从圆周率π谈创造性数学教育

从圆周率π谈创造性数学教育 如何学数学呢? 1. π 是什么？ 很多孩子知道π等于 3.1415926...,但是不知道它到底是什么意思。 仅仅是一串符号吗？ 很多孩子只知道它是一个数而已，或者仅仅是一串没有休止的符号。 任何一个数，既是一个数学对象或概念，也是一个数学过程，还是 一种数学关系。这就是我们经常说的三视角:对比、变化和分布三视 角。圆周率也是如此！ π这个数的本质是什么呢？它的定义是什么呢？它的对比视角的内 容是什么呢？首先，它是一个无理数，它不同于 1，2，3，4这些整 数的对比本质视角。 π的本质是一种共性，它说的是将任何半径不同的圆的周长除以直径 长度，我们得到一个数，这个数的大小竟然和半径无关。所以这个 数，叫做π, 它表达的是一种共性，是一个数学概念。 它的变化视角就是这种共性在不同半径的圆里体现出来。说它是一 个数学过程，意思就是你需要用周长去除以直径的长度，从而得到π。 而分布视角说的π和其他数或数学概念的关系，这是π 的重要性和意 义。比如，我们知道圆的面积的计算公式是π和半径的平方的乘积， 还有π在三角函数里的重要价值。 中国古人对圆周率的计算有刘徽的： 割圆术 那么如何学习圆周率呢？孩子们为何不明白圆周率的真正含义呢？ 因为我们的教育方法是被动的接受和灌入式的：老师开门见山，告 诉学生圆周率就是周长除以直径，好一点的是老师演示几个图片。 然后，老师和学生应用π=3.1415926...去计算不同半径的周长和面积。 然而，这种灌输式的教育方法，让孩子们根本就没有具体体验变化 视角的内容，而无变化视角内容的体验的概念学习是背诵和记忆而 已。 真正的学习应该是让孩子们去测量不同半径的圆的周长，然后计算 周长和直径长度的比值，最后引导孩子们发现这些比值有共性，就 是它们都与3.14159126...... 很靠近。 通过这种对变化视角内容的亲自体验，孩子们自己总结和抽象出一 个共性，然后把这个共性叫做一个数，就是圆周率。这就是发现式 学习。 然后才是应用圆周率去计算不同的圆的周长和面积。这是从变化视 角到对比视角，再到分布视角。 2. APOS 数学教育理论 在APOS 数学教育理论里，这个变化视角叫做Action(数学活动）； 对比本质视角就是Process(过程），它是一个经过反思抽象之后的 数学过程，其内容就是将任何一个圆的周长和半径进行比较其结果 都是一样的；而分布视角就是Object(新的数学对象）。它指的是我 们可以对圆周率进行整体操作，比如利用它计算面积或应用在三角 函数里。其实它就是我们说的分布视角的内容，就是圆周率和其他 数学对象的关系。 APOS 理论告诉我们数学学习应该是建构式的。其基本教育模式就 是从 Action-->Process--->Object。然后这三个形成一个知识结构 叫做Schema。这是美国数学教育界从1990年开始的数学教学改革。 美国学者杜宾斯基(E.Dubinsky)提出的 APOS理论（至今至少有超 过1000篇中英文文献）, 是以建构主义为基础的数学学习理论，它 的核心是引导学生在具体数学活动中学习数学知识，分析数学问题 情景，从而建构他们自己的数学概念和数学思想。根据 APOS，杜 宾斯基成功地帮助大学生们学习了一系列与微积分、离散数学、抽 象代数等学科分支有关的概念，如群、子群、陪集、商群，等等。 杜宾斯基认为： 一个人是不可能直接学习到数学概念的，更确切地 说，人们透过心智结构（mentalstructure）使所学的数学概念产生 意义。 如果一个人对于给予的数学概念拥有适当的心智结构，那么他几乎 自然就学到了这个概念。反之，如果他无法建立起适当的心智结构， 那么他学习数学概念几乎是不可能的。教学的目的：如何帮助学生 建立适当的心智结构。 ＡＰＯＳ理论的出发点：任何一个数学教育理论应该致力于“学生是 如何学习的”以及“什么样的教学计划可以帮助这种学习的理解”，而 不仅仅是陈述一些事实。 ＡＰＯＳ理论的基本假设： 数学知识是个体在解决所感知到的数学 问题的过程中获得的。在此过程中，个体依序建构了心理活动 （actions）、过程（processes）和对象（object），最终组织成用 以理解问题情境的图式结构（schemas）。 从我们的三视角理论看，这个图式结构其实是一个三视角结构图式。 我们以下面的图来显示APOS的教学过程： 显然上面的教学模式缺少很多部分，比如对比的视角：和其他数学 概念的比较。比如比较圆周率和一个普通的数字的不同，和平方根 的不同等等。 还有，APOS 的教学是一个线性的过程，而实际上，对于知识的学 习是一个三视角结构的螺旋式的不断地丰富的过程。下面是我们提 出的三视角教学的一个示意图（以如何学习7*8=56为例）： 和一个螺旋式学习图： 无论是三视角教学还是 APOS教学法，我们都主张：知识不是直接接 收的，而是学习者通过主动地应用自己现有的知识结构，即三视角知识 图式来同化和异化新接收的信息，并对其进行解释，这是解释形成新的 知识对象和新的三视角知识图式。 所以学习应该是主动构建知识的过程，不是接受知识的过程，接受的只 是信息；学习者是在自己已有的知识（结构）和经验的基础上加工信息 和构建新知识和知识结构。 学习者在人际互动和协商中进行知识的社会建构。建构是以社会和文化 的方式为中介的，学习者在认识、解释、理解世界的构成中建构自己的 知识。学习是以学生的自主学习为主，是以学生为中心。学习具有主动 性、实践性、创造性和社会性。 而老师的教学呢？ 教学的目的是:引导和促进学生意义和知识的建构； 教学视角 1：创设学习环境以支撑个体对知识的建构； 教学视角 2：组建学习共同体，促进知识的社会建构； 教学视角 3：鼓励社会实践，进行意义和身份双重建构； 老师是导师和朋友，是组织者、帮助者、鼓励者；老师也是学习者，共 同参与知识和意义的建构。 建构什么呢？怎样建构呢？ 答案是：三视角。