判断卡片：唯理论与经验论的失败同源——两派都把经验理解成一堆被动接收的印象，而不是一条被走出来的路径。在被动印象的理解下，必然性当然长不出来，于是一派把它记在灵魂名下，一派承认它只是习惯。而一条被走通的路径本身携带必然性：一个亲手把三角形三个角撕下来拼成直线的孩子，撞见的不是 "这一千个都是"，是"为什么必然是"。这一改判有一个可测的签名。
这一组对峙比第一组更实，因为它直接落在"我凭什么知道"上。
唯理论：必然性不可能来自经验，因为经验只给个别；所以它必定原本就在我这里（天赋观念、努斯、直观形式）。
经验论：一切来自经验；而经验只给个别，所以严格说来我们并没有必然性，我们只是习惯了。
编一第三章已经把这两侧摆过：笛卡尔的天赋观念，与洛克的反手；而洛克的反手打中了软处，却把问题交还给了对方，休谟随即把它推到了极致。
双方谁也没有赢。 康德的方案（编一第四章）是对这个僵局的一次极漂亮的绕开，而绕开的代价是把产物提升为条件，从此免于被追问来路。
本书要指出的是双方共用的一个前提，而且它从未被任何一方检验过：经验，被理解成一堆被动接收的印象。
看一千个三角形、看一千次日出、看一千个白天鹅——这就是两派所说的"经验"。
在这个理解下，两派的结论都是正确的。 一堆被动印象里确实长不出必然性：一千次看见太阳升起，得不到"必然升起"。所以唯理论说必然性必须另有来源，对；经验论说从印象里得不到必然性，也对。
问题在于，这不是经验。
请看一个具体的动作。
一个孩子把一个三角形的三个角撕下来，拼到一起，得到一条直线。再撕一个不一样的，再拼，还是一条直线。再撕一个很扁的，还是。
如果经验是被动印象，他此刻得到的是"我看过的三个都是"——一个归纳，效力等于三。
但这不是他实际得到的东西。 一个走通了这条路径的孩子，会在某一刻转向另一件事：他会去问"为什么每次都拼得上"。而这个问题一旦被问出来，路就在那里——过一个顶点作对边的平行线，三个角变成同一条直线上的三个相邻角，两组内错角相等。
他此刻撞见的不是"这一千个都是"，是为什么必然是。而他撞见的方式，恰恰是做了一件事——撕、拼、作辅助线——而不是看了一千次。
于是本书的改判：必然性不在印象里，也不在灵魂里，在路径里。
编二第七章那句被写在错误位置上的亚里士多德，在这里获得它应有的位置：图形的性质是通过实现出来才被发现的——把图形分割开，性质就显出来了；它们之所以不一目了然，是因为要靠一个动作把它们做出来。这不是抽象，这是构造；而构造与抽象最要紧的差别就在这里——抽象的效力等于样本量，构造的效力等于理由。
必须防一处过度。
本书不主张康德关于先天综合判断的整个方案是错的。本书主张的是一件更窄的事：他把一件历史产物误判为直观的先天形式（编一第四章那记非欧几何），而误判的机制是可指认的——"想象不出别的样子"被当成了先天性的证据，而那句话正是光滑化完成的标志。
那么剩下的部分呢？本书不知道，而且明说不知道。空间与时间是否是直观的形式、因果范畴是否是知性给经验立法的形式——本书没有材料，也不打算猜。
本书能主张的只有一条，而且它落在教育上：在小学与中学数学里，那些被学习者感受为"不需要理由"的东西，绝大多数是被制造出来的，而且它们的制造过程可以被指认、可以被逆转。 至于这块地皮之外还有没有真正的先天形式，本书不裁决。
这一组改判若只到这里，它仍然是一个哲学判断。要让它进入本书的判准范围，必须给出一个可测的差别。
它有一个，而且很干净：走通了路径的人与累积了实例的人，在面对一个从未见过的新情形时，表现不同。
累积实例的人，遇到一个新情形，会再去试一次——他不知道会不会成立，因为他的效力等于样本量。
走通路径的人，遇到一个新情形，会直接判断，并且说得出理由——因为他手里有的不是样本，是理由。
具体到那个三角形：给一个孩子看一个他从未见过的、极扁的钝角三角形，问他三个角加起来是多少。累积实例的人会说"应该也是 180 度吧"，或者要求量一量；走通路径的人会说"是 180 度"，而且如果你追问，他能说出平行线那一步。
这个差别可以被出成题，而且这类题正是编十一第四章那套 "分得开人"的判据的原型。 一道只考显露的题（"计算这个三角形的第三个角"）两种人都能做对；一道考理由的题（"不用量，能不能确定？为什么？"）只有后者答得稳。
这一组改判有一个后果比前一组实得多：它说明"多练"在什么时候有效、什么时候无效。
若一个概念的必然性在路径里，那么：· 练习可以巩固一条已经走通的路径——这是有效的，而且不可替代。· 练习不能替代那条路径的第一次走通。 一千道题不会自己长出理由；它们只会把"我
看过的都是"这个效力从一千提到两千。
这解释了一件教师普遍观察到的事：有些概念多练就好了，有些概念练一万道也不好。 差别不在难度，在那个概念的必然性是否已经在这个学生那里被走通过一次。
而判断办法在编三第十四章已经给过：看这个概念属于"贵"那一类还是"没有"那一类。"贵"的概念（乘法、位值）多练确实管用；"没有"的概念（分数、负数、无理数）不管用，因为那里缺的不是熟练度，是那条从未被走过的路。
一条来自数学教育实证研究的反读，而且它直接打在本章那个"可测的签名"上。
反读是："走通了路径的人与累积了实例的人表现不同"——这个差别测不出来，因为你无法确定一个学生是哪一种。
具体地说：第五节说，给一个从未见过的极扁的钝角三角形，走通路径的人会直接判断并说出理由。但一个只是记住了"内角和总是 180 度"这条结论的学生，同样会直接答180 度；追问理由时，他也可能背出"因为可以撕角拼直线"——这句话他听过，而且它听起来像一个理由。
能说出一句像理由的话，与真的走通过那条路径，在口头测验里分不开。
而这个困难不是技术性的。它正是编四第二十三章那张表里 "过度自洽"那一行：对一切追问都有现成答案却不会用，是最难识别的假会。
本书接受这个指控，并且认为它比第五节原来的说法重要。三条回应，第三条是修正。
第一，把追问加深一层可以分开一部分。 不问"为什么"，问"如果这条辅助线不平行会怎样"，或者"在球面上撕角拼直线还成立吗"。前者要求他真的用过那条路径的内部结构，后者要求他知道这条路径依赖什么。背结论的学生在第二问上普遍答不出，而且他会觉得这个问题奇怪。
第二，"觉得这个问题奇怪"本身是一个读数。 这与编六第三十一章那一问同源：一个走通过路径的人，知道那条路径是可以被改动的；一个只有结论的人，不觉得那里有可以被改动的东西。
第三，也是修正：第五节那个签名写得过于乐观，本节予以更正。
准确的说法不是"两种人表现不同"，是：两种人在一级、二级题上表现相同，只在需要用到路径内部结构的题上分开；而这类题很难出，而且现行题库里几乎没有。
附录四那张四级量规里的三、四级题正是为此设的，但本书必须承认：出一道真正只有走通路径的人才能做对的题，比说明这个道理难得多。 这是本书交给读者的一项未完成的工作——本书给了判据，没有给足够多的题。
第二组改判完毕。前两组都在认识论一侧。
下一组落在教室里，而且它是四组里唯一一组每天都在影响真人的：讲授还是探究。第二十七章要论证，这一组问错得最厉害，因为它把争论放在了一个可见的变量上，而真正的变量不可见。