专著母题 · 德麦国际专著第 107 号
《数学概念的发生学导论》
一个数学概念有多新，不取决于它住在哪里，而取决于它出生时形、算、计三个位置里有几个在争。
一、它推翻的默认看法
两千年来数学哲学问的是「它在哪儿」：柏拉图主义说在独立于时空与心智的领域，形式主义说哪儿也不在、只有符号规则，直觉主义说在心智的构造里，结构主义说在结构的位置上（自然数3是任何满足皮亚诺公理的系统里的第三个位置）。四方分歧在处所的性质，共识在「有一个处所可问」。并行的「发现还是发明」之争，问的仍是处所性质：对象是「已经在那儿」，还是「由我们造出来」。本书认为这两道题合起来漏掉了第三道：它是怎样出生的。这一问不是心理学的（庞加莱在公共马车踏板上想到什么），不是社会学的（共同体怎样接受），不是逻辑学的（回溯地问能否被定义，答案必然是「可以」，循环），也不是数学史常规的编年与影响考据。它问的是数学内部的状态：对象出生前，账本上有什么缺口，缺口怎样使一个尚无名分的东西成为不得不承认的。这一问把「哪种主义对」换成「哪些位置在场」。
二、母题怎样立起来
起点是一套只设三个位置的装置：形（S）把对象作为可显示之物来回答，算（D）作为一条路径来回答，计（E）作为一笔账来回答。三者靠拒绝的形式独立指认：形说「画不出」，算说「造不出」，计说「对不上账」。正常时三家互相翻译不丢东西，断裂时各家推理无误而结论互不相容。三家脚下通常踩着一条谁也看不见的共有前提，推翻它的材料只能来自三家之一自己、且原本在回答另一道题。
第二步是数「参战维数」：出生时三个位置里有几个在争。三个都在争、且一条共有前提被推翻，账本多开一栏，落下的是三家都不要的存在物（不可通约量、非欧几何、极限等十九个公认的0到1对象），出生时被一致拒绝，其后等形出场、计签字，等待从二十年到两千三百年不等。一个位置固化，是栏内多一个单位或过程，无人不想要，阻力只在等实例到齐。两个位置固化，只是删条款、换记号式地放宽准入，九成以上的数学工作在此。
第三步是第二版新增的固化维机制：典范级涌现的E，就是下一层的固化维，三层由此串成一条链，解释为何账本多一栏后数学并未立刻开下一栏。最后一步是把装置自己置于险地：收失败、悬案与未获签字者，防止只给成功案例分层；预注册判据在第一个测试例上失效并被换掉，换判据的经过写进正文。落到母题：新颖度是出生时的参战维数，是序数标签，三层是三种不同的东西，不是同一种东西的三个强度。
三、核心构念
- 形／算／计三位置：对象被回答为可显示之物、一条路径、一笔账，各以「画不出／造不出／对不上账」指认，是全书的判读装置，是三种回答方式而非三类对象。
- 共有前提：三家都踩着而无人写进定理的前提（如「一切量必须可通约」），被推翻时旧定理不作废，用来解释数学为何看似累积却每隔一段开一栏。
- 参战维数（三活／一固／二固）：出生时在争的位置数，序数标签，不做算术，不写成分数；用来给概念分层。
- 固化维：某一位置在出生时已固化（E固化、S固化、D固化），用来区分栏内增长与开栏，并串起三层之间的链条。
- 开栏与伸展：开栏是账本多一栏，伸展是既有概念边界的重画；用来与拉卡托斯划界，本书只处理开栏。
- 假三活：三家不齐（某位置缺席）与三家不争（三位置在场却不争），案例作废，不属任何层。
四、全书骨架
全书九编四十二章，约11.2万汉字，另有凡例、导论、附录、补跑记录与统稿记录。导论提出「怎样出生」这道漏掉的题并与拉卡托斯、克罗与吉利斯、基切尔、格罗霍尔茨、纳格尔五位先行者划界；第一编立装置；第二编分数、空间、过程与对象三个账本，逐个考察三活层的十九个对象，另附固化维核验补节；第三、四编讲一固层，分E固化与S、D固化；第五编讲二固层（1→N）；第六编讲三层之间的固化维机制，是第二版新增的内容；第七编收边界与反例；第八编是真跑，四条全部重跑；第九编划界与推论；结语收成一个问法。
五、关键案例与证据
不可通约量（约前450年）：材料产出在计一侧（奇偶论证），撞上却在算（辗转相减永不终止），新对象是「不是数的量」，被放逐型拒绝。非欧几何（1733至1868年）：Saccheri本想洗白欧几里得，锐角假设却推演出融贯而驳不倒的定理，新对象是几何本身成为对象。极限：同一发散级数三条合法算法得0、1、1/2，新对象是不被到达的值。一固层四十例（闸后三十六例）：E固化二十一例，S固化八例，D固化七例，D型预测读数5/7＝0.714，未命中为行列式与微分形式。中级层四十例零例可指认推翻共有前提。补跑中排他式E型预测在新池上命中22/24＝0.917，是两版中第一条自己掉下来过的预测。
六、碰撞接口
- 可抽出的命题：（1）若一个概念出生时形、算、计三位置都在争且一条共有前提被推翻，则账本多开一栏，新对象出生时被三家一致拒绝。（2）凡只有一个位置固化的概念皆产出栏内的单位或过程，无人不想要，阻力只在等实例到齐。（3）新颖度不是处所的性质，而是出生时在争的位置数，且三层是三种东西而非同一种东西的三个强度。
- 可相撞的方向：可与任何「新东西怎样被承认」的领域相撞，如科学概念史、法律与制度的新名分、艺术形式的出生；可撞点是共有前提是否能在别处被指认，以及「谁也不要」的一致拒绝是否在别处同样可读出。也可撞「机器能否造出新对象」一题，作者把机制用于此处。
- 站内邻书：第141号《普通人都能明白的弗雷格》，同属数学与逻辑的概念基础，可对撞处所问法；第149号《普通人都能懂的胡塞尔》，可对撞意义如何出生；第100号《每一步都对》，可对撞各家推理无误而结论不容的断裂。
七、边界：什么情况下算错
作者自己划的界：全书单人编码，「判负可信，判正不可信」，凡报告「通过」只读作未被这次检验推翻；候选池由作者挑选，选池偏差未除；S、D型预测几乎不可能判负或为析取式，无分辨力，不得当证据；一固与二固之界有三处判不动，且被推翻前提归位（计13／形4／算2）与另一套九门真跑的归位（E10／D9／S1）对不上，尚待裁定；十条新增判负条款九条未跑。若独立编码者重列池后重合度低于0.50，则第三、四编须重写。若找到由外来理由推翻共有前提而最终成功的案例，材料来源规则即倒。