如何创造性地学习乘法呢？

如何创造性地学习乘法呢？ 背乘法表 很多家长以为7*8=56就是把结果背熟, 就是全部，大错特错!有人说 学习乘法就是学习乘法表，太肤浅的认识!在北美的很多学校，小学 生都不主张背乘法表，我儿子的学校，也没有背乘法的这个说法。 都是要求他们自己去计算，去加减，自己去明白乘法的意义。 那么 7*8=56是不是就是明白 7个 8加起来和 8个 7加起来，这样 就是完全的认识呢?不是！那只是其中的一个视角的内容而已。所以 不要认为你的孩子考试成绩好，乘法题都会了，就以为他学会了全 部。我的孩子很早就和我一起学了乘法，而且所有的乘法都不是背 的，全是他自己推算出来的，也不是一个一个加出来的，而是从乘 法之间的关系推算出来的。记得当时好像不熟练，但是不重要，多 推几次，用不同的关系推算，很快就熟练了。这是我要在分布处境 的视角才会细讲的。没有分布视角，7×8=56是没有价值和意义的。 就是说仅仅背了 7×8=56是毫无意义的。任何一个事物的重要性或 意义不在他本身，而在他和其他事物的关系中。 虽然他对乘法的认识可谓很深了，可是昨晚我发现在他的知识结构 里，对乘法的认识还有很多漏洞。比如他在口算 7+7+7+7+6+7的时 候，他的结果是对的:=41。但当我问他如何计算时，他说35+6，此 时我知道他对乘法的认识有漏洞。就是他的乘法的三视角知识结构 有漏洞。难道不对吗?他应用了乘法啊。后来我问他有更好的方法吗， 他才领会到42-1。如果您的孩子没有明白这点，还不能说他明白乘 法的真正涵义。 A.7×8=56的对比本质、变化和分布处境三视角内容分解 1.对比本质视角 7*8表示 7+7+7+7+7+7+7+7或8+8+8+8+8+8+8。这个是它的本质 属性。就是7个相同的数字8或者8个相同的数字7相加。 我们说过，对于一个事物的任何一个本质属性的明白要用对比的方 法才能真正明白。不是记住就可以的。就是要把他和其他事物比较， 才能明白本质。因为本质是说他特有的 ，隐含着别的没有。当然要 比较才会明白有和没有。仅仅背诵记住一个东西的本质属性是无用 的。这里两个最基本的比较很重要。 a.7个相同的数字之和和7个不同的数字之和之比。在几乎所有的数 学教科书上，没有这种对比的例子。这种对比在日常生活里很多很 多。这也是学习乘法的动力源泉。也是数学里为何要发明乘法的意 义!!! 如果孩子不明白这个对比，实际上他是不明白为何我们要用乘法。 没有对比是不能明白本质的。乘法的入门应该是设计或带他们去体 验不同数量的加法和相同数量的加法的对比。学习乘法就要从这个 对比出发。 比如给他们一些7个数的加法题，有些数字全部相同，有些不一样， 让孩子去发现这个所有数字都相同的特点，进而激发他们的好奇心。 学习的动力不是考试成绩，不是纪律，也不是结果本身，而是数学 内在的美的吸引。当然这个应该在乘法的起步阶段就要学习对比， 但是要不断地深化认识。 b.7个8之和和7个其他的数字之和形成对比，当然也和 5个6等等 形成对比。你会发现我们的教科书上对这个对比是很重视的。每个 乘法都是一个一个认认真真地学习。但是没有第一个对比，第二个 对比其实已经架空了。孩子只是记忆乘法。他们不明白乘法的实际 意义。 显然还有其他的很多对比，比如和7+8，8-7，7÷8等等对比。有的 是后面慢慢学习不断地加上。对比本质的视角是不断地螺旋式增加 的。但有的是最先的，缺少就会引起知识的记忆而不是理解，实际 上不是知识只是信息。理解是必须和已有的知识结构建立关联。当 我们直接告诉孩子 7×8是7个 8相加的时候，这个知识和孩子的加 法知识结构没有紧密相连，因为在孩子的加法认知体系里，加数相 同的情况是一个特例。我们需要从不同的加数，过渡到相同的，让 他们思考，对于相同的加数的和，有何特点和共性。然后引导他们 可以用7×8来表示这些特殊的加法。这是7×8的概念和定义的由来。 这个要孩子自己总结出来。 这个总结和发现过程就是孩子们的自己的创新研究!为何我们的孩子 小学初中高中甚至大学成绩都比北美的学生好，可是到了研究生， 博士和教授阶段，我们就远远落后了呢? 2.那么什么是7×8=56的变化视角? 上面我们已经详细地说了7×8就是7个8或者8个7相加。它的变 化视角说的是这个本质认识的具体体现，比如学生看到 7行图标， 每行有八个相同的图标，这样总共有7×8=56个图标。 还有生活里的例子，7袋苹果，每个里面有8个苹果。进一步有，八 斤肉，每斤 7元。七天，每天读八页书。这样的不同的例子数不胜 数。还有长方形的长是 8米，宽是 7米，面积是 7×8。整个变化的 视角也是随着孩子的学习不断地完善的。 3.7x8=56的分布和处境视角 分布的视角包含7×8=56和其他乘法的关系。比如 7×8和 7×9的关 系。7×9=7×8+7。这个关系告诉我们为何需要记住 56这个结果。分 布视角反映了知识之间的普遍联系性。就是要把 7×8=56应用到具 体处境里，建立它与其他数学对象的关系。 还有7×8和7×80，8×70,0.7×0.8,1/7乘1/8也有奇妙的关系，即他 们的本质性具有共性。 完成了三视角分解，我们可以进入具体如何学习7x8=56。 B.如何具体教育与学习乘法7×8=56? 1. 传统数学概念灌输法 传统的教育是将基本概念先灌输给孩子，就是先让孩子记住对比本 质视角，然后再应用它到具体的例子，就是各种各样的多样化的例 子, 即从对比视角到变化视角。变化视角的知识的建立是通过应用本 质概念来实现的。不断地应用，就不断地建立对多样性的认识。 如果我们把对比本质视角看成是一，那么变化性就是多。或者说本 质概念是统一性，变化视角是多样性。传统的教育方式是老师直接 介绍概念，然后举例子应用，学生就是照着老师的例子去应用。也 就是从一到多的教育。这种教学方法的错误在哪儿呢?大家先思考。 要知道这是我们几千年的传统啊!我怎能随便说它错了呢?我需要有 个评判标准。 这个教育法不就是我们说的从理论到实践吗?难道有问题吗?我们的 孩子不就是这样学成，考上大学吗?下面我们仔细分析这个灌输法和 其优缺点。 ========================= 传统数学概念灌输法:快速升降机(听老师讲课)和垂下万丝条(作业练 习) 传统的数学课堂教学方式一般分为下面5步曲(包括我自己十年的大 学数学教学方式): 1.首先是回顾已学的，在新的知识或概念里需要的知识对象。这个是 为了和孩子的现有的知识结构建立联系。2.然后是用一到两个例子引 导出概念，详细解释数学概念和推导出其性质。3.接着就是举例，详 细讲解解题过程，就是如何应用概念到例题里面。4.学生模范老师， 进行课堂练习，应用概念和其性质。5.老师总结，布置家庭作业。 以上是一个完整的教学模式，从概念或对比视角到变化视角。它的 缺点在哪儿呢?它一定有毛病的!因为大部分孩子上课的效果是记住 了数学概念，不是理解了数学概念。这是国际公认的问题，不只是 中国的问题。 如果我们把一楼看成加法的知识结构，那么二楼就是乘法的知识结 构。这样学习7*8=56就是要建立如下图所表示的三视角结构： 7*8=56的三视角结构 学生现在在一楼，老师的第一个目的是要带领孩子们一起到达二楼， 学会乘法，并且建立从一楼到二楼和二楼到一楼的双向的知识楼梯。 这就是对比本质视角(二楼)和变化视角(一楼)的双向关系。缺少任何 一个方向，知识的建构就不全面，而且知识结构很虚的。 第一个学习目的：从变化视角到对比视角 建立双向知识楼梯 那么上面的传统的灌入式教育的方法就是我要说的快速升降机法: 首先，老师和学生一起回忆已有的知识，这个过程里，因为学生是 被动的，就有一些孩子不会与老师一起思考和回忆。 然后老师使用几个问题，引出概念，这个过程是老师在代替学生进 行快速反思抽象，总结引入新的概念，就是大家一起到达二楼乘法 楼。这里除了极少数学生能和老师一起思考进行反思抽象，大部分 孩子都是在坐飞车，因为和已有的加法楼，就是一楼，脱离速度太 快。只是老师自己在建构升降机，而学生基本上就是坐在里面，没 有思考，只是观摩老师的表演。很多老师埋怨学生不愿意和老师一 起思考。我真替学生打抱不平。你们老师自己去当学生去听一个教 授讲课，也是一样地观摩老师的表演。 观摩老师的表演 这样上到二楼后，很多孩子记住了乘法的定义。但是只是停留在记 忆里。因为在他们的脑袋里，二楼是悬在空中的。加法和乘法二者 没有实际联系的，更不能说稳固的双向建构关系。对于这个问题， 老师会用举例，应用概念来试图帮助学生。就是从二楼漂下几根丝 带，单向的，垂到一楼。有的孩子会理解成一楼和二楼的关系，但 大部分孩子，因为没有明白概念，只是认为是套用一个模式。比如 7×8=56，尽管老师会解释无数次:7个 8相加，但是在孩子的理解里 却是 7和 8两个符号之间的一个特别关系。因为学生是坐升降机上 来的。 机械套用老师的模式 如果孩子还不理解概念，老师就会布置很多家庭作业，不断地练习。 练习多就会好吗?结果是越来越坏，越来越多的丝带垂下来，但孩子 们都不会把这些丝带理解成二楼到一楼的力的关系，而是模式的套 用。就是模范学习老师如何垂下丝带。这样，知识的楼梯，就是从 变化的视角，就是学生通过自己进行不同的加法练习，且在脑袋中 进行反思和抽象。总结出乘法的概念，这个过程从来就没有出现， 这是必须的知识的楼梯。这是从具体到抽象的知识楼梯。这个过程 被老师快速升降机代替了。那么从抽象到具体的应用也没有建立， 因为大部分孩子只是模仿老师去应用一个符号模式。只有极少数孩 子会去反思总结，从而明白。这些孩子的数学就会学得比较轻松。 但是其创造性学习能力没有得到培养。 最后的学习结果，无论训练多少题，而且练得越多，害处越大。因 为只是强化了模式的记忆，没有知识的理解和彼此的关联。自然要 稳固二楼的地位就需要使用大量的时间去强化记忆，而且因为二楼 是独立存在于孩子的大脑，没有和一楼建立关系。所以基于记忆的 学习是很痛苦的事情:就是很难记住!这就是传统教学的害处。对于 7×8=56，如果孩子是背乘法表，那么其害处是无穷的。因为很多孩 子只知道结果是56。对于 7×8是什么意思却不知道。 数学学习等同于符号记忆和模式套用 我几个月前的数学课上，有个孩子乘法表很熟，就像背唐诗一样， 可是一问她 7×8和 10×8的关系，一脸茫然，不知道。这是一个四 年级学生。因为没有知识的真正的建构，自然对第三个视角的认识: 分布和处境的视角就会更加一踏糊涂了。 ========================== 2. 三视角学习7×8=56 对 7×8的学习的本质是在孩子的知识系统里建立一个三视角知识子 结构或叫图式。这个子结构包括对比本质、变化和分布三个视角的 理解和认识。显然这个子结构和加法，还有自然数两个三视角子结 构形成紧密关联。加法本身的知识结构也是三视角的，自然数，比 如5，或者 6，自身的知识也是一个三视角结构。 当孩子学习乘法的时候，数字和加法两个知识子结构或图式必须已 经在孩子的知识系统里已经存在，否则即使学会了乘法，也是对一 系列符号之间的关系的记忆。最好加上减法，这样在三个三视角知 识结构或叫图式的基础之上进行乘法的学习。 所以我们的一楼已经有数字、加法和减法，三个知识图式。显然这 几个是互相联系的。二楼是我们的乘法楼。我们需要建立从一楼到 二楼和二楼到一楼的双向知识楼梯。从一楼到二楼的楼梯是从变化 视角到本质对比视角的学习，就是从各种加法练习里，学生在老师 的引导下归纳总结出一类特殊的加法的共性，就是各个加数都一样， 然后把这个共性抽象总结成为乘法的概念，就是比如 7×8=7个8之 和或8个7之和的本质意义。 从二楼到一楼就是应用这个概念到具体的题目里。这是从本质视角 到变化视角。我们已经分析了只有从一楼到二楼才能很好地和已有 的知识结构相关联，就是建立知识结构的延伸。而直接把孩子提到 二楼在进行练习的后果是直接和已有的知识割裂了，造成学生是上 课观看老师表演和记忆符号之间的关系，就是背数学模式。只有先 从一楼爬到二楼，然后从二楼到一楼就是轻易的，也是自然的。 还有一个视角叫分布视角:是在二楼，建立乘法 7×8和其他的数学对 象的关系。比如 7×8和10×8的关系。更多的比如，7×8，3×8一起 和10×8的关系。这个叫乘法分配律。对于这个视角，大部分教学都 把它放在二楼单独学习，或者说是当我们学完对比和变化视角再学 分布视角。其实这是一个错误。因为三个视角是互相一体的，你中 有我我中有你。 现在我们具体说说如何完成学习的第一步:从变化视角到本质视角的 概念归纳。这个叫做概念的形成过程，也是学生学会如何发现规律 和共性的很好的训练。这是创造力训练的很好的方法和最基本的过 程。比如 7×8=7+7+7+7+7+7+7，3×4=3+3+3+3。要使孩子明白和 理解这些概念，需要进行两项数学活动。第一个是孩子要明白为何 需要这个概念，第二个是乘法的结果有何意义。我们要先看右边的 数字相加的特征，就是所有的数字都相同。为何相同就要用两个数 相乘来表示呢。显然这些道理不是由老师直接告诉孩子就会明白的。 一切知识，特别是最基本的数字运算，更需要他们自己亲身体验的。 1）加法数学活动设计和体验 我们要用不同的方法设计一系列的加法运算，不需要用大的数字。 也可以用实物，可以在商场，也可以在教室里设计加法游戏，也可 以用网上的软件，游戏。 比 如 要 孩 子 计 算 : 3+2+2, 4+4+4, 3+4+5, 5+5+5, 6+2+1, 2+2+2,7+2+5, 然后问孩子们，上面的几个加法里，哪些有共同特点? 要引导他们发现，有三个的加数一样。再进一步增加数字到4个，5 个，此时不要他们计算，只要发现共性:加数相同。最后设计两个长 的 ， 比 如 1+2+3+7+5+8+9+3+2+1+8+6, 和 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2.引导孩子，问他们后面的数字都是 2，总共有13个。可不可以设计一个新的符号表示，比如 2(###$)13, 然后我们规定这个就是13个2相加。这样就书写简单多了。老师要 鼓励孩子自己去发明自己的乘法符号。当每个孩子发明了自己的符 号后，那么就可以给孩子一个题，比如 4+4+4,5+6+7,问他们哪个可 以用自己的符号表示。同时要他们自己表示出来。最后，老师要告 诉孩子们在数学历史上，我们使用一个大家都同意的符号就是×。 2）第二步就是要进行一些训练来巩固学生自己发现和形成的乘法概 念。老师可以使用图形或实物或具体数字都可以的。一般不需要很 多就可以。 3）注意此时概念还不能算完成了建构，因为孩子还需要明白为何要 有一个固定的值，就是为何要算出7×8=56，并且要记住。就是这个 结果有何用。这样孩子要继续进行加法活动。可用比较视 角:4+4+4+4+4,和4+4+4+4+4+5.问孩子们两者的关系。现在要使用 乘法概念，第一个是 4×5，那么第二个是比 4×5多一个 5。这时， 老师要引导孩子，如果我们知道4×5等于一个数，那么第二个就很 容易了。就可以利用 4×5来计算了。这样的例子要至少设计五个。 让孩子自己发现其关系，就是如果我们将这些乘法的结果记住就可 以帮助我们进行其他计算。这是很重要的理解。但是老师不要直接 告诉孩子。 4）然后我们进入第三个视角:分布和处境视角。 上面我们通过两个视角的学习，孩子自己建构和明白了乘法概念， 并且可以自己通过加法算出一些乘法结果。但是不应该去背诵和记 忆这个乘法表。下面我们通过处境的视角来建立整个乘法表的关系。 就是比如 6×7和 6×8的关系，5×9和 5×10的关系。此时可以通过 观察整个乘法表的规律来建立彼此的关系。从乘1开始，到乘10， 然后是乘 2，乘 4，乘 9，乘 8，等等彼此之间是紧密相关的。就是 我们可以从容易的推算出难一点的。比如 6×6=6×5+6=36,这样在推 算中，孩子不断地巩固对前面两个视角的知识和丰富。 比如：乘10是加一个 0，乘100是加两个 0，但是孩子要明白为何。 不能直接要他们记住，要引导孩子自己总结。然后，乘 2是自己加 自己，乘 4是先乘2在自己加自己。乘 4和乘 2的关系也不能直接 告诉孩子。乘9是和乘10减掉一个自己，所以得到一个规律：自己 减掉1做为十位数，个位数就是9减掉这个十位数。比如7*9=6（7-1） 3（ 6+3=9） 。 但 是 这 个 规 律 应 由 孩 子 自 己 总 结 ， 因 为 7*9=7*10-7=70-7=63。接下来，就是乘 8等于乘4在自己相加或者 乘9减自己，这两个方法可以一起学，并且比较。然后是乘5，这个 很容易学，孩子很容易明白 5，10，15，25，这个序列。但最好是 先学偶数乘5，在是奇数乘5。偶数乘 5，就是偶数的一半加个0做 为个位数。比如6*5=30，3+3=6。这个也需要孩子自己发现。这里 需要孩子明白 6的一半是 3，4的一半 2，8的一半是4。当然你也 可以教孩子除法。不过我不建议。接着就是奇数乘 5， 比如 7*5=6*5+5=35。然后我们可以学乘 3和乘 6，乘 7。这里，我建议 先学乘3。乘 3等于乘 2再加自己。这时，我建议学习自己乘自己。 比如 2*2，3*3，4*4，5*5，8*8，9*9，这些都是复习。这是学乘 6 最好是: 7*6= 7*5+7= 35+7=42, 6*6=5*6+6=36, the last one is 7*7=6*7+7=49. 最后就是乘法表的巩固，绝对不能死背。可以要求孩子自己利用上 面的分布视角不断地反复练习，自己推导出乘法表。此时，要求孩 子推广自己的分布视角，利用本质视角，对同一个乘法，比如7*6， 要求给出几种计算方法，比如7*6=6*6+6,8*6-6,7*7-6,7*3*2, 等等， 越多越好。 经过这样地训练之后，在孩子的脑中，整个乘法表就是 一个有机的活的整体，而且其乘法的知识结构的建立也是很全面的。 以上三个视角的完成是互相需要的。显然上面的知识图式可以更加 丰富，必须不断地完善。其实我们一生都在不断地完善这三个视角 的乘法学习。