第二版的装置在第一版六章之外加一章（第 4 章 固化维），并把原第 5 章（一阶与二阶）拆成两章（Z 的三档／参战维数）。其余四章原样。
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本编是全书唯一允许抽象论述的地方。此后每一章都必须落在具体案例上。
（第一版原样，此处只列要点，正文见第一版第 1 章）
三个位置：形（S）——把对象作为一个可显示的东西来回答；算（D）——把对象作为一条路径来回答；计（E）——把对象作为一笔账来回答。
三个位置不是给人贴的标签，是回答的方式。它们能被独立指认，靠的是拒绝的形式不同：形的拒绝是「我画不出它」，算的拒绝是「造不出它」，计的拒绝是「它对不上账」。
正常状态下三家互相翻译，翻译不丢东西。断裂状态是配合失效：三家各自的推理都无误，而结论互不相容，且翻译规则在这一点上失效。
第二版在此加一句：断裂有两种。三家全在争的断裂，与一家不在争的断裂。第一版把后者一律当作「三家不齐」筛掉了，而它其实是数学里最常见的一种发生。这就是本编第 4 章要处理的东西。
（第一版原样，要点如下）
三家在争的时候，脚下踩着同一块地。那块地就是共有前提——一条关于什么算数的规定，它规定了某一类东西的入场资格。
固定句式：「______ 必须是（属于／可以被）______。」
验收方法：念给三家听，三家都说「这还用说吗」的，是共有前提；有任何一家提出异议的，不是共有前提，是第四家的立场。
三家看不见它的三条结构性理由：它从未被写下来；它是三家共享的，所以在三家的对话中永远不出现；它有补丁——哪里有一个人人别扭的技术性修补，哪里就有一条共有前提在被保护。补丁是共有前提的指纹，也是定位材料的主要工具。
（第一版原样，含第一版第 36.3 节那次放松）
推翻共有前提的那件材料，必须是三家之一自己早已掌握、已经发表、只是没往这个方向用过的事实；而它原本所回答的问题，可以在数学之内，也可以在数学之外。
三条限定的理由：外来的理由只能加入争论、不能取消争论（三家可以各自退回阵地）；自家的材料无法被退回（否认它等于否认自己的一部分工作）；原本回答另一道题保证了材料出场时的中立。
这是三件承重物里唯一经过检验且未被推翻的一件（第一版第 36 章，六十二个对象零例外部材料）。第二版第八编真跑三给它加了一条边界：它只在三活层有意义，见第 4.6 节。
第一版第 6.2 节（丙）定了一条最常用来筛掉候选的规矩：三家不得有空位。 只有两家在场的，判为「三家不齐」，归入假二阶（第一版第 31 章）。
这条规矩筛掉了一批真东西。
解析几何是一个例子。形（几何图形）与算（代数计算）确实在给同一道题两种不相容的回答——一条曲线的性质，一边靠作图看出来，一边靠方程算出来，而在笛卡尔之前这两套说法没有统一的翻译。计在哪里？它在场，但它不在争：一致性这本账，双方都不动，而且双方都拿它当共同标准。
第一版把这种情形一律当作「三家不齐」处理，于是解析几何被判一阶，与半群同格。第 30.5 节自己承认这是「最容易被反对的判定之一」。
尴尬的来源不是判错了，是缺一个格子。
一个位置在一道题上，有三种状态：
| 状态 | 判据 | 计不计入参战 |
| 在争 | 有自己的回答，且与他家不相容、不可互相翻译 | 计 |
| 固化 | 有立场，但它的账被双方当作共同的裁判 | 不计——它是内置仲裁位 |
| 缺席 | 在争论中根本不出现，也不因此拒绝什么 | 不计，且构成三家不齐，案例作废 |
固化与缺席必须分得开。分不开，则分层没有可证伪性——任何东西都能被说成「少碰了一维」。
本章的判据在预注册的过程中当场换过一次。换的经过是这条判据唯一的强度来源，因此写在正文，不放脚注。
原判据：固化的那一维，被双方共同援引为裁判。
它在四元数上当场失效。模相乘（范数可乘性）确实是 Hamilton 与所有人共同援引的裁判——按原判据，计是固化维，四元数应判一固。但同一个「计」里，另一条款——乘法交换律——恰恰是被推翻的那条共有前提。分数维同型：勒贝格测度是共同标准（Hˢ 建在它内部），而「维数必须是整数」也是计的条款，被推翻的正是它。
同一个位置，一条款当裁判、另一条款被推翻。 若允许这样，固化与参战就分不开。
换上的判据（本书采用）：
被推翻的共有前提属于哪一位，哪一位必定参战。
一个位置是固化维，当且仅当它的任何条款都不在被推翻之列，且两家的不相容要靠它的账来裁。
新判据一装上，三层的分界立刻是干净的，而且它不靠任何计数：
| 层 | 判据 |
| 三活 | 有一条三家共有的前提被推翻 |
| 一固 | 没有任何共有前提被推翻；两家的回答不相容且不可互译；靠第三家的账裁出一个新单位或新过程 |
| 二固 | 连不相容都没有，只是准入放宽（删条款、换记号、直接推广） |
一固层的定义里那半句「没有任何共有前提被推翻」是全书分层的支点。它把第一版的三件承重物（共有前提、材料、签字）整体限制在三活层，而给一固层留出另一套机制（第六编第 30 章）。
固化维是哪一维，决定产物是什么。这是一条可判负的预测，不是分类的定义：
| 固化维 | 预测产物 |
| E 固化（账本不动，形与算在争） | 排他式：争翻译规则 → 产过程；争实例的公共部分 → 产单位。两者均须为「可被证定理的」产物 |
| S 固化（显露不动，算与计在争） | 单位 |
| D 固化（算法不动，形与计在争） | 在场者，且不产单位 |
一处按补跑记录补的限定：这里的「过程」不是任何过程。「过程」有两种——本身成为研究对象的过程（有关于它自己的定理，进账本，是概念），与做数学的方式（无关于它自己的定理，不进账本，是方法）。 一固层产的是前者；后者按第一版第 33.9 节不属本书题域。这条区分由补跑记录的入池闸逼出，第二版正文原来没有；执行闸时它挡下了四例（解析几何、埃尔朗根纲领、函数域数域平行、单纯形法那一组），详见第 8 章附论与补跑记录。
E 型的读数（两式）：旧的析取式（单位或过程）在闸后四十例中的三十六例上是 21/21＝1.000，无分辨力，不作证据；改写后的排他式在一个先过闸再挑的新池（二十四例，与原池不相交）上是 22/24＝0.917，两处未命中方向相反（Gelfand 变换、凸体）。见补跑记录之二，其中已写死第二次改写与它的判负条款。
第八编真跑一的读数与它的一处硬伤：E 型（闸后）21/21＝1.000，S 型 8/8＝1.000，D 型 5/7＝0.714，三型均过 0.70 的判负线。
但必须在这里就说清：E 型与 S 型的预测太宽，几乎不可能判负。 E 型预测「单位或过程」——三种产物类型里占了两种；S 型预测「单位」，而单位是最常见的产物。真跑一的实际信息量集中在 D 型那七例上，而它是唯一擦线通过的，两处未命中都如实记下（行列式更像一条计算法而非在场者；微分形式的 k-形式是一类单位）。
第八编已写死改写要求：E 型须改成排他形式（产过程当且仅当两家争的是翻译规则；产单位当且仅当两家争的是实例的公共部分），并留给下一批候选池跑，不得用本轮那四十例。
一固层不推翻任何共有前提，因此一固层没有「材料」这一环节——没有前提被推翻，也就没有推翻它的那件东西。
第八编真跑三验了这一条：四十例中级候选（闸前池），零例可指认出「一件三家之一自己的旧材料推翻了一条共有前提」。
于是：
材料来源规则在一固层不适用——不是成立，是不适用。
这一条比它看上去重要。它使三层不是三个并列的名单：第一版的三件承重物（共有前提、材料、签字）全部只在三活层有意义，而一固层有它自己的另一套机制（固化维从哪来、新单位怎么从旧单位里切出来）。三层由此是三种不同的东西，不是同一种东西的三个强度。
其一，新判据把一固层的定义与三活层绑死了。 一固的判据是「没有共有前提被推翻」——一个否定式的定义。否定式定义有一个已知的毛病：它依赖于「共有前提」这一格判得准，而那一格是全书最事后的一格（第一版第 2.7 节的欠账，第二版未偿）。若共有前提是倒着写出来的，三层的分界也是。
其二，真跑四接近同义反复。 十九例全部判为三活、降层零例——而十九例当初的入选标准就包含「共有前提被推翻」。预注册第二节甲已在跑之前记明这一点：它的通过不构成证据。
其三，中级候选池是作者列的，不是由独立标准筛出的。选池偏差的方向未知。
（第一版第 4 章两档改三档）
推翻或碰撞之后落下来的那个东西，本书称为 Z。第二版把它分三档：
| 档 | 内容 | 出生时三家的反应 |
| 新在场者 | 账本上原来没有的一类东西，多开一栏 | 三家一致拒绝（十九例拒绝率 0.912） |
| 新单位或新过程 | 既有栏内切出来的一块，或两家之间的一条翻译 | 只被碰撞的那两家争执，固化的那一家不表态（一固层拒绝率 0.042，闸后三十六例） |
| 新读数 | 同一样东西的新记号、新排列、准入放宽 | 无拒绝（二固层否定命名率 0.000） |
第一档与第二档的界落在共有前提那一格上——这与第一版第 33.5 节记的问题是同一笔账：Z 的宽度问题与共有前提的事后可得性，是同一个环的两面。三档没有解开这个环，它把环挪到了新的位置。
第二版不得声称解决了这个问题。
第二档与第三档的界是干净的：有没有两家不相容且不可互译。 半群与群之间没有不相容——半群的一切陈述可以用群的语言说出来；而作图与方程之间在笛卡尔之前确有不相容。
一个概念出生时，三个位置里有几个在争。
取值：3＝三活｜2＝一固｜1 与 0＝二固与三固。
参战维数是一个序数标签，不是可加的量。它不做算术，不进排名，不写成「创新度几分」。
理由不只是体例。写成分数会立刻带来两件错事：其一，它暗示三层是同一种东西的三个强度，而第 4.6 节已经证明它们是三种不同的东西；其二，本站 2026-08-20 的政策是对外零分数、只出可清点判据，而机制分类不是分数——措辞必须让人一眼看出区别，否则政策形同虚设。
第一步：有没有一条三家共有的前提被推翻？
有 → 三活，转填四要件表加固化维一格（填「无」）。
无 → 第二步。
第二步：两家的回答是否不相容且不可互译？
是 → 一固。指认固化维（用第 4.2 节的三态判据），并按第 4.5 节预测产物。
否 → 第三步。
第三步：是不是删条款、换记号、直接推广？
是 → 二固。
否 → 存疑，不计入。
执行纪律（照二级学科那批 48/48 的做法）：固化维必须事先指定，写在读史料之前。 这条纪律一松，中级层立刻成为万能兜底——比第一版更危险，因为第一版至少只有一条界。
二固层是数学工作的九成以上，且理应如此。 一个每天都在开新栏的学科不可能积累任何东西。
一固层是最丰产的一层，且它的丰产是必然的而非偷懒：一维钉死之后另外两维的组合空间可穷举（第六编第 30.4 节推论三）。
而两层都是三活层的前提。 断裂是一阶工作做到极限的产物；签字工具全是一阶的产物（第一版第 28.5 节，八例核对无例外）。没有那些工具，三活层出生了也签不了字，只能像莱布尼茨的无穷小那样悬着三百年。
每章开头一张表，格子定死，填不满就是填不满。
三活层（七格）
| 格 | 要求 |
| 形／算／计 | 各填一个可引用的具体工作，不得填领域名；三家不得有空位 |
| 固化维 | 填「无」（三活层按定义无固化维） |
| 共有前提 | 用固定句式写一句；须通过「念给三家听」的验收；尽量有补丁作为独立证据 |
| 材料·产出位置 | 由哪一位产出，可引用的具体结果 |
| 材料·撞上位置 | 由哪一位撞上；若无算法跑出非法产物，填「无」 |
| 材料的原题 | 该文献自身声明的问题；可以在数学之外 |
| Z 与拒绝 | Z 不得用后来的定义表述；拒绝须有文献，至少两家有据 |
| 签字 | 具体的一致性论证或模型构造；找不到填「无签字」 |
一固层（六格）
| 格 | 要求 |
| 固化维 | 事先指定，并指出它的账如何被双方当作裁判 |
| 在争的两家 | 各填一个具体工作，并说明两者何以不可互译 |
| 无前提被推翻的核验 | 明写「本例未推翻任何共有前提」，并说明若有人主张有，那一条是什么、为何不成立 |
| Z | 新单位或新过程，且须说明它由固化那一家的哪个旧单位切出（S 型）或它翻译的是哪两家（E 型） |
| 产物型核验 | 与第 4.5 节的预测对照，命中或未命中都记 |
| 拒绝 | 记录是否只有碰撞的两家在争、固化的那一家是否表态 |
二固层（三格）：从哪里删／换了什么记号／推广的方向。不设最弱处一节。
生产纪律（三活层与一固层通用）
1. 案例编不许提前下结论。模式在第五、六编由表抽出。
2. 每章必有「本章最弱处」，须写明与最近占位者的区分是否有可判错设计；写不出即退回重写。
3. 不利于本书的史料写进正文，不放脚注。
4. 凡归属可两判者，取对本书结论不利的那一判。 第一版执行七次，代价是一条定律判负（第一版第 26.1 节）——这个代价必须付。