本编收数学工作的九成以上，而全编只有三章、约一万二千字。篇幅与分量不成比例，这是故意的——二固层的每一例都可以用同一句话讲完，讲二十遍不增加任何东西。
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本编要回答的不是「这些是什么」，而是两个别处不问的问题：二固为什么不是坏事，以及它与一固的界在哪里判不动。
从一个已知结构里去掉一条或几条公理，得到一个更一般的结构。
半群（群去掉逆元与单位元）、幺半群、magma（再去掉结合律）、拟群、偏序集（预序去掉反对称）、非交换环、非结合代数、拟度量空间。
判据：新结构的每一个实例，都可以用旧结构的语言描述为「满足其中一部分条件的东西」。半群＝有结合律的二元运算，复述完毕，不丢东西。
参战维数：0 或 1。三个位置里没有任何两家给出不相容的回答——删条款不产生分歧，它只是放宽了一条准入。
给一个已经在做的操作起一个名字和一套写法。
Cayley 之前的矩阵写法、行列式的各种记号、莱布尼茨的 d 与 ∫、牛顿的点记号、Ricci 的指标约定在成为张量之前的那一段。
判据：把记号展开回它所缩写的东西，所有陈述仍然成立且仍然可说。矩阵方程 AX = B 展开成一组线性方程，一句不丢。
须与一固层的 D 型分清（第 12.2 节）：Cayley 1858 给系数方块起名字，是二固；Frobenius 之后矩阵成为一个可以有性质、可被分类的对象，是一固。同一个东西，两个阶段，两层。
把一个已知结果的条件放宽、维数升高、指标推广。
n 维的欧氏几何、多元的中值定理、高维的 Stokes 公式（在微分形式出来之前的各版本）、ℝⁿ 上的各种不等式、p 从 2 推到一般的 Lᵖ 不等式（不含 Lᵖ 空间本身——那是一固）。
判据：推广的每一步都在同一条推理路线上，没有任何位置需要给出新的回答。
其一，无一致拒绝，也无两家争执。 二固层的产物出生时，没有人说它不该存在，也没有两家为它吵架。
其二，不需要外来签字。 它一造出来就在既有的一致性体系里。
其三，可复述。 用它出生那一刻的现成概念，两三个组合就能复述完毕。
注意第三条已经不能单用。第 9.2 节撤掉了第一版把「可复述」当唯一判据的做法——一固层的产物也常常可复述，因为它就在固化那一家的账本内部。可复述是二固的必要条件，不是充分条件。 充分条件要加第一条：没有两家给出不相容的回答。
其一，九成以上的数学工作在这一层，且理应如此。 一个每天都在开新栏的学科不可能积累任何东西。数学之所以是人类知识里最稳固的部分，正因为它绝大多数时候在做二固层的工作：推广、整理、换记号、放宽条件。
其二，它是上两层的材料仓库。 三活层的断裂是一阶工作做到极限的产物——Bombelli 的困境出现，是因为三次方程的解法被做到了尽头；Kummer 的失效出现，是因为分圆整数的算术被做到了 n = 23。没有二固层的穷举，断裂根本不会出现。
其三，它造签字工具。 第一版第 28.5 节核对过八例，无一例外：签字工具全是低层的产物——有序对、子集、公理系统、图册、对偶空间。没有那些工具，三活层出生了也签不了字，只能像莱布尼茨的无穷小那样悬着三百年。
第一版第 42.1 节说：教科书从签字之后讲起，于是学生从未见过「不该存在」那一站。
第二版可以说得更准：教科书几乎全部教在二固层与一固层。
· 中小学与大学低年级：删条款、推广、换记号，加上一固层的成熟单位（连续、可微、可积、一致收敛）。
· 研究生阶段：一固层为主，抽公理那一族是主菜。
· 三活层几乎从不教——它出现在教科书里时，已经是签字后的定义（复数是实数的有序对、概率是测度空间、群是四条公理）。
于是学生卡住的位置是可预测的：他手里拿的是签字之后的定义，而他心里的账本还是签字之前的那一本。 负数、复数、极限、无穷——四个经典卡点，恰好是四次三活。
这条推论是描述性的，未做任何检验。 它的可检验形式是一条教学预言（若在教学中先呈现断裂状态、再呈现签字后的定义，卡点应当减少），本书没有做这个实验。第一版记过这一处，第二版仍然记着。
本书用参战维数分三层，而不用「创新度」。第 6.2 节给过两条理由，此处补第三条，它只有到本编才说得清：
若把三层写成创新度的三个刻度，二固层就成了「创新度最低」的一层，而这是错的。 二固层不是低强度的创新，它是另一种东西——它不产出任何原来没有的东西，它把已有的东西整理、放宽、换名。而这件事的价值不在于它有多新，在于它使上两层成为可能。
三层是三种不同的东西，不是同一种东西的三个强度（第 4.6 节已从另一条路得出同一结论：三件承重物只在三活层有意义）。用分数写，这个结论就被抹掉了。
第 6.3 节的判别程序第二步：两家的回答是否不相容且不可互译。 是 → 一固；否 → 二固。
这条判据在两端清楚：解析几何两端都清楚（形与算各有对方处理不了的问题，第 8.2 节给了证据）；半群两端都清楚（没有任何两家在争）。
判不动的是中间。
其一，抽与删是同一动作的两个方向。 从群删一条公理得半群（二固），从若干实例抽出公理得群（一固）。第 10.5 节已记：当实例只有两个且高度相似时，这条界判不动。
其二，算法型的产物。 第 9.5 节记过一次有利判法：单纯形法、牛顿法、高斯消元被归入一固层（产过程），而它们很可能是二固——「给一个已知问题一条算法」与「架通两个不可互译的传统」不是一回事。按纪律四本应判二固，本书没有这样做。 此处再记一次，并写死判负条款：
独立编码者重判这三例（不告知本书结论）。若判为二固，则第三编产过程一族由九例降为六例，且第八编真跑一的 E 型分母改为二十二例。
其三，同一个东西的两个阶段。 矩阵在 Cayley 那里是二固（换记号），在 Frobenius 之后是一固（成为在场者）。分层判的是事件，不是名词。 这条纪律必须写死，否则「矩阵属于哪一层」这个问题永远吵不完——它不属于任何一层，属于哪一层的是它的某一次变动。
一固的判据是「有两家不相容」，而不相容的判定要靠史料里找得到分歧。
找得到分歧的，多半是当时争得凶的；争得不凶的，史料不留痕。于是这条界有一个方向明确的偏差：它会把安静发生的一固层碰撞判成二固。
第一版第 4.9 节记过同型的偏差（拒绝没有留下记录的对象，本书找不到）。两处偏差方向相同，且第二版没有办法消除它。
| 项 | 状态 |
| 二固三种做法（删条款／换记号／直接推广） | 判据清楚，两端可判 |
| 「可复述」降为必要非充分条件 | 第 9.2 节撤掉第一版的用法，本编确认 |
| 二固不是坏事的三条理由 | 其三（造签字工具）有第一版八例核对支持 |
| 教育推论（教科书几乎全在二固与一固层） | 描述性，未检验 |
| 与「创新度」的第三条划界 | 由第 4.6 节独立得出同一结论 |
| 一固／二固界的三处判不动 | 其二已写死判负条款留独立编码者 |
| 界的结构性偏差 | 安静发生的一固会被判成二固，方向明确，无法消除 |