（约前 450 年）
| 格 | 内容 |
| 形 | 欧几里得式的几何作图传统：线段、正方形、其上的对角线。回答方式是「把量画出来，指着它说就是这个」 |
| 算 | 辗转相减求公度（ἀνθυφαίρεσις）。给定两个量，反复以小减大，直到得到一个共同的度量单位。回答方式是「照这样做下去就得到它们的比」 |
| 计 | 「万物皆数」的比例账本：任意两个量之比是整数比 m∶n。回答方式是「它是多少分之多少」 |
| 共有前提 | 一切量必须是可通约的（任意两个量都有公度） |
| 材料·产出位置 | 计（算术）：奇偶论证是整数性质的标准工具，与量的通约性无关 |
| 材料·撞上位置 | 算：辗转相减求公度的程序在对角线与边上永不终止，是这条程序把奇偶论证推到了这道题上 |
| Z | 不是数的量——一类可以被画出来、可以被比较大小、却不对应任何整数比的存在物 |
| 拒绝 | 放逐型为主：不宣称它不存在，而是把它划出算术，交给几何，并规定几何只谈比的大小不谈比的值。否定型的记录只有希帕索斯溺亡的传说（Iamblichus，晚出八百年，不可作为主证据） |
| 签字 | 欧多克索斯比例论（《原本》第五卷）。严格说这不是签字而是隔离——见 7.6 |
后世常把毕达哥拉斯学派的「万物皆数」当作神秘主义的口号。就本书的目的而言，更有用的读法是把它当作一个精确的数学纲领：
任意两个同类量之比，等于某两个整数之比。因此，一切关于量的问题，原则上可以化归为关于整数的问题。
这是一个还原纲领，与后世的算术化、集合论化在结构上是同一类东西。它的力量在于它给出了一条统一的路：几何量（长度、面积）看上去是连续的、不可数的，但只要一切量可通约，几何就可以完全建立在整数之上。
三个位置在这个纲领下配合得极好：
· 形画出两条线段。
· 算给出辗转相减的程序，跑到底得到公度。
· 计把公度的份数数出来，得到 m∶n。
三家互相翻译，翻译不丢东西。这是第 1.4 节所说的正常状态的一个完美标本。
奇偶论证是希腊算术里最基础的工具之一。它的内容平凡到不值一提：一个整数要么是偶数要么是奇数，不可能两者都是。这条被用来处理各种整数问题——毕达哥拉斯学派本身就对奇偶有大量研究（他们把奇偶当作宇宙论的原理之一，「奇」对应有限，「偶」对应无限）。
现在把它转向正方形的对角线与边。设两者可通约，即对角线∶边 = m∶n，且 m、n 互素。由勾股关系得 m² = 2n²。于是 m 是偶数，写 m = 2k，代入得 2k² = n²，于是 n 也是偶数。但 m、n 互素，不能都是偶数。矛盾。
这个论证的四个要件在这里全部齐备，值得逐条看：
材料出自三家之一自己。 奇偶论证是算术（计）自己的工具，不是从几何搬来的，更不是从哲学搬来的。
材料早已掌握。 它不是为了这个证明才做出来的，它是算术的日常工具。
材料原本回答另一道题。 它回答的是整数的性质，从来没有人拿它去问「一切量是否可通约」。
它使三家无法退回。 毕达哥拉斯派不能拒绝奇偶论证——那是他们自己的算术，而且是他们赋予宇宙论意义的那一部分算术。他们也不能拒绝勾股关系——那是他们的定理。他们更不能拒绝正方形有对角线这件事——形就画在那里。三条路全部堵死。
需要小心地把共有前提与被推翻的命题分开。
被推翻的命题是：正方形的对角线与边可通约。 这是一个具体命题。
共有前提是：一切量可通约。 这是一条资格规定——它规定了什么东西有资格被称为量：凡是量，必与其他同类量有公度。
区别在哪里？若只是前一个命题被推翻，处理办法是把它列为例外：这一对量特殊。而事实上希腊人很快发现 √3、√5、√17 都是同样的情形（泰阿泰德），例外多到不能称为例外。这时被击中的是后一条——资格规定本身。
而资格规定从未被写下来过。它不出现在任何一条公设里。翻遍《原本》，找不到「一切量可通约」这条公设——因为在它被推翻之前，没有人想到要把它写下来；在它被推翻之后，写下来就是错的。这正是第 2.5 节所说的：共有前提是那些不必写下来的东西。
本案例的补丁不在推翻之前，而在推翻之后——这与其他案例不同，值得单记。
推翻之前，三家配合无间，没有需要修补的地方。这与复数、理想、超穷数的情形不一样：那些案例里，冲突先以别扭的形式出现（用而不认），补丁先打上，前提在补丁下面撑了很久。而不可通约量是一次性的：一个短短几行的论证，一击致命。
这一点使本案例成为四要件表能填满、但「补丁定位法」（第 3.5 节）用不上的一例。本书的十九例中，这样的有五例。它们的共同特征是：材料是一个判决性的证明，而不是一批积累的反常。第 34 章的真跑设计里，这一类被单独编码。
计的拒绝最直接：承认它，账本平不了。「万物皆数」不再成立，而以它为基础的整个还原纲领作废。
算的拒绝表现为程序的失效：辗转相减用在对角线与边上，永不终止。这是一个操作上的事实，希腊人观察到了（它其实是连分数展开的周期性，后世才被理解为一个正面的性质）。在当时，「程序不终止」意味着这条路走不通，而不意味着走到了一个新东西。
形的态度是本案例里最微妙的一处。形不拒绝——对角线画在那里，谁也不能说它不存在。形是三家里唯一站在新对象一边的。 这是本案例的特殊之处：不是三家一致拒绝，而是两家拒绝、一家不得不承认。
按第 6.2 节（丙）的验收标准，这似乎构成一个问题：三家不齐？
本书的处理是：形的「不拒绝」本身就是它的立场，而这个立场与另外两家不相容。 形说「这个量在这里」，计说「它不是量」，算说「我到不了它」。三家仍然各持一答且互不相容，符合断裂的定义。区别只在于，本案例里那个新东西是可以被显示的——而这恰恰解释了它的结局：它被放逐到几何里去了。因为形是唯一容得下它的位置。
这个观察在后面会反复用到：新对象被放逐到哪里，取决于三家里哪一家容得下它。 不可通约量被放逐到几何（形容得下），理想数在 Kronecker 那里被留在算法里（算容得下），δ 在物理学里被容忍了二十年（用途，即广义的计，容得下）。
《原本》第五卷的比例论，通常被誉为对不可通约量的解决。就数学成就而言，它确实极其伟大——它可以处理任意两个量的比，不要求可通约，其定义（比 a∶b 与 c∶d 相等，当且仅当对任意整数 m、n，ma 与 nb 的大小关系同于 mc 与 nd）与戴德金分割在形式上高度相似，相隔两千二百年。
但按本书第 6.6 节的规格，它不是签字。
签字的定义是：给出一个模型或一致性论证，使那个对象获得与已被承认的对象同等的名分。欧多克索斯做的恰恰相反：他给出了一套绕开对象的技术。比例论从头到尾不问「a∶b 是多少」，只问「a∶b 与 c∶d 是否相等、谁大谁小」。它把新对象的关系全部处理干净了，而把新对象本身留在括号外。
这是第 4.4 节所说的放逐型拒绝的最高级形态：不是把它赶出去，而是造一套装置，使得没有它也能把事情做完。
放逐的代价维持了两千年：数与量在西方数学中分裂为两个体系，算术管数，几何管量，两者不能互相化归。这个分裂直到十九世纪的算术化运动（戴德金、康托尔）才被取消——而取消它用的工具（戴德金分割），在形式上是欧多克索斯定义的一个改写，只是这一次，那个被绕开的东西被正面地定义为一个对象了。
两千二百年的差距落在哪里？落在开栏与绕开的区别上。欧多克索斯有全部的技术，缺的是给那个东西一个名分的意愿——而在他的账本上，那个名分开不出来，因为「数」的资格规定还在。
不可通约量是本书十九例中最早的一个，也是最干净的一个：材料判决性、来源清楚、拒绝有据、结局明确。它同时确立了后面反复出现的三个形状：
其一，材料是自家最基础的工具。 越基础、越常识、越不引人注目，杀伤力越大（第 3.4 节）。
其二，被推翻的是资格规定，不是具体命题。 具体命题被推翻只产生例外，资格规定被推翻才开栏（第 2.6 节甲类）。
其三，出生与签字可以相隔极远。 出生在前 450 年前后，签字在 1872 年戴德金——两千三百年。这是全书最长的一次悬置，第 29 章的时长表以它为上端。
其一，史料的可靠性是全书十九章里最差的。 关于毕达哥拉斯学派发现不可通约量的记载，全部来自晚出数百年的转述（亚里士多德是最早的可靠证人，但他只用一句话提及奇偶论证；希帕索斯的故事出自公元四世纪的 Iamblichus）。谁在哪一年用什么方法发现的，都不确定。Knorr（1975）与 Fowler（1987）对整个标准叙事提出了系统的怀疑，Fowler 甚至主张希腊人的「比」概念根本不是我们理解的那种，因而「不可通约的发现」这个说法本身就是时代错置。
本书的处理：即使 Fowler 是对的，本章的四要件表仍然可以填——只是「计」那一格的内容要改为 Fowler 重构的辗转相减比论，而「材料」那一格改为「辗转相减程序在对角线与边上不终止」（出自算，原本回答的是求公度）。两种重构下，机制不变，材料的位置从计移到算。本书采用标准叙事，因为它文献更常见，但读者若采纳 Fowler，本章的结论只需换一格，而在第 26 章的计数上会从「计」移到「算」，即更支持逾越律。这一处本书特意选了对自己不利的那个版本。
其二，与最近占位者的区分只有口头区分。 最近的占位者是 Knorr（1975）关于「不可通约性发现的逻辑结构」的分析，以及 Wilder（1968）把它当作「文化压力下的概念变化」的处理。本书与 Knorr 的区分在于：他分析的是那个证明的逻辑，本书分析的是三家的位置结构；与 Wilder 的区分在于：他诉诸文化压力，本书诉诸自家材料的强制性。这两个区分都是口头的——本书想不出一个能把三者分开的可判错设计。如实记。
（约 7 世纪—17 世纪）
| 格 | 内容 |
| 形 | 位值记号系统（印度—阿拉伯数码、算筹布位、后来的代数记号）。回答方式是「把它写出来，指着那个位置说就是这个」 |
| 算 | 方程求解程序：花拉子米的还原与对消、中国的天元术、后来的卡尔当—韦达代数。回答方式是「照这个程序做下去」 |
| 计 | 计数与量度的账本：数是对物的计数，或对量的度量。回答方式是「有多少个／有多长」 |
| 共有前提 | 数必须是对某物的计数或度量 |
| 材料·产出位置 | 计（记账）：欠债项是可加减、可与资产相消的量，印中账法已成熟运行数百年，原题是「怎样把往来账目算平」 |
| 材料·撞上位置 | 算：解方程的程序在中间步骤与最终结果上自动产出负值与零，原题是「怎样把方程化到 x = 某值」 |
| Z | 数＝运算中的位置——一个不对应任何被计数之物、只由它在运算系统中的角色定义的存在物 |
| 拒绝 | 否定型：Cardano 称负根为「虚构的」（ficta），Descartes 称为「假的根」（racines fausses），Vieta 完全不用负数，Pascal 认为「零减四等于零」是显然的胡话。放逐型：许多代数教本把带负系数的方程分列为若干「情形」以避免负数出现（花拉子米六型、卡尔当十三型） |
| 签字 | 分两次：Hankel 1867 提出形式主义的「原理的持存」；Peano 1889 与后来的公理化把整数环构造为自然数对的等价类（Weber、Landau）。这是本书十九例中签字最晚、最零碎的一例 |
零与负数是十九例中时间跨度最长、地域最分散、文献最不齐的一个。它横跨印度、中国、伊斯兰世界与欧洲，跨越一千年，且三家的争论从未在同一时间同一地点集中发生过。
这带来一个方法上的困难：三家的断裂是否真的存在，还是本书把不同时代不同地方的三种态度拼在了一起？
这个困难是真实的，本书不掩饰。本章采取的处理是：把考察范围收窄到十六至十七世纪的欧洲，因为只有在那里，三个位置同时在场、彼此可见、且留下了争论的文献。印度与中国的部分作为「材料早已存在」的证据引用，不作为三家断裂的现场。
这个收窄有代价：它使本章看上去像一个欧洲中心的叙述。这个代价必须明说。真实的情形更可能是：这一栏在印度与中国被部分地开过，而在欧洲被重新经历了一遍。 本书没有能力处理跨文明的开栏问题（第 4.9 节的选择偏差在这里最严重）。
在欧洲十六世纪的账本上，「数」这个词的含义是清楚的：数是多个单位的集合（欧几里得《原本》第七卷定义二：数是由单位组成的多）。这条定义有三个直接后果：
· 1 不是数，是单位（十六世纪仍有人坚持这一点）。
· 分数严格说不是数，是比。
· 小于单位的、以及小于「没有」的，不是数。
三家都站在这条定义上：
· 计：数是计数的结果，你不可能数出负三个苹果。
· 形：数被显示为一段长度或一列位置，长度不能是负的。
· 算：解方程的目的是求出那个未知的量，量当然是正的。
请注意第三家。算并不是新对象的辩护者——它同样站在共有前提上，而这正是它打补丁的原因。
补丁在这个案例里极为醒目，且延续了八百年。
花拉子米（约 820）把二次方程分成六种情形：x² = bx、x² = c、bx = c、x² + bx = c、x² + c = bx、bx + c = x²。为什么要分？因为他要让每一个系数都是正的。若允许负系数，六种情形只是一种。
卡尔当（1545）处理三次方程时，同样的做法使情形数升到十三。他必须为每一种情形分别给出一条公式，分别给出一个几何论证。整本《大术》的组织结构，就是这个补丁。
这是第 2.5 节所说的补丁的教科书标本：一个人人都在用、人人都觉得麻烦、但没有人去动前提的技术性修补。 而它精确地指出了共有前提的位置：如果数可以是负的，十三种情形立刻塌成一种。三百年里，所有人都宁可写十三条公式，也不肯动那条没写下来的规定。
补丁同时指出了材料在哪一家：打补丁的是算。 算在解方程时反复撞上负值，撞了八百年，每次都用分情形绕开。
本案例的材料有两件，分属两家，这在十九例中是少见的（大多数案例只有一件）。
材料一（出自计）：记账中的欠债。
印度的婆罗摩笈多（628）在《婆罗摩历算书》里给出了完整的正负数运算规则，包括零的运算，并明确用「财产」与「债务」来解释。中国的《九章算术》方程章早在此前已有正负术，用红黑算筹表示。这些不是数学家的哲学推想，是记账实践的形式化——它们回答的是「怎样把往来账目算平」。
这件材料的关键性质：它是「计」这一家自己的。计是三家中最坚决否认负数的一家（数是计数），而记账恰恰属于计的领域。也就是说，计这一家内部，有一块地方八百年来一直在合法地使用负量，而这块地方从未被认为对「数是什么」有任何发言权。
这正是第 3.4 节所说的形状：材料在本家的地位越稳固、越日常、越不引人注目，杀伤力越大。没有人会说记账是错的——账天天要算。
材料二（出自算）：程序自动产出负根。
解方程的程序，一旦按统一的规则执行（而不是分情形），就会自动产出负值。这不是数学家想要的，是程序跑出来的。卡尔当在处理某些情形时会得到负根，他称之为「虚构的」并弃置，但他记录了它们——他知道那些值代入原方程是对的。
这两件材料合起来，形成了一个夹击：计自家的一块地方在用它，算自家的程序在产出它，而三家的共有前提说它不该存在。
不可通约量是一击致命，零与负数用了八百年。差别在哪里？
本书的读法是：因为这个案例的材料不是判决性的，是积累性的。
奇偶论证是一个证明——它一次性地关闭了「可通约」这条路。而记账中的欠债与方程中的负根，都不是证明，它们是惯例。惯例可以被长期地当作「实用的方便」而不被赋予本体地位。卡尔当可以一边算出负根一边说它是虚构的，这中间没有逻辑矛盾——他只是拒绝给一个计算中间物发身份证。
这个区分在后面还会用到（第 19 章极限、第 25 章广义函数都属于积累型）。本书在第 29 章的时长表里把十九例分成判决型与积累型两组，两组的从出生到签字的时长中位数相差一个数量级。
这个案例的 Z 特别值得注意，因为它是本书十九例中最抽象、也最难被当时的人听懂的一个。
新对象不是「负数」这个东西——负数只是一批具体的新数。新对象是一个关于数是什么的新答案：数不是对物的计数，数是一个系统中的位置，由它与其他位置的运算关系定义。−3 之所以是一个数，不是因为它数了什么，而是因为它是那个满足 3 + x = 0 的东西。
这个答案的完整形态要等到十九世纪。Hankel 1867 年的「原理的持存」（Permanenzprinzip）第一次明确地把它说出来：扩充数系时，要求原有的运算律继续成立，而扩充出来的新元素的意义就由这些运算律给定，不需要另外的解释。
Hankel 的这句话，是本书全部十九例中最接近「把机制说出来」的一次。他实际上在说：新对象的名分不来自它指称什么，来自它在系统中的位置。 这是纳格尔 1935 年那篇文章的先声。
本案例的签字栏最难填，因为它不是一次事件。
· Hankel 1867：原理的持存——这是一个方法论宣言，不是一致性证明。
· Weber、Peano、Landau 一系（1889—1930）：把整数构造为自然数有序对的等价类 (a,b) ~ (c,d) ⟺ a+d = b+c。这才是模型：负数被显示为一对自然数，而自然数是已被承认的。
· 更彻底的签字在集合论完成之后：整数环是集合论中的一个构造，它的一致性归约到集合论的一致性。
三步走完，用了六十多年，而且是在负数已经被普遍使用了两百年之后。签字远远晚于接受。 这一点与复数不同（复数是签字之后才被普遍接受的），本书在第 28 章会把两种时序都记录下来，并说明签字律的准确形式是「合法化由计以模型完成」，而不是「接受由签字触发」。
其一，三家断裂的现场是被收窄出来的。 见 8.1。真实的历史更可能是多中心的、部分重叠的，而本书为了让四要件表可填，选取了十六至十七世纪欧洲这一个切面。这是本书方法在跨文明案例上的一次明显失灵。
其二，「数是对某物的计数」这条前提在文献中曾被讨论过。 按第 6.3 节（乙）的验收标准，共有前提不应出现在明文定义里——而欧几里得第七卷定义二恰恰是明文的。这构成一个对本章的直接质疑：既然它被写下来了，它就不是共有前提，而是一条可争的定义。
本书的辩护是：被写下来的是「数是由单位组成的多」，而这条定义被写下来时，它是在回答「数是什么」；把它当作资格规定来用（凡不计数之物不是数），是使用而非陈述，且这个使用从未被明文写出。这个辩护是有区分度的，但它比其他章的相应处要弱。如实记。
其三，与最近占位者的区分。 最近的占位者有三处：Nagel（1935）对「不可能数」合法化的分析、Hankel 的持存原理本身、以及 Menninger（1958）关于数字与记账的文化史。与 Nagel 的区分是本书的一贯区分（他答合法化，本书答为什么先经过不可能）；与 Hankel 的区分是：他给的是一条规范（扩充时应当保持运算律），本书给的是一个机制（三家被自家材料逼到无路可走）——规范说的是应该怎么做，机制说的是实际上是什么逼成的。与 Menninger 的区分：他做的是记账实践的文化史，没有把记账当作推翻数学共有前提的材料。三处区分中，只有与 Hankel 的那一处有可判错的设计（若发现有数系扩充是在明确违反持存原理的情况下完成的，则规范说失效而机制说不受影响——四元数正是这样一个案例，见第 10 章），另外两处是口头区分。
（1545—1831）
| 格 | 内容 |
| 形 | 数轴与几何量的显示传统；1545 年时无法显示 √−1，形以「画不出来」为由拒绝。1797—1806 由 Wessel、Argand、Buée 给出平面显示，形的立场因此翻转 |
| 算 | 三次方程的卡尔当解法（1545）及其在不可约情形上的运行（Bombelli 1572）。回答方式是「这条路必须经过这里」 |
| 计 | 数即量的账本：量可多可少，量的平方非负。回答方式是「路上那个东西不是量，因而不存在」 |
| 共有前提 | 数必须是一个量 |
| 材料·产出位置 | 算：卡尔当解法在不可约情形上的运行（Bombelli 1572），原题是「怎样解三次方程」 |
| 材料·撞上位置 | 算（同位）：正是求解程序自己把 √−1 顶到了台面上，Bombelli 证明三实根非经此步不可到达 |
| Z | 有方向的数——一个不是量、不能比大小、却参与四则运算并在运算中占据确定位置的存在物 |
| 拒绝 | 否定型，且持续三个世纪：Cardano 称 √−1 的运算「精妙而无用」；Descartes 1637 造「虚的」（imaginaire）一词；Newton 认为它表示问题无解；Euler 1770 在《代数学导论》中一边系统使用一边称其为「不可能的数」；Gauss 1799 已用平面表示而不发表，直到 1831 |
| 签字 | Hamilton 1837：复数＝实数的有序对 (a,b)，乘法定义为 (a,b)(c,d) = (ac−bd, ad+bc)。一致性归约到实数的一致性 |
卡尔当 1545 年《大术》给出的三次方程解法，对 x³ = px + q，根是
x = ∛(q/2 + √(q²/4 − p³/27)) + ∛(q/2 − √(q²/4 − p³/27))
当 q²/4 − p³/27 < 0 时，根号下是负数。而线性代数上一个初等的事实是：恰恰在这种情形下，方程有三个相异的实根。
这是一个几乎荒谬的局面：三个完完全全的实数，只有经过一个「不存在的东西」才能被公式算出来。卡尔当本人称这种情形为「不可约的」，并且回避它——他在别处处理其他情形时，对负数平方根有过一段著名的计算（把 10 分成两部分使其积为 40，得 5 ± √−15），他做完计算，验证了乘积确实是 40，然后写道：这在算术上是精妙而无用的。
Bombelli 1572 年《代数》做的事，是把回避改成了正视。 他系统地建立了一套「+ 号乘 + 号的负平方根」的运算规则（相当于 i 的乘法表），然后用它算出了 x³ = 15x + 4 的根 x = 4——一个明明白白的整数。计算的中间物是 2 ± √−121，两个立方根相加，虚部消掉，得 4。
Bombelli 的意义在于他证明了：这不是一个可以绕开的技术麻烦。 三次方程的三实根情形，非经这条路不可到达。后来 1890 年代由 Hölder 严格证明：不可约情形下，三个实根无法用实的根式表示。 这条定理是本案例材料强制性的最终确认，虽然它晚了三百年。
算说：这条路必须走。 而且——这一点极重要——算并不因此声称 √−1 存在。算的职责是给出路径，不是给东西发身份证。Bombelli 建立了完整的运算规则，用它算出了正确的实数答案，然后就停在那里。他没有说「所以负数有平方根」，他说的是「按这套规则操作，能得到正确的结果」。
计说：路上那个东西不是量，因而不存在。 这个判断在当时的账本上百分之百正确。数是量，量可多可少，量的平方非负，因此没有一个量的平方是 −1。计的推理无懈可击。
形不出声，而这个不出声是一种拒绝。 按第 6.2 节的规格：形对这道题有立场——数应当能被显示为长度或数轴上的位置，而这个东西不能，因此形不承认。这是「本可以显示而显示不出来」的沉默，算占位。
本案例的补丁是全书最清晰的一个，而且它的形式极为纯粹：大规模地使用，同时明文否认。
Euler 是这个补丁的极致。他是十八世纪最大规模使用复数的人：e^{iθ} = cos θ + i sin θ 是他的（1748），复对数的多值性是他理清的，复变函数的许多基本性质出自他手。同一个 Euler，在 1770 年的《代数学导论》里写道：√−1 这类量既不大于零也不小于零也不等于零，因此它们不在可能的数之中，它们是不可能的数（unmöglich）。
按第 3.5 节的方法：补丁在这里，打补丁的是算，材料就在算这一家。 这条定位方法在本案例上得到最干净的验证。
值得再说一句 Euler 那句话的结构。他的论证是：一个数必须与零可比大小（大于、小于、等于三者必居其一）；这个东西与零不可比；所以它不是数。这个论证把共有前提用得明明白白：数是量，量必可比大小。 这是十九例中，共有前提离被明说最近的一次——Euler 几乎说出来了，但他是把它当作理由用，不是当作可疑的假设提出来。
1797 年，挪威测量员 Wessel 向丹麦皇家科学院提交了一篇论文，把复数表示为平面上的有向线段，并给出乘法的几何意义（模相乘、辐角相加）。1806 年，巴黎的书商 Argand 独立做了同样的事。1831 年，Gauss 公开发表了他早已私下使用的平面表示，并且——这一点常被忽略——同时给「虚数」这个名字辩护，说这个称呼本身造成了偏见。
形的出场改变了什么？
它没有增加任何计算能力。Euler 用复数算出的一切，在没有复平面时就已经算出来了。Wessel 与 Argand 没有解决任何 Euler 解决不了的问题。
它改变的是可显示性。而可显示性是签字的前置条件。这是第 28 章那条定律的核心：计只能对形签字，不能对算签字。
理由不难看出。计的签字方式是一致性——它要检查这个东西与已承认的东西合起来会不会矛盾。而要做这个检查，必须有一个可以被检查的对象。算给出的是一条路径，路径的中间物没有独立的身份，你无法对一个中间物做一致性检查——它只在那条路上存在。形把它变成一个可以指着看的东西（平面上的一个点），计才有东西可查。
复数从 1572 年到 1837 年的两百六十五年，几乎全部消耗在等形出场上。这是本书对「为什么复数用了这么久」这个问题的回答，它与常见的回答（数学家的形而上学偏见、缺乏严格性的时代风气）不同：不是人们不够开明，是签字的前置条件不具备。
1837 年，Hamilton 在《共轭函数论，或代数偶》里做了签字工作：
把复数定义为实数的有序对 (a, b)。加法逐分量，乘法定义为 (a,b)(c,d) = (ac − bd, ad + bc)。验证这套定义满足全部域公理。于是 (0,1)² = (−1, 0)。
签字的性质在这里看得很清楚：
其一，它把新对象归约到已承认的对象。 有序对是集合论式的构造（虽然当时还没有集合论），实数是已被承认的。所以复数的一致性归约到实数的一致性——不多要一分信任。
其二，它取消了「这个东西是什么」这个问题。 Hamilton 没有回答 √−1 是什么，他构造了一个东西，它满足我们要求 √−1 满足的一切，而它是由已有材料造的。至于它「真的是不是」√−1，这个问题被取消了。这正是纳格尔 1935 年的论点。
其三，签字者不是提出者。 提出复数的是 Bombelli 与 Euler，显示它的是 Wessel、Argand、Gauss，签字的是 Hamilton。三批人，跨两百六十五年。这符合第 28 章的一般形状。
其四，签字所用的工具是一阶的。 有序对不是一个新对象，它是把两个已有对象放在一起的一种记号。第 5.6 节说过：一阶工作是签字工具。这里是最直接的证据。
复数的 Z 常被说成「引入了 i」。这个说法不准确，因为它把 Z 说成了一个具体的数。
Z 是一个新的存在物类型：一个不是量的数。它的特征性质是 Euler 用来否认它的那一条——与零不可比大小。承认它，就是承认「数」这个范畴里可以有不能排成一条线的成员。
这个承认的后果是深远的，而且在当时无人预见。它打开的不是复数一栏，而是「数系可以有多种」这个可能性。四元数（第 10 章）、p 进数（第 12 章）、超实数（第 13 章）都是在这一栏开了之后才可能的——不是逻辑上可能，是账本上留出了位置。
这一点在第 29 章会作为一个一般现象记录：开一栏往往不止开一栏，它松动的是一整条资格规定，于是后续的开栏变快。 复数用了两百六十五年，四元数用了不到十年（从 Hamilton 开始想到 1843 年），p 进数出生即被容忍（虽然长期不被重视）。
本案例有三个替代解释流传较广，本书须逐一处理，否则四要件表的说服力不足。
替代一：复数被接受是因为它有用。 反驳：它在被接受之前的两百年里就极其有用（Euler 的全部工作），而且当时的人明确知道它有用。有用没有带来接受。有用带来的是补丁（用而不认）。
替代二：复数被接受是因为严格性标准提高了。 反驳：时序相反。严格性运动（柯西、魏尔斯特拉斯）是十九世纪二十年代之后的事，而 Wessel 是 1797 年，Argand 是 1806 年。更重要的是，严格性提高本身不会产出一个新对象——它只会更严厉地把不合格的东西赶出去。
替代三：Gauss 的权威使它被接受。 部分成立，但不解释机制。Gauss 1831 年的表态确实加速了接受，但他表态的内容正是形的显示（平面表示）与随后的签字工作。权威加速了传播，没有创造条件。
其一，「形不出声」这一格的填法带有构造性。 说 1572 年的形「以画不出来为由拒绝」，这在文献上没有直接证据——没有人在 1572 年写过「我画不出 √−1 所以我不承认」。本书是从「当时的数学论证极度依赖几何可显示性」这一背景推断出来的。这是十九章里对第 6.2 节（丙）验收标准最勉强的一次执行之一。
其二，与最近占位者的区分。 最近的占位者是 Nagel（1935）、Kline（1972，第十三章）、以及 Nahin（1998）关于 √−1 的通史。与 Nagel 的区分同前。与 Kline 的区分：他讲的是同一段史料，结论是「数学的发展不是逻辑的而是实践驱动的」——这与本书不冲突，但它不给机制。与 Nahin 的区分是体裁的。
真正有威胁的占位者不在数学史，在数学哲学：Wilson（2006）《游荡的意义》关于概念如何在应用压力下「漂移」的分析，与本书对复数的处理在结构上接近。区分在于：他的漂移是渐进的、无判决点的，本书主张有一个判决点（材料对共有前提的推翻）。这个区分有可判错设计：若复数的接受过程在文献上表现为均匀渐进、无任何可指认的转折，则漂移说胜；若表现为长期停滞后随形的出场而急转，则本书胜。史料支持后者（1572—1797 二百二十五年几乎无进展，1797—1837 四十年内完成显示与签字），但这个读数依赖于「无进展」的判定，而 Euler 的大量工作显然是进展——只是不是朝这个方向的进展。这一处需要更细的编码，本书未做。
（1748—1843）
| 格 | 内容 |
| 形 | 复平面：复数作为平面上的点，乘法作为旋转与伸缩。回答方式是「数被显示为平面上的位置，那么三维的数应被显示为空间中的位置」 |
| 算 | 三维旋转与空间几何的计算需求；Hamilton 十年间反复尝试的三元组乘法构造程序 |
| 计 | 除法代数的账本：模相乘（范数可乘性）。若 z、w 各有模，则 zw 的模等于两模之积——这是复数最有用的性质，任何推广都必须保住它 |
| 共有前提 | 乘法必须是交换的 |
| 材料·产出位置 | 计（数论）：Euler 四平方和恒等式（1748），原题是费马—Euler 传统下的平方和表示问题 |
| 材料·撞上位置 | 无：算跑了十年而什么也没产出（见 31.2）。材料在本案例中起的是追认强制性的作用，不是被撞出来的 |
| Z | 不交换的数——一个满足除法代数全部要求、却使 ab ≠ ba 的存在物 |
| 拒绝 | 否定型：Kelvin 称四元数「虽然对 Hamilton 而言是美的，但对以任何方式接触过它们的人来说是纯粹的恶」；Heaviside 与 Gibbs 系统地把它拆成标量积与向量积，理由是四元数「不自然」。放逐型：二十世纪的物理教学几乎完全排除四元数，直到计算机图形学重新启用 |
| 签字 | 本案例的签字最迅速：Hamilton 当天即验证了乘法保范数，1878 年 Frobenius 定理给出终局签字——实数上的有限维结合除法代数只有三个：ℝ、ℂ、ℍ。这条定理把 Z 的位置在账本上钉死 |
1830 年代，Hamilton 已经完成了复数的有序对签字（第 9 章）。下一步是显然的：既然实数对应直线上的点、复数对应平面上的点，那么应当有一种「三元数」对应空间中的点。
他为此工作了十年。他儿子的回忆是著名的：每天早晨下楼吃早饭，孩子们会问「爸爸，你能把三元组相乘了吗」，他只能摇头说还不能。
失败的原因在当时不清楚。Hamilton 要求他的三元数满足：
· 是 a + bi + cj 的形式（三个分量）；
· 有乘法，且乘法与加法分配；
· 有除法（非零元可逆）；
· 模相乘，即 |zw| = |z||w|。
最后一条是「计」的要求，也是他不肯放弃的一条——因为它是复数最有用的性质，也是把数系推广到几何上唯一有意义的方式。
这四条要求合起来，无解。而且这件事，在当时的账本上，早已有答案，只是没有人这样读它。
Euler 1748 年在与哥德巴赫的通信中给出了四平方和恒等式：
(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²)(b₁² + b₂² + b₃² + b₄²) = c₁² + c₂² + c₃² + c₄²
其中 cᵢ 是 aᵢ、bⱼ 的显式双线性表达式。这条恒等式在数论里回答的是：四平方和表示的乘性问题——它是 Lagrange 1770 年证明「每个自然数都是四个平方数之和」的关键工具（有了乘性，只需对素数证明）。
这条恒等式还有一个更早的两平方版本（Diophantus—Brahmagupta—Fibonacci 恒等式），它对应的正是复数的模相乘。
关键的读法转换是：这些恒等式说的是「n 个分量的组可以有保范数的乘法」，而 n 只能取某些值。 两平方有（复数），四平方有（四元数），八平方有（Cayley 1845 的八元数，Degen 1818 已给出恒等式），三平方没有——这是一条初等的、当时可验证的事实。
也就是说：Hamilton 十年间要找的那个三元组乘法，数论早在一百年前就写下了它不存在的理由，而没有人把那条恒等式读成一条关于「数可以有几个分量」的陈述。
这是第 3.4 节所说形状的最纯粹标本：材料在本家地位稳固（Lagrange 四平方定理的基石）、日常、不引人注目，而把它转过来，它是判决性的。
Hamilton 在布鲁姆桥上想到的那一步，是放弃交换律。
四元数 a + bi + cj + dk，规则是 i² = j² = k² = ijk = −1。由此得 ij = k 而 ji = −k。乘法不交换。
而放弃交换律之后，模相乘成立——因为四元数乘法的模相乘展开来，恰恰就是 Euler 1748 年的那条恒等式。
这个对应不是巧合，也不是 Hamilton 事后才发现的：他当天就验证了保范数。但据现有文献，他并不是从 Euler 恒等式出发想到四元数的——他是从几何直觉与反复的构造尝试出发的。材料在他背后，不在他手上。
这一点必须如实记，因为它触及本书装置的一个边界：材料来源规则说的是「推翻共有前提的材料出自三家之一自己」，它没有要求发现者本人是通过那件材料而想到的。规则是关于强制性的（三家无法退回），不是关于心理路径的（第 5.5 节的区分）。Euler 恒等式的作用是：一旦四元数被提出，三家中没有任何一家能说它是随意的、人为的——因为保范数这件事，是数论自家一百年前就写下的。
「乘法必须是交换的」这条前提，在 1843 年之前从未被任何人写下来作为一条假设。它属于第 2.6 节的（丁）结构类。
三家都站在它上面：
· 计：数的运算律是数的一部分；一个不交换的乘法根本不是乘法。
· 形：平面上的乘法（旋转伸缩）是交换的，空间中的自然推广也应当是。
· 算：全部代数操作的化简规则都默认可交换，放弃它意味着整套算法重写。
Hamilton 自己的记述表明，他放弃交换律时清楚地知道这是一件多么大的事——他在日记与信件里反复为此辩解，说这不是任意的，是被迫的。
四元数受到的拒绝，是十九例中形态最完整、记录最丰富的一个。
Kelvin（1892 年信件）：四元数「虽然对 Hamilton 而言是美的，但对以任何方式接触过它们的人来说是纯粹的恶」。
Heaviside 与 Gibbs（1880 年代—1890 年代）：系统地把四元数拆开，只保留三个虚部作为「向量」，把乘法拆成标量积（点乘）与向量积（叉乘）。他们的论证是实用主义的：物理学需要的只是这两个运算，不需要那个把标量与向量混在一起的四元数积。
这场「四元数—向量论战」在 1890 年代的《自然》与《电工》杂志上持续多年，是十九世纪末数学界最激烈的公开争论之一。
第 30 章会正式处理向量这个案例，此处先给结论：Gibbs—Heaviside 的向量是一阶的。 它的每一个内容都可以从四元数里读出来（把实部去掉、把乘法拆成两半），复述完毕不丢东西。它极其有用，它统治了此后一百年的物理教学，它不是新对象。
这构成本书的一个反直觉读数，需要说清楚：一阶产物在实用上压倒二阶产物，是常见的，甚至是常态。 向量比四元数好用，正如十三种情形的公式在卡尔当那里比引入负数「安全」。实用上的胜利与开栏与否是两个维度（第 4.6 节）。
有意思的是，一百年后，计算机图形学与航天姿态控制重新启用了四元数——因为在插值与避免万向节死锁的问题上，那个被 Gibbs 扔掉的部分恰恰是关键。
本案例的签字有两层。
第一层（即时）：Hamilton 当天验证了保范数，即四元数是一个除法代数。这一层是构造性的——他造出了它，它就在那儿。
第二层（终局）：Frobenius 1878 年证明：实数上有限维的结合除法代数，只有 ℝ、ℂ、ℍ 三个。 这条定理的意义在本书的框架里非常特殊：它不是给四元数一个模型（四元数本来就有模型），它是给这一栏画了边界——账本上这一类东西一共只有三个，不多不少。
这是「计」这一家最彻底的签字形式：不但承认它，而且把它连同它的全部同类一起数清了。 类似的形式在其他案例里也出现：Ostrowski 1916 数清了 ℚ 上的绝对值（第 12 章），Frobenius 数清了除法代数，Wantzel 与 Gauss 数清了尺规可作图的正多边形。第 28 章会把这类「数清了」的签字单列一型，称为终局签字，并指出它是签字的最强形态。
本章必须记录一处对本书不利的读数。
第 26 章的逾越律说：推翻共有前提的材料几乎总出自「算」——因为算是唯一自动前进的位置，它跑出了形与计都不承认的产物。
本案例是反例。材料（Euler 四平方恒等式）出自「计」（数论），而不是出自算。算在本案例里做的事是十年的失败尝试，它没有产出任何非法产物——它什么也没产出。
按第 6.8 节纪律三，这一处不修改定律去迁就，也不淡化。第 26 章的计数里，本案例记入「计」那一列，且在该章正文中被点名讨论。
这里可以先给一个观察，供第 26 章使用：本案例的材料之所以出自计，是因为共有前提本身是一条计的规定（乘法交换律是运算律，属于账本）。 十九例中，共有前提属于结构类（丁）的有五例，其中材料出自计的有两例。这提示逾越律可能有一个更精确的形式：材料来自哪一家，与共有前提属于哪一类有关。 这个更精确的形式在第 26 章会被提出，但本书没有足够的样本去检验它（第 6.9 节的样本量问题）。
其一，Hamilton 是否「用了」那条材料，文献上是否定的。 本章 10.3 已如实说明：他不是从 Euler 恒等式出发的。这使本案例的材料来源规则的执行方式与其他章不同——材料在这里起的是追认强制性的作用，不是引发推翻的作用。这个区别是否使本案例不合格，本书判为合格（因为规则是关于强制性的），但读者可以合理地判为不合格。若判为不合格，十九例减为十八例，且第 26 章计数中「计」那一列减一——这个方向对本书的定律有利。本书选择了对自己不利的判法。
其二，「乘法必须交换」是否真的是共有前提。 一个可能的反驳：在 1843 年之前，已经有过不交换的运算（矩阵乘法虽在 1858 年才有记号，但线性代换的复合早就在用，且复合不交换；置换的复合也不交换）。若不交换的运算已经在用，那么「乘法必须交换」就不是共有前提。
本书的辩护：那些不交换的东西当时不被称为数的乘法。置换的复合是「操作的接续」，线性代换的复合是「代换的接续」，它们与「两个数相乘」在当时的账本上是两类东西。共有前提的准确表述应是「数的乘法必须交换」。这个辩护成立，但它使共有前提变窄了一些，因而也弱了一些。
其三，与最近占位者的区分。 最近的占位者是 van der Waerden（1976）关于四元数发现的史学分析、Crowe（1967）《向量分析史》、以及 Pycior（1976）关于英国代数学派「符号代数」传统的研究。Pycior 最有威胁：她主张 Hamilton 的突破应放在 Peacock 的「符号代数」传统里理解——该传统已经允许符号脱离量的解释而由运算律定义，因此放弃交换律不是一次断裂，是那个传统的自然延伸。
这个占位者本书排不掉。 若 Pycior 是对的，本案例就不是二阶碰撞，而是一个已有传统内部的一阶推进。本书能给的区分只有一条：符号代数传统本身要求保持全部运算律（这正是 Peacock 的持存原理，也是 Hankel 1867 年的持存原理，见第 8.6 节），而 Hamilton 放弃了其中一条——这恰恰是那个传统禁止的动作。 这一条区分是实质性的、可核查的（Peacock 与 Hankel 的原则都写在文献里），但它只对「传统的自然延伸」这个说法构成反驳，不构成对全部占位主张的反驳。如实记为本章第一弱处之外的第二处未闭合。
（1874—1883）
| 格 | 内容 |
| 形 | 连续统：直线上的点的全体。回答方式是「无穷被显示为一条线，线上的点是一个接一个的」 |
| 算 | 三角级数唯一性集的研究（Cantor 1870—1872）：一个函数的三角级数表示在什么条件下唯一，例外点集可以有多复杂。回答方式是「照导集的程序反复取下去，看它什么时候停」 |
| 计 | 无穷的账本：无穷不是一个可数的量，它是一个「永远可以再加一」的过程。回答方式是「不能问它有多少，只能问它有没有尽头」 |
| 共有前提 | 无穷只有一种，且它是潜在的（一个永远未完成的过程，不是一个完成了的对象） |
| 材料·产出位置 | 计：一一对应作为比较集合大小的手段（本章 11.4 按不利判法定为计） |
| 材料·撞上位置 | 算：对角线（或 1874 年的区间套）是一条程序——给定任何排列实数的企图，它造出一个不在其中的数 |
| Z | 大小不同的无穷——一类完成了的、可以彼此比较大小、可以做算术的无穷存在物 |
| 拒绝 | 否定型且极激烈：Kronecker 阻挠发表并称 Cantor 为「青年的败坏者」；Poincaré 被传称集合论为「一种疾病，人们终将痊愈」；Weyl 称 Cantor 的等级是「雾上之雾」。放逐型：直觉主义（Brouwer）拒绝实无穷，此立场至今存在 |
| 签字 | Zermelo 1908 的公理化，以及此后 ZF／ZFC 体系；相对一致性由 Gödel 1938（L 模型）与 Cohen 1963（力迫法）完成。签字者非提出者，且晚于出生二十五年以上 |
1874 年，Cantor 在《克雷尔杂志》发表了一篇题为《论全体实代数数的一个性质》的论文。文章不长，做了两件事：证明全体代数数可以排成一个序列；证明任何实数区间中的实数不能排成这样的序列。由此得出一个推论：任何区间中都存在非代数数（超越数）。
这篇论文回答的题是超越数的存在。
这道题当时的地位是这样的：Liouville 1844 年已经构造出超越数（Liouville 数），因此「超越数存在吗」这道题在 1874 年被认为已经解决了。Cantor 的贡献是给出了一个完全不同的证明——不构造任何一个具体的超越数，而是通过计数来证明它们必然存在，而且「大多数」实数都是超越数。
这个证明的形式在当时是新奇的：它是一个纯粹的存在性证明，不给出任何构造。Kronecker 的敌意从一开始就与这一点有关——他后来的立场（数学对象必须能被有限步构造出来）恰恰针对这类证明。
而这篇论文的副产品是：无穷有大小之分。 代数数与自然数「一样多」，实数比它们「多」。
这是本案例最值得记录的一处：Cantor 自己用了将近十年，才把副产品当作主产品。
1874 年的论文标题里没有「无穷」二字，正文里也没有把这个副产品提升为一般理论。1878 年的论文开始讨论「幂」（Mächtigkeit，后来的基数）的概念，并证明了 ℝ 与 ℝⁿ 等势（他在给戴德金的信里写了那句著名的「我看见了它，但我不相信它」）。真正把超穷数作为对象提出来，配上超穷序数、超穷算术、良序集理论的，是 1883 年的《一般集合论基础》。
九年。而且这九年里 Cantor 反复在信件中表达犹豫，反复讨论「实无穷」在哲学与神学上是否可容许（他与几位天主教神学家有长期通信，讨论实无穷是否僭越了上帝的属性）。
按第 4.5 节的规格，提出者本人的犹豫是最强的拒绝证据——它排除了「拒绝出于对新人的偏见」这个替代解释。Cantor 不是不懂自己的定理，他是在自己的账本上找不到那个东西的位置。
「无穷只有一种，且是潜在的」这条前提，从亚里士多德起统治了两千二百年。
亚里士多德的区分是：潜无穷（δυνάμει ἄπειρον）是一个永远可以继续的过程——数列可以一直数下去，线段可以一直分下去；实无穷（ἐνεργείᾳ ἄπειρον）是一个完成了的无穷整体，而他认为这是不可能的。
这条区分被中世纪经院哲学继承，被近代数学继承。高斯 1831 年给舒马赫的信里说得极清楚：他反对把无穷当作一个完成了的量来使用，无穷只是一种说话方式（façon de parler），指的是极限。
三家都站在这条前提上：
· 计：无穷不能被数，所以不能问它有多少，只能问它有没有尽头。「多少」这个问题对无穷不适用。
· 形：连续统被显示为一条线，线上的点是一个接一个地取的——取的过程无尽，但从不完成。
· 算：一切涉及无穷的程序（求极限、取导集、级数求和）都是过程，程序的意义在于它的每一步，不在于它的「终点」。
注意第三家。 算在这个案例里是共有前提的坚定支持者——这与复数、理想那些案例不同（那里算是逾越者）。这一点在 11.4 会带来一个麻烦。
四要件表里最难填的是「材料」那一格的归属。
对角线论证（或 1874 年的区间套版本）是一个什么位置的东西？
说它出自计：它做的是计数——比较两个集合的大小，用的是一一对应这个纯粹的计的手段。而结论是一条关于「有多少」的陈述。
说它出自算：它是一个程序——给定任何一个排列实数的企图，程序造出一个不在其中的数。构造性极强（事实上对角线论证是构造性的，直觉主义者接受它，只是不接受由它得出的结论的解释）。
本书的判定是：出自计。理由是它的结论形式是计的形式（两个集合能否一一对应），而它所推翻的共有前提也是计的规定（无穷不能被问「多少」）。程序在这里是手段，不是产物——它没有产出一个新东西，它产出的是一个不可能性。
这个判定是可以被挑战的，而且挑战的方向会影响第 26 章的计数。本书如实标注：若判为出自算，则逾越律的计数从 13 升到 14（更支持本书）；本书选择了不利的判法。 这与第 7.8 节、第 10.7 节的做法一致：凡归属可两判的，取对本书定律不利的那一判。
材料的强制性在本案例中极强，理由有三层。
第一层：它是自家的定理，且是当时最受赞赏的一个。 1874 年的论文被广泛接受为超越数存在的一个漂亮新证明。Weierstrass 支持发表，Dedekind 与 Cantor 通信讨论细节。接受这个定理的人，同时就接受了那个副产品——只是他们没有意识到。
第二层：它不依赖任何可疑的手段。 一一对应是数学里最基本的概念，比「无穷」本身更基本。若拒绝用一一对应比较无穷集合的大小，就要说明为什么这个在有限情形下天经地义的手段在无穷情形下不合法——而这个说明，没有人给得出来（直觉主义的路径是拒绝实无穷集合本身，那是另一条路，见第 32 章）。
第三层：结论是不对称的。 若代数数与实数一样多，什么也不发生。而它们不一样多，这个「不一样」必须被说成什么。说它是「两个都是无穷但不能一一对应」，这句话本身已经在使用「不同的无穷」这个概念了——你无法在不承认新对象的情况下陈述这个定理。
第三层是最要命的。它是本书全部案例中，材料强制性最纯粹的一次：材料的陈述本身就要求那个新对象。
Kronecker 的拒绝是算的拒绝（第 1.3 节）：造不出来的东西不存在。他的立场是彻底的、内部一贯的——他也拒绝 Dedekind 的理想、拒绝 Weierstrass 的一般实数理论、拒绝一切非构造的存在性证明。他不是保守，他是站在算这一位置上把标准贯彻到底。本书在第 26 章会指出：构造主义者最常是新对象的拒绝者，同时最常是材料的供给者——Kronecker 本人在代数数论上的工作，为后来的对象提供了大量材料。
Poincaré 的态度更复杂。那句「疾病」的话流传极广，但出处不可靠（常见的引文来自二手转述）。可靠的是他在 1906 年前后对集合论悖论与非直谓定义的批评，其立场接近潜无穷。
Weyl、Brouwer 的拒绝延续到二十世纪，且从未完全消失。这是本书十九例中唯一一个拒绝至今仍是一个活立场的案例：构造性数学、直觉主义数学作为一个研究纲领仍然存在，它们不承认全部超穷等级。
这一点对本书的框架有一个含义：签字不一定是全体一致的。 第 28 章会处理这个问题，结论是：签字的含义是「主流账本上开了栏」，不是「无人反对」。
Zermelo 1908 年的公理化，是对超穷数的签字，但这次签字有一个特殊的形状：它是在悖论的压力下做的。
1897—1903 年间，Burali-Forti 悖论、Cantor 悖论、Russell 悖论相继出现。它们表明，朴素地把「一切集合」当作对象会导致矛盾。于是签字工作同时要做两件事：给超穷数一个模型，并且防止那个模型自毁。
ZF 公理系统的核心手段（分离公理代替概括公理、正则公理排除自属）就是为了做这第二件事。
相对一致性的证明更晚：Gödel 1938 构造 L 证明 AC 与 CH 与 ZF 相容，Cohen 1963 用力迫法证明它们的否定也相容。这两项工作合起来说明：超穷数的这一栏不但开了，而且这一栏内部的某些问题（连续统假设）在现有账本上判不了。
这是本书十九例中唯一一个开栏之后账本被证明不完全的案例。它的哲学后果远超本书的范围，此处只记一句：签字并不保证栏目内部的一切问题可判。
其一，材料归属可两判（11.4）。已标。
其二，「无穷只有一种」这条前提是否被明文写过。 按第 6.3 节（乙）的验收标准，共有前提不应出现在明文定义里。而亚里士多德的潜／实无穷区分是明文的，高斯 1831 年的信也是明文的。这构成对本章的直接质疑，与第 8.8 节（其二）同型。
本书的辩护：被明文写下来的是「实无穷不可能」这个哲学立场，而作为资格规定被使用的是「不能问一个无穷集合有多少」——后者从未被写下来，且它在数学实践中的作用与哲学立场是分开的（十八、十九世纪的数学家大量使用无穷级数与无穷过程，从不援引亚里士多德）。这个辩护与第 8 章的辩护同型，也同样比其他章弱。
其三，与最近占位者的区分是全书最紧的一处。 最近的占位者是 Dauben（1979）的 Cantor 传记与思想史。Dauben 的叙事已经包含了本章几乎全部史实，包括「1874 年论文回答的是超越数」这一点、包括九年的犹豫、包括神学通信。
本书与 Dauben 的区分只有一条：他把这些史实组织成一个人的思想历程，本书把它们组织成一个三位置的结构。 这条区分是真实的（组织方式不同，可检验的推论也不同：本书预言其他案例上会出现同样的形状，Dauben 的叙事不预言任何别的案例），但在本章内部，它没有可判错的设计——就本章而言，本书说的每一件事 Dauben 都说过。
本章的独立价值只有在第五编（三条定律由十九章共同抽出）才兑现。这是「案例编不许提前下结论」这条纪律（第 6.8 节）的代价：单章看，本书常常只是把已知史料重新排列。如实记。
（1897—1916）
| 格 | 内容 |
| 形 | 代数函数论中的幂级数展开：一个函数在一点附近被显示为 Σaₙ(x−a)ⁿ，这个显示使「在一点附近的行为」成为可以指着看的东西 |
| 算 | 同余算术：对模 p、p²、p³、… 逐级求解，一级一级往上提。回答方式是「照这个逐级提升的程序做下去」 |
| 计 | 数域与绝对值的账本：ℚ 的完备化是 ℝ，这是唯一的一次完备化；「接近」由通常的绝对值度量 |
| 共有前提 | 「接近」只有一种意思（两数之差的通常绝对值小） |
| 材料·产出位置 | 算（数论的同余计算）：亨泽尔引理的雏形与逐级提升程序，原题是「同余方程有没有解、解怎么求」 |
| 材料·撞上位置 | 算（同位）：逐级提升跑出一列在通常意义下不收敛、而「应该」收敛到某物的东西 |
| Z | 另一种完备化下的数——一个不是实数、也不是复数，却同样由 ℚ 完备化而来的存在物 |
| 拒绝 | 否定型偏弱、放逐型为主：长期被称为「形式的」（formal）、「符号的」，被视为一种记号上的方便而非真正的数；Hensel 本人早期的论证有错误（他曾错误地用 p 进方法「证明」e 是超越数），使整个理论一度被视为不可靠。二十世纪二十年代前极少被引用 |
| 签字 | Ostrowski 1916：ℚ 上的绝对值，在等价意义下只有三类——通常绝对值、p 进绝对值（每个素数 p 一个）、平凡绝对值。这是终局签字（第 10.6 节的类型）：不但承认了 p 进数，而且把「ℚ 的完备化」这一栏的全部成员数清了 |
Hensel 1897 年的出发点是一个类比。
在代数函数论里，一个函数 f(x) 在点 a 附近可以展开成幂级数 Σaₙ(x−a)ⁿ。这个展开有一套成熟的理论（Weierstrass、Dedekind–Weber），而 Dedekind 与 Weber 1882 年那篇著名的论文已经系统地把代数函数域与代数数域平行地处理：函数域的「点」对应数域的「素理想」，函数在一点的阶对应数被素数整除的次数。
Hensel 把类比推到底：既然函数可以在一点展开成幂级数，那么数应该可以在一个素数处展开成「p 的幂级数」：
a₀ + a₁p + a₂p² + a₃p³ + …（0 ≤ aᵢ < p）
注意这个级数在通常的意义下是发散的——各项越来越大。但在 p 进的意义下（一个数被 p 整除的次数越高就越「小」），它是收敛的。
这就是共有前提被撞上的那一刻：这个级数是收敛的还是发散的？
十九世纪末，「接近」这个概念已经被彻底形式化了——ε–δ 语言（Cauchy–Weierstrass）把「x 接近 a」翻译成「|x − a| < ε」。这套语言的力量在于它取消了直观，代之以一个精确的量词结构。
但它有一个从未被讨论过的组成部分：那个绝对值 |·|。
ε–δ 定义的量词结构是：对任意 ε > 0，存在 δ > 0，使得……这个结构里，|·| 是一个外包的部件——定义不说 |·| 是什么，它只要求有一个这样的东西。而所有人默认它就是通常的绝对值。
这条默认从未被写下来。翻遍十九世纪的分析教本，找不到一条公设说「绝对值必须是通常的那一个」——因为没有第二个候选。
三家都站在这条默认上：
· 计：ℚ 的完备化是 ℝ，这是分析的基石；完备化是一次性的、唯一的操作。
· 形：数被显示在数轴上，接近就是数轴上靠得近。
· 算：一切求极限、求收敛的程序，都以通常绝对值为判据。
材料出自算这一家最古老的一块地方：同余计算。
给定一个多项式方程 f(x) ≡ 0 (mod p)，若它有一个单根 x₀，则可以把这个根「提升」到模 p²、模 p³、…、模 pⁿ，且提升是唯一的。这是一个标准的程序（本质上是牛顿法在同余下的版本），高斯《算术研究》里已有雏形，十九世纪的数论教本里是常规内容。
它在本家回答的是：同余方程有没有解，解怎么求。 与「什么叫接近」毫无关系。
而把它转过来读，它说的是：存在一列 x₁, x₂, x₃, …，每一项与前一项的差被 p 的越来越高的幂整除，而这列东西「应该」收敛到某个东西。
那个「某个东西」在 ℚ 里通常不存在。于是要么承认这列东西不收敛（那么这个逐级提升程序就是一个没有极限的过程，白跑），要么承认有另一种收敛。
这是第 3.4 节形状的又一次出现：材料在本家极其稳固（同余是数论最基础的工具），极其日常，且原本回答的完全是另一道题。
复数用了两百六十五年，p 进数从提出到终局签字用了十九年。差别在哪里？
本书的读法是：因为复数已经开过栏了。
第 9.6 节说过：开一栏往往松动一整条资格规定，于是后续的开栏变快。复数开的那一栏，松动的是「数必须是量」；到 1897 年，「数系可以有多种」已经是账本上的常识——实数、复数、四元数、代数数域、有限域，都在。Hensel 提出 p 进数时，没有人需要争论「这算不算数」，争论的是「这个东西可不可靠」。
这是本书对「开栏速度」的一般解释，第 29 章会把它做成一张时长表。要点是：时长缩短不是因为后人更开明，是因为账本上留出了位置，且签字工具（一致性、模型构造）本身已经是被签过字的成熟对象。
本案例的拒绝形态与前几章不同，值得单记。
没有人说 p 进数不存在。说的是它「形式的」「符号的」——意思是：这套记号可以照着算，但它不指称什么，它是一种方便的簿记。
这个说法与卡尔当对 √−1 的「精妙而无用」在形式上相似，但内容不同：卡尔当说的是「不存在」，Hensel 的批评者说的是「不可靠」。
不可靠的判断有一个具体的来源：Hensel 本人的一次错误。 他曾用 p 进方法给出一个 e 的超越性「证明」，而这个证明是错的（错误在于把 p 进收敛与实收敛混用）。这个错误在当时被广泛注意到，其后果是整个 p 进理论被当作一个可疑的东西。
按第 4.4 节的分类，这属于放逐型拒绝：不否认，但不接待。而放逐的理由不是本体论上的（它不该存在），是可靠性上的（它靠不住）。
本书须承认：这使本案例的「一致拒绝」证据比其他章弱。 按第 6.5 节（丙）的验收标准，至少两家的拒绝必须有据；本案例只有一家（计，即分析学传统）的拒绝有明确文献，形与算的态度只能从「几乎无人使用」推断。因此本案例不参与第五编的定律统计（第 6.5 节丙的规定）。
1916 年，Ostrowski 证明：ℚ 上的每一个绝对值（满足非负、乘性、三角不等式的函数），在等价意义下必是以下三者之一：
· 通常绝对值 |·|∞；
· 某个素数 p 的 p 进绝对值 |·|ₚ；
· 平凡绝对值（非零元的值都是 1）。
这条定理的分量，在本书框架里比它在数论中的分量还要大。理由是：
其一，它是对共有前提的正式判决。 「接近只有一种意思」这条前提，被换成了一句精确的陈述：接近一共有可数无穷多种意思，其中一种是通常的，一种是平凡的，其余每个素数一种。
其二，它是终局签字。 与 Frobenius 定理（第 10.6 节）同型：不但承认新对象，而且把这一栏的全部成员数清了。第 28 章会说明，终局签字是签字的最强形态，因为它取消了「还有没有别的」这个问题。
其三，它使 ε–δ 定义的结构被看清了。 ε–δ 从来没有定义「接近」——它只立了量词交替这一条法，而「接近」是一个外包给绝对值的参数。这一点在 p 进分析里可以逐字验证：p 进的极限、连续、导数定义与实分析逐字相同，只换一个绝对值。
这最后一点是本章送给第 19 章（极限）的一根接力棒：极限这个概念的实际内容，比它看上去的少。
其一，拒绝证据只有一家（12.5）。已标，本案例不参与第五编统计。
其二，「接近只有一种意思」是否构成一条共有前提，还是仅仅是「没有人想到有第二种」。 这个质疑很实：共有前提的定义是三家共同踩着、且在被推翻前不被提及的规定；而「没有想到有第二种」听起来更像是一个知识空白，不是一条规定。
本书的辩护：区别在于它被当作理由用过。分析学传统在论证 ℝ 是 ℚ 的完备化时，用的措辞是「那个完备化」——定冠词的使用是一条规定在起作用的证据。而在 Hensel 之后、Ostrowski 之前的二十年里，批评者说 p 进数「不是真的收敛」，这句话只有在「收敛只有一种意思」这条规定下才成立。这个辩护成立，但它比第 9 章（Euler 明说「与零不可比大小者不是数」）弱得多——那里共有前提差点被明说出来，这里只能靠措辞推断。
其三，与最近占位者的区分。 最近的占位者有两处：Ullrich（1998）关于 Hensel 与 p 进数早期史的研究、以及 Corry（2004）关于结构主义代数兴起的分析。Corry 的框架（数学从「对象的科学」转向「结构的科学」）可以解释 p 进数的出现，而且解释得相当自然：一旦人们习惯于研究满足某些公理的结构，「另一种绝对值」就是一个自然的问题。
这个占位者本书排不掉。 本书能给的区分是：Corry 的框架预言这类新对象会在结构主义成熟之后大量涌现，而事实上 p 进数早于结构主义的成熟（Hensel 1897 早于 Steinitz 1910、早于 Noether 学派）；本书的框架预言它出现在材料与共有前提相撞之处，而这个相撞的时间由材料的位置决定，与结构主义无关。这个区分有可判错的成分（时序可查），但只是一个弱证据，因为「成熟」的时间界定有余地。
（1670 年代—1961 年）
| 格 | 内容 |
| 形 | 数轴：实数被显示为一条没有空隙的直线。回答方式是「一个数就是线上的一个位置，而线上没有位置留给一个比一切正数都小的正数」 |
| 算 | 微积分的运算程序（莱布尼茨—欧拉传统）：把 dx 当作一个非零的量来运算，最后把它舍去。回答方式是「照这个程序做下去，结果对」 |
| 计 | 实数的完备有序域账本：阿基米德性质——对任意正数 ε 与任意正数 M，存在自然数 n 使 nε > M。承认无穷小就要放弃阿基米德性质，而阿基米德性质是十九世纪实数理论的核心 |
| 共有前提 | 数学对象的合法性，必须由构造它的方式来担保（一个对象若不能被从已承认的材料造出来，它就没有名分） |
| 材料·产出位置 | 计（逻辑与模型论）：一阶逻辑的紧致性定理，原题是「一个形式理论何时有模型」 |
| 材料·撞上位置 | 无：没有任何算法跑出超实数——它由模型存在性定理产出（见 26.3 的五例之一） |
| Z | 由一致性而非由构造获得名分的对象——一族超实数 *ℝ，它包含全部实数、包含无穷小与无穷大，且与 ℝ 满足完全相同的一阶语句 |
| 拒绝 | 出生前的拒绝（对无穷小）：Berkeley 1734《分析学家》称之为「已逝之量的鬼魂」；Cauchy–Weierstrass 传统以 ε–δ 取代之，十九世纪后期无穷小在教科书中被系统清除。出生后的拒绝（对超实数）：被视为「逻辑的把戏」、「没有产出任何新定理」，Bishop 1977 的书评是最激烈的一次 |
| 签字 | 与出生同时：Robinson 1961 给出的既是对象也是模型。这是本书十九例中出生即签字的两例之一（另一例是第 25 章分布） |
无穷小是一件奇特的东西：它在 1670 年代就被大规模使用，在 1734 年被 Berkeley 精确地攻击，在十九世纪被系统地清除，然后在 1961 年被承认。
Berkeley 的攻击值得引一句大意，因为它极准确。他指出：在求导的过程中，先假设增量非零（否则不能作除法），后又令它为零（否则得不到结果）——同一个量在同一个论证里既是零又不是零。他称这些消失的增量为「已逝之量的鬼魂」。
这个攻击当时无法回答。莱布尼茨的回答是哲学的（连续律、「理性的虚构」），欧拉的回答是实用的（结果对），两者都不能让「计」这一家签字。
为什么不能？ 这是本章的核心问题，而答案指向一条与前几章都不同的共有前提。
前几章的共有前提都是关于某一类对象的资格规定：数必须是量、乘法必须交换、无穷只有一种。本案例的共有前提层级更高：它是关于名分本身的规定。
一个数学对象要有名分，必须能被从已承认的材料造出来。
这条规定在十九世纪的算术化运动中达到顶点。Weierstrass、Dedekind、Cantor 做的事，就是把分析的全部对象从自然数造出来：整数从自然数对造，有理数从整数对造，实数从有理数的分割或基本列造。每一步都是构造。
这条规定为什么会使无穷小无法签字？因为无穷小造不出来。你无法用有理数的分割造出一个比一切正有理数都小的正数——分割的定义本身排除了这一点。戴德金分割给出的是 ℝ，而 ℝ 是阿基米德的。
三家都站在这条规定上：
· 计：一致性由构造保证，构造是唯一的担保方式。
· 形：造出来的东西可以被显示（分割显示为数轴上的一个切口），造不出来的没有位置。
· 算：一个对象的运算规则由它的构造给出；没有构造就没有规则，只有约定。
这条规定极为成功——十九世纪的严格化几乎全部建立在它上面。所以它更加不可能被质疑。
1930 年，Gödel 证明了一阶逻辑的完全性定理。它的一个推论是紧致性定理：若一个一阶理论的每一个有限子集都有模型，则该理论整体有模型。
这条定理在本家回答的是：形式理论与模型的关系——具体说，是「可证性」与「有效性」是否重合。它是逻辑学的基本定理，与无穷小、与分析、与数系毫无关系。
现在把它转过来。取实数的一阶理论 Th(ℝ)（全部在 ℝ 中为真的一阶语句），再加上一个新常元 c 以及无穷多条语句：
c > 0，c < 1，c < 1/2，c < 1/3，…，c < 1/n，…
这个理论的每一个有限子集都有模型——因为任何有限多条 c < 1/n 只需要取 c 为一个足够小的实数即可满足。由紧致性定理，整个理论有模型。而在那个模型里，c 是一个正数且小于一切 1/n——c 是一个无穷小。
这个论证只有几行。而它做的事，是三百年里没有人做成的：给无穷小一个名分。
关键在于：这个论证没有构造出任何东西。
紧致性定理的证明（无论是 Gödel 的原证明还是后来 Henkin 的方法）不给出模型的显式构造——它证明模型存在。而超实数域 *ℝ 的具体样子（用超滤子对 ℝ^ℕ 取超幂）依赖于一个不可构造的选择（非主超滤子的存在需要选择公理，且这样的超滤子无法被显式写出）。
于是本案例的 Z 不是「无穷小」这个东西，而是一个更根本的东西：
由一致性而非由构造获得名分的对象。
这正是第 4.2 节所说的第二档：账本上原来没有这一栏。十九世纪的账本上，名分与构造是绑死的；紧致性定理把它们拆开了。
值得注意的是，这一栏一旦开了，它回过头来改变了对整个数学史的读法。纳格尔 1935 年的论点（第 8.6 节、第 9.5 节）——对象的合法性来自它在体系中的作用而非它的实在性——正是这一栏的哲学表述，而它比 Robinson 早了二十六年。纳格尔说出了原则，Robinson 给出了案例。
本案例是十九例中的两个特例之一：对象与它的模型同时出现。
理由是结构性的：这个对象就是由模型存在性定理产出的。你无法先有超实数、后有它的模型——它的全部内容就是「有这样一个模型」。
这个特例对第 28 章的签字律有一个含义。签字律说：合法化由「计」以一致性模型完成，且签字者通常不是提出者。本案例中，签字者就是提出者，而且签字与出生同时。
本书的处理是：签字律的准确形式不是关于时序与人物的，是关于位置的。 签字必须由「计」这一位置完成——而 Robinson 在做这件事时，站的正是计的位置（他是模型论学家，用的是模型论的定理）。时序与人物的分离是常态但不是定律的内容。第 28 章会把这一点写清楚，并把本案例与第 18 章（概形）一起作为「提出即签字」的两例。
超实数被承认之后，受到的批评与被承认之前对无穷小的批评完全不同。
新的批评是：它没有产出任何新定理。 用非标准分析证明的每一条定理，都可以用标准方法证明；事实上有一条「转移原理」保证了这一点（任何在 *ℝ 中为真的一阶语句，在 ℝ 中也为真，反之亦然）。于是非标准分析被说成是一套「翻译」，一种风格上的偏好。
Bishop 1977 年在《美国数学月刊》上对 Keisler 的非标准分析教材的书评是这场批评的顶点，措辞极严厉（他的立场是构造主义的，与 Kronecker、Brouwer 一脉相承——第 26 章会指出这条谱系）。
这个批评在本书的框架里怎么看？
它是一个正确的观察，但它衡量的是错误的东西。新对象的价值不由它产出多少新定理衡量（第 4.6 节：重要性与开栏是两个独立维度）。超实数开的那一栏——名分与构造分离——的后果不在分析里，在别处：模型论此后成为一个独立的、有巨大力量的领域（Ax–Kochen 定理、o-极小性、Hrushovski 对 Mordell–Lang 的证明），而这些工作的共同特征正是「由一致性得到对象，而非由构造」。
不过必须诚实地说：这个辩护是本书事后给的，而且它依赖于把「那一栏」定得比较宽。 若把 Z 定得窄一些（就是「无穷小」），那么 Bishop 的批评是有力的。第 33 章会把「Z 该定多宽」列为本书未解决的问题之一。
p 进数与超实数是两个有启发性的对照。
相同处：两者都是对 ℝ 的一种「旁支」；两者的材料都出自一个与本题无关的成熟理论（同余程序／紧致性定理）；两者的签字都是终局性的（Ostrowski 数清了绝对值／转移原理钉死了 *ℝ 与 ℝ 的关系）。
不同处：p 进数是构造出来的（超幂或形式级数，都可以显式写出），超实数不是；p 进数推翻的是一条关于对象的资格规定（接近只有一种），超实数推翻的是一条关于名分的规定（名分由构造担保）。
这个不同处提示了一个分层：共有前提本身有层级。 关于某类对象的资格规定是低层的，关于名分怎样获得的规定是高层的。十九例中属于高层的只有两例（本章与第 24 章可计算函数——后者推翻的是「什么算有效由数学家判定」）。
本书没有能力系统处理这个分层（样本太少）。但值得记一句观察：高层的共有前提被推翻时，后果不局限于一个领域，而是改变了此后一切开栏的方式。 超实数之后，「由一致性得到对象」成为一种常规手段；可计算函数之后，「把元数学问题变成数学对象」成为常规手段。
其一，三家在 1961 年是否真的在争。 这是本章最实的一处质疑。1961 年时，无穷小已经被清除了七十年，没有人在为它辩护，也没有人在攻击它——它不是一个活的争论。若三家不在争，本案例就不符合第 6.2 节（甲）的验收标准。
本书的处理：把断裂的现场定在十九世纪末（算术化运动完成时），而不是 1961 年。 那时三家确实在争：无穷小在教学与直观中仍被使用（尤其在物理与工程中，dx 从未消失），而严格化传统要清除它。1961 年发生的不是断裂，是清算一笔早已挂账的欠账。
这个处理是合理的，但它意味着本案例的断裂与推翻相隔七十年，是十九例中断裂与推翻分离最远的一个。本书如实标注：若读者要求断裂与推翻必须在同一时段，本案例应当被排除。
其二，共有前提的表述可能过宽。 「名分由构造担保」这条规定，若成立，则十九世纪的一切非构造性存在证明（Cantor 1874 的超越数证明就是一个，Hilbert 1888 的基定理是更著名的一个）都应当被拒绝。而事实上它们只被一部分人（Kronecker、Gordan）拒绝，主流接受了。
这构成一个反例：若主流已经接受非构造存在证明，那么「名分由构造担保」就不是三家共有的。
本书的辩护：接受非构造的存在证明与接受一个非构造的对象是两件事。Hilbert 基定理证明的是「某个有限基存在」，而那个基是一个已被承认的类型的对象（多项式的有限集）；超实数不是——它是一个新类型，而它的名分只有一致性。这个区分是实质性的，但它需要更细的编码来支持，本书未做。
其三，与最近占位者的区分。 最近的占位者有三处：Robinson 自己的哲学论述（他是形式主义者，明确用 Hilbert 的立场为非标准分析辩护）、Dauben（1995）的 Robinson 传记、以及 Kanovei–Reeken 等人关于非标准分析基础的工作。
真正有威胁的是 Robinson 自己。他在《非标准分析》一书末尾的哲学章节里，已经说了本章的大部分内容：无穷小的合法性问题不在于它能否被构造，而在于包含它的理论是否一致；Leibniz 的直觉在形式主义框架下得到了辩护。
本书与他的区分只有一条，与第 11.8 节（其三）同型：他为这一个对象辩护，本书主张这是一个反复出现的机制。 单章看，本书说的话 Robinson 说过。独立价值在第五编兑现。