扑或
赋值；或范畴化地，一个范畴 𝓔 连同其全部态射。E 须满足条款 ⓑ。
定义 9.2（差异路径 D） 一个生成律。形式上：一个小范畴 J 与一个图式
D: J → 𝓔。解析形式上：一个差分算子或微分算子，配一个种子。D 须满足条
款 ⓐ。
定义 9.3（显露态 S） D 在 E 中的解：极限、余极限、初代数或表示对象，
视 D 的形态而定。
三条定义有一个共同特点：它们都不预设 S 已经存在。E 是先在的土壤，D 是可写下的推进律，S 是二者相遇后发生出来的那个东西。这正是"在 E 中，经 D，成 S"这一句在数学里的准确落法。
定理 9.4（决定定理） 设 D: J → 𝓔 为图式。若 D 在 𝓔 中的极限存在，则它
在唯一同构下唯一。因此
F : (D, E) ⟼ [S]
是一个单值偏函数。
证明 设 L 与 L′ 皆为 D 的极限，分别配以锥 (λ_j)_(j∈J) 与 (λ′_j)_(j∈J)。
由 L′ 的泛性质，存在唯一态射 u : L → L′ 使得对一切 j 有 λ′_j ∘ u = λ_j。 由 L 的泛性质，存在唯一态射 v : L′ → L 使得对一切 j 有 λ_j ∘ v = λ′_j。
考察 v ∘ u : L → L。对一切 j， λ_j ∘ (v ∘ u) = (λ_j ∘ v) ∘ u = λ′_j ∘ u = λ_j。 而恒等态射 id_L 同样满足 λ_j ∘ id_L = λ_j。由 L 的泛性质中中介态射的唯一性，得 v ∘ u =id_L。
对称地，u ∘ v = id_(L′)。故 L ≅ L′，且该同构由泛性质唯一确定。∎
余极限的情形把全部箭头反向，证明逐字对偶。
推论 9.5 对任何同构不变的性质 P，恒有
P(S) = P ∘ F(D, E)。
即：S 的每一条特征都是 (D, E) 的函数。
证明 由定理 9.4，F 是单值的，即 (D, E) 唯一确定同构类 [S]。P 在同构类上良定，故P ∘ F 是 (D, E) 上的良定函数，且其值等于 P(S)。∎
推论 9.5 是本编的主命题。它的证明只有一行，因为全部工作已经在定理 9.4 里做完了——单值性一旦成立，"每条特征都是二者的函数"就是它的直接读法。
范畴论的写法覆盖面广，但离具体对象远。同一件事在分析里有一个人人熟悉的面孔。
定理 9.6（解析版） 设 E = (X, ||·||) 为 Banach 空间，配以实区间 I 上的完
备度量结构。设 D = (f, x₀)，其中 f : I·X → X 连续且关于第二变元一致
Lipschitz，x₀ ∈ X 为种子。则初值问题
x′(t) = f(t, x(t))，x(t₀) = x₀
有唯一的极大解。
这就是 Picard–Lindelöf 定理。它的标准证明是把初值问题转写为积分方程，再对压缩映射用 Banach 不动点定理。在本编的语言里：E 提供完备性（不动点定理的前提），D 提供压缩（Lipschitz 条件与推进律），S 是那个不动点。 三者的分工在证明中一目了然，缺任何一个,不动点都不存在或不唯一。
值得注意的是失败的方式也各归其位：Lipschitz 条件坏掉（D 的问题）会导致解不唯一，例如 x′ = 2√|x|、x(0) = 0 有无穷多解；完备性坏掉（E 的问题）会导致解不存在。这一对失败例正是第十二章"两个变量都不可省"的分析版预演。
第三个角度来自范畴论最基本的一条定理。
定理 9.7（米田引理的推论） 米田嵌入 y : 𝓔 → [𝓔^op, Set]，X ↦ Hom(−,
X)，是全忠实的。因此
X ≅ Y 当且仅当 Hom(−, X) ≅ Hom(−, Y)（作为函子自然同构）。
这句话的读法是：一个对象在同构意义下被它与全体对象的关系穷尽。 换言之，"S 由纠缠决定"在范畴论里不是隐喻，是一条一百年来天天在用的定理。
而 D 在这里出现于另一个位置：关系模式不是凭空给出的，它由某个图式生成，而图式的形状——哪些箭头、按什么次序、如何复合——正是差异路径。定理 9.4 说的是"给定图式，极限唯一"；定理 9.7 说的是"给定关系全貌，对象唯一"。两条从不同侧面夹住同一件事。
必须把下面这句写在本章末尾，否则本编会被高估：
形式化之后，定理 9.4 近乎自明。
它是泛性质唯一性引理，任何一本范畴论教材的第一章都有。本编把它请到这里，不是因为它难，而是因为它把一句哲学宣告钉成了一条有前提、有证明、有边界的数学命题——而在此之前，那句宣告既不能被证明也不能被推翻。
因此本编真正承重的部分不在第九章，在第十一章：归属。定理只说"S 的特征是 (D, E) 的函数"，它不说是哪一个函数，更不说某条具体特征的成因该记在 D 名下还是 E名下。后者才是可错的、可检验的、能预言换掉 E 之后哪条会翻面的部分。全编的力气从下一章起全部用在那里。