最早的三届（1936、1950、1954）有一个共同的动作：为一批原本没有合法身份的对象造一个可以容纳它们的地方。
这不是巧合。二十世纪上半叶的分析与几何反复遇到同一种困难——最小化序列没有极限、求导之后跑出函数类、局部信息拼不成整体。三种困难是同一件事的三个方言：当前的对象类不封闭。
1936 · 极小曲面（Douglas）. Plateau 问题（给定边界求面积最小的曲面）本身是老问题，十八世纪已被提出，十九世纪有大量实验工作。Douglas 的贡献不在于问了一个新问题，而在于造了一个能让最小化序列有极限的函数空间与泛函。
判定：通道三。 签名 C 成立——最小化序列在原有的曲面类中没有极限对
象。目标本身不新，故签名 B 不成立。1936 · 覆盖曲面（Ahlfors）. 把 Nevanlinna 的值分布理论几何化，用覆盖面的度量性质重述原本用分析量表述的结果。
判定：难判，倾向通道一的局部化型。 它没有把表达域扩大（签名 C 不成
立），也没有明显的新目标（签名 B 不成立）；它把一个不好算的分析问题
搬进一个它好算的几何表示——这与第三编第十六章说的“对数把乘法搬进加
法”同型。但“好算”在这里不是代价的降阶，而是可见性的提升，故判定
不干净。
1950 · 分布（Schwartz）. 求导算子在 Cᵏ 上不封闭；把试验函数空间的对偶取作新的对象类，一切分布都可以求导任意次。
判定：通道三，且是全编最干净的一例。 它已作为标准行出现在第三编第十
九章的统一表里：不封闭的算子族是求导，扩张的方向由求导的对偶唯一确
定。
1950 · 初等证明与筛法（Selberg）. 素数定理的初等证明。
判定：解决型，带一处通道二的余味。 被解决的命题是老的；但“能不能不
用复分析证明它”这个元问题是一个真正的目标，且这个目标的年代可指
认。这是本编第一次遇到“目标是关于方法的”这种情形。
1954 · 层与谱序列（Serre、Kodaira）. 层、上同调、谱序列被系统地引入拓扑与代数几何，局部与整体的关系被重新组织。
判定：第四通道候选。 它没有压缩什么（签名 A 不成立），也没有一族算子
不封闭（签名 C 不成立）；被引入的是一套说话的方式——“局部数据如何拼
成整体”这句话此前一直在被使用，却没有精确的说法。这与第三编第二十
章把范畴论的诞生列为第四通道候选，理由完全相同。
三届之后，一个动作被制度化了：当对象类不封闭时，扩张它，而不是绕开它。 这个动作后来在本编中会反复出现（1966、1982、1994、2006、2014、2018 各出现一次），它是九十年里最稳定的一条线。