本章把 sin 的四种生成方式写成四组 (D, E)，并证明它们给出同一个 S。四组之间没有任何一组能被另一组"看出来"——它们分别属于分析、代数、群论与几何。
E_A = (ℝ, C^∞(ℝ, ℝ), d/dx)：实数域、光滑函数空间、通常的求导算子。
D_A：y″ = −y，种子 (y(0), y′(0)) = (0, 1)。
唯一性来自线性常系数算子的标准事实：L = d²/dx² + 1 的核是二维实向量空间，而映射 y ↦ (y(0), y′(0)) 是该核到 ℝ² 的线性同构。种子选定核中唯一一个元素。
E_B = ℝ[[x]]，形式幂级数环，配形式求导；再加 ℝ 的完备性以谈收敛。
D_B：a₀ = 0，a₁ = 1，a_(n+2) = −a_n / ((n+1)(n+2))。
解这条递推。偶数下标链从 a₀ = 0 出发，故 a_(2k) = 0 对一切 k 成立。奇数下标链：设 a_(2k+1) = (−1)^k / (2k+1)!，则
a_(2k+3) = −a_(2k+1) / ((2k+2)(2k+3)) = −(−1)^k / ((2k+1)! · (2k+2)(2k+3)) =(−1)^(k+1) / (2k+3)!，
而 k = 0 时 a₁ = 1 = (−1)⁰/1! 成立，故归纳成立。于是S_B(x) = Σ_(k≥0) (−1)^k x^(2k+1) / (2k+1)!。
这一条最见筋骨：它就是字面意义上的差异路径。每一项由上一项翻号，再被 (n+1) (n+2) 衰减；翻号制造振荡，衰减制造收敛。sin 的两条最基本性质——它会来回摆、它不会炸掉——在递推的两个因子上分别写着。第十一章的归属判断有一半可以直接从这一行读出来。
E_C = (ℝ, +) 作为拓扑群。
D_C：连续函数对 (s, c) : ℝ → ℝ² 满足
s(x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y) c(x+y) = c(x)c(y) − s(x)s(y)
并带种子 s(0) = 0、c(0) = 1、s′(0) = 1、c′(0) = 0。
唯一性：由两条加法定理可验证矩阵 M(x) = [[c(x), −s(x)], [s(x), c(x)]] 满足 M(x+y) =M(x)M(y)，故 x ↦ c(x) + i·s(x) 是从 (ℝ, +) 到 (ℂ^×, ·) 的连续同态。这类同态恰为 x↦ e^(λx)，λ ∈ ℂ。写 λ = α + iβ，则 s(x) = e^(αx) sin(βx)、c(x) = e^(αx) cos(βx)。种子 s′(0) = 1 给出 β = 1，种子 c′(0) = 0 给出 α = 0。故 (s, c) = (sin, cos)。
注 10.1 c′(0) = 0 这一条不能省。若只要求 s′(0) = 1，剩下的解族是 s(x) =
e^(αx) sin x（α 任意实数），它们全部满足两条加法定理。这是本编第一次
看到种子少给一位，S 就从一个点变成一条曲线——第八章条款 ⓐ 要求 D 有
穷可述，但"有穷"不等于"够"。
E_D = (ℂ, |·|)、单位圆 S¹ = { z ∈ ℂ : |z| = 1 }、ℝ 作为一维李群。
D_D：唯一的连续同态 φ : ℝ → S¹ 满足 φ′(0) = i；令 sin := Im φ。
唯一性：连续同态 ℝ → S¹ 恰为 x ↦ e^(iβx)，β ∈ ℝ；φ′(0) = iβ = i 给出 β = 1。
这一条把几乎全部信息压在 E 上：圆、模长、群结构都是环境，D 只剩下"在单位元处的切向是 i"这一个数据。与第二条恰成对照——第二条几乎全部信息在 D 上。同一个S，两种极端的分配方式。
定理 10.2 A、B、C、D 四组 (D, E) 给出同一个函数。
证明梗概 B ⟹ A：由 |a_(n+2)/a_n| = 1/((n+1)(n+2)) → 0 知级数收敛半径为 ∞，故可逐项求导；代入即得 y″ = −y 与种子。A ⟹ C：固定 y，令 c := y′、u(x) := s(x+y) −s(x)c(y) − c(x)s(y)，则 u″ = −u 且 u(0) = u′(0) = 0，由 A 的唯一性 u ≡ 0；第二条加法定理同法可得。C ⟹ D：第三节已给出 x ↦ c(x) + i·s(x) 是到 S¹ 的连续同态，其在 0处的导数为 i。∎
这条定理的价值不在于它成立——四种定义等价是微积分课上的常识——而在于它证伪了一个关于本编定理的自然误读：
推论 10.3 F 不是单射。
四组彼此不相干的 (D, E) 落在 F 的同一根纤维上。因此定理 9.4 提供的是单向的决定：给定 (D, E) 则 S 定，而给定 S 不能反推唯一的 (D, E)。
注 10.4 这条单向性有具体后果，值得提前说明，以免本编被援引到它无能
为力的地方。数学中有一整类深刻问题问的正是"两组毫不相干的 (D, E) 是否
落在同一根纤维上"——傅里叶对偶、泊松求和、类域论及其非交换推广、镜
像对称，都是这个形状。本编对这类问题不提供任何工具，因为纤维结构恰
是定理 9.4 沉默的地方。第十三章会把这一点列为硬边界之二。一个框架的
用处，一半在于它管得住的地方管得硬，另一半在于它管不住的地方肯说管
不住。