打开任何一本数学教材，概念的出场顺序是固定的：先给定义，再证性质，最后做应用。这个顺序在教的意义上无可指摘——它把逻辑依赖排成了一条链，读者可以逐级验证。
但它把一件事彻底藏了起来：这个定义为什么会出现。
没有一本代数教材说明分数为什么在整数之后出现，也没有一本分析教材说明分布为什么在函数之后出现。它们只说“现在我们定义……”。于是每一个概念都像是从天上掉下来的，而学生的全部任务是接住它。
第一编已经指出，终态定义会把生成条件与环境条件藏起来。本编要指出更深的一层：终态定义还把“这个终态是被什么逼出来的”藏了起来。 前者藏的是 D 与 E，后者藏的是 D 与 E 的更替史。
对“新数学结构从哪里来”这个问题，目前有三类标准回答。
回答一：柏拉图式的发现。 数学对象先在于人，人只是逐渐看见它们。分数一直在那里，人类在某个时刻发现了它。
这个回答的失效点在第二编第十三章已经写明：它无法解释可指认的年代。若分数一直在那里，为什么它在某些文明中出现而在另一些中不出现？更关键的是，它把“目标”也当成先在的——但一个目标是可以被指认出生年份的（第十八章给出四个例子）。发现论对这一点没有语言。
回答二：社会建构。 数学结构是共同体约定的产物，随文化而变。
失效点同样明确：它无法解释收敛。互不接触的文明各自独立发展出位值制、分数与负数，而且结构几乎相同；十进位与二十进位的选择是约定的，但“需要一个位值制”不是。约定论把可约定的部分（记号）与不可约定的部分（结构压力）混为一谈。
回答三：认知—具身。 数学结构来自身体经验的隐喻投射：数来自手指，加法来自聚合，减法来自移走。
这个回答在低层是有效的，在高层立刻失效。没有任何身体经验对应 Grothendieck 的概形、Schwartz 的分布或 Young 测度。而这些恰恰是最重要的那批新结构。
三个回答各自抓住了一段，却都没有给出机制：什么条件下旧的东西不够用了，以及“不够用”有几种不同的样子。
本编不打算在上述三条之外再加一条哲学立场。本编给出的是一张表：
新的数学结构 S 的发生，走三条通道的非空组合：
通道一（压缩）——旧 D 在旧 E 上仍然能做，但代价超过阈值；新 S 是对旧
D 的压缩。
通道二（目标发生）——旧 D 不亏损、旧 E 不失紧；变的是有人开始问一个
此前不存在的问题。
通道三（扩张）——某一族算子在当前类上不封闭，或某个序列在当前类中没
有极限对象；环境被迫扩张，且扩张方向被唯一指定。
三条通道各有一个判定签名（第十六、十八、十九章各给一条），签名可以给出错误答案。一个新结构摆在面前，按签名判它走哪条通道，判完之后可以被别人证明判错了——这是本编与“数学结构来自实践/来自直觉/来自需要”这类说法的全部区别。
必须先说清两者的分工，否则读者会以为本编在重复第二编。
第二编的决定定理管纵向：在一次给定的 (D, E) 之内，S 被定到什么程度。 本编的三通道管横向：(D, E) 本身如何被换成下一组 (D′, E′)。
两者在一处合龙，而且合得很紧：通道三的“扩张方向被唯一指定”，其唯一性就是决定定理里那条泛性质唯一性。第十九章会把这一点写成一张表。这意味着 S = F(D, E) 与 E = H(S, D) 由同一条引理支撑——这是全书结构上最紧的一处接缝，也是本编必须诚实交代的一处让步（第二十章第四节）。