（1733—1868）
| 格 | 内容 |
| 形 | 欧氏图形传统：几何对象被显示为图，图上的关系就是几何的内容。回答方式是「画出来看，两条直线要么相交要么不相交」 |
| 算 | 平行公设的归谬程序：假设公设不成立，逐条推演，期待推出矛盾。这条程序自 Proclus 起延续一千五百年，Saccheri 1733 把它执行到最彻底 |
| 计 | 测量的账本：三角形内角和等于两直角，这是可以被测量核对的；大地测量与天文视差是当时最精密的量度手段 |
| 共有前提 | 几何描述的是唯一的那个空间（几何命题的真假由空间本身决定） |
| 材料·产出位置 | 算（几何自家的归谬程序）：Saccheri 1733 的锐角假设推演，原题是「平行公设能否由其余公设推出」 |
| 材料·撞上位置 | 算（同位）：归谬程序自己跑出了一整套融贯而驳不倒的定理——推演跑到底，矛盾没有出现 |
| Z | 几何本身成为对象——不再是唯一空间的描述，而是一族可以彼此比较的公理系统，每一个描述一种空间 |
| 拒绝 | 否定型：Ostrogradsky 对 Lobachevsky 提交彼得堡科学院的论文作否定评审并加以嘲讽；1834 年《祖国之子》上的匿名讽刺文；Gauss 明言不发表是怕「维奥蒂亚人的叫嚷」（指抱残守缺者）。放逐型：康德哲学传统把欧氏空间当作先天直观形式，非欧几何在此框架下不是错的而是不可思议的 |
| 签字 | Beltrami 1868：伪球面（常负曲率曲面）上的测地线给出双曲几何的一个模型；随后 Klein 1871 的射影模型、Poincaré 1882 的圆盘模型。签字的内容是相对一致性：若欧氏几何一致，则非欧几何一致 |
平行公设从一开始就被认为可疑。它比其余四条复杂得多，陈述冗长，而且它断言的是一件无法在有限范围内检验的事（两条直线延长下去是否相交）。
从 Proclus（五世纪）到 Saccheri（1733）到 Legendre（十九世纪初），无数人试图证明它可以由其余公设推出。最常用的方法是归谬：假设它不成立，推出矛盾。
Saccheri 1733 年的《欧几里得无懈可击》（Euclides ab omni naevo vindicatus）是这条程序的顶峰，也是本章的材料。他考察等腰双直角四边形（今称萨凯里四边形）顶角的三种可能：直角、钝角、锐角。
· 钝角假设：他推出了矛盾。（这个推导是对的，钝角假设与直线可无限延长不相容。）
· 锐角假设：他推演了极长的篇幅——推出了一整套关于「渐近直线」「公垂线」的定理，彼此融贯，无一矛盾。
最后，Saccheri 宣布锐角假设不成立，理由是它导致的结论「违背直线的本性」（两条直线在无穷远处有一条公垂线，这在他看来是荒谬的）。
这个结尾是全书最著名的一次功亏一篑。 他手里已经有了双曲几何的一大批定理，而他把它们当作归谬的材料，不是当作一个新对象的内容。
出自三家之一自己：归谬程序是几何自家的方法，Saccheri 是耶稣会的数学家兼逻辑学家，他用的是几何与逻辑的标准工具。
早已掌握：1733 年，比 Lobachevsky（1829）早九十六年，比 Bolyai（1832）早九十九年。而且它不是被遗忘的——Lambert 1766 年读过并推进，Legendre 反复处理同一批问题。
原本回答另一道题：Saccheri 的题是「证明平行公设可由其余公设推出」，目的是洗白欧几里得——书名就是这个意思。这是十九例中「原题与结论方向相反」最极端的一次：材料是为了证明唯一性而做的，结果证明了多样性。
使三家无法退回：三家不能否认那些定理——它们是用标准推理从明确的假设推出来的，每一步都可核查。要否认它们，只能否认推理规则本身。
这一点必须写清楚，因为它是本章最容易被误读的地方，也是第 6.3 节（乙）验收标准的一个典型应用。
平行公设是被明文写下来的。 它是《原本》第五公设，两千年里被反复讨论、质疑、试图证明。按验收标准，它不是共有前提——它是一条可争的公设，而争论它是常规工作。
共有前提是另一条，从未被写下来的：几何描述的是唯一的那个空间。
这条规定的作用是：它规定了「证明平行公设」这件事的意义。若几何描述唯一的空间，那么平行公设要么是那个空间的真理（可由其他真理推出，或是独立的公理），要么是假的。它不可能「在某些空间中真、在另一些空间中假」——因为只有一个空间。
正是这条规定，使 Saccheri 在推出一整套融贯的锐角几何之后，仍然只能把它读作「尚未找到矛盾」，而不是「这是另一种几何」。在他的账本上，没有「另一种几何」这一栏。
念给三家听的验收：
· 计说：当然，我测量的就是这个空间。
· 形说：当然，我画的就是这个空间里的图。
· 算说：当然，我推的是关于这个空间的定理。
三家一致，且一致的方式是觉得这句话不值得说。
本案例的补丁形态特殊：补丁就是那一千五百年的证明尝试本身。
回想第 2.5 节：补丁是三家为了保护共有前提而做的技术性修补。平行公设与其余公设的不协调（它太复杂、太不自明），是共有前提受到压力的表现——若几何描述唯一空间，那么关于这个空间的真理应当都是自明的，而这一条不是。
处理办法有两个：承认它是独立的公理（那就要问「为什么这个空间恰好满足它」，这个问题在唯一空间的框架下无法回答），或者证明它可推（那就没问题了）。一千五百年里，所有人选了第二个。 这个选择本身就是补丁——它保护的是「几何描述唯一空间」这条前提。
按第 3.5 节的定位方法：打补丁的是算（证明尝试是推演程序），材料就在算这一家。核对无误。
高斯至迟在 1816 年已经确信非欧几何是可能的（书信为证），但他终身不发表。1829 年给 Bessel 的信里说，他怕「维奥蒂亚人的叫嚷」。
这个不发表在本书框架里不是懦弱，是一个准确的判断：在没有模型的情况下，非欧几何无法签字。
高斯掌握的是一批定理——由锐角假设推出的、彼此融贯的定理。这批定理证明的是「至今未发现矛盾」，而不是「不会有矛盾」。三家中的「计」不可能凭这个签字：计要的是一致性，而「至今未发现矛盾」不是一致性。
Lobachevsky 与 Bolyai 发表了，代价正是高斯预见到的：Ostrogradsky 的否定评审、匿名讽刺、长期无人问津。Lobachevsky 至死没有被承认（他 1856 年去世，Beltrami 1868 年给出模型）。
这是第 28 章签字律的一个纯粹标本：对象出生于 1829—1832，签字于 1868，中间的三十六年里它是「有内容但无名分」的状态。
1868 年，Beltrami 指出：常负曲率曲面（伪球面）上的测地线满足双曲几何的全部公理。于是双曲几何的每一条定理，都可以翻译成欧氏空间中一个曲面上的一条命题。
签字的逻辑形式是相对一致性：若双曲几何有矛盾，则那个矛盾可以翻译成欧氏几何中的矛盾；所以若欧氏几何一致，双曲几何也一致。
这个形式在本书里极重要，因为它是此后一切签字的模板：
· Klein 1871 的射影模型、Poincaré 1882 的圆盘模型：同一形式的改进版。
· Hilbert 1899《几何基础》：把几何的一致性归约到实数算术的一致性。
· Hilbert 纲领：把实数算术的一致性归约到有穷方法——这一步失败了（第 24 章）。
相对一致性签字有一个哲学后果，Hilbert 与 Frege 关于此有过著名的通信争论：Frege 认为公理必须是关于某种东西的真理，Hilbert 认为公理系统只要一致，它就定义了它自己的对象。Hilbert 的立场正是本书所说的签字，而它是从 Beltrami 这一步长出来的。
第 3.6 节点名过这个危险案例，此处正面处理。
流传的说法是：高斯做过大三角测量（Hohenhagen–Brocken–Inselsberg），以检验空间是否欧氏。若非欧几何的动力来自物理测量，那么材料出自三家之外（自然科学），本案例即是材料来源规则的反例。
这个说法在史学上站不住，三条理由。
其一，那次三角测量的目的是大地测量（汉诺威王国的测绘），高斯本人的记述里没有把它说成对几何的检验。这个「检验」说法出自后世的转述。
其二，即使他做过这样的检验，结果是否定的：测量在误差范围内符合欧氏几何。一个否定的结果不能充当推翻共有前提的材料。
其三，最要紧的一条：物理测量在原则上不可能推翻「几何描述唯一空间」这条前提。 测量只能告诉你这个空间是什么样的，它无法告诉你「几何可以描述多种空间」。要得到后者，需要的是一个关于公理系统的结果——而那只能来自算或计。
这条排除同时给出一个更一般的观察：共有前提是关于「什么算数」的规定，而经验材料只能报告「是什么」。 因此在数学里，外部经验材料在原则上不能充当推翻共有前提的材料。这是第 3.2 节那条规则在数学中格外硬的深层理由，第 36 章会用它来预测反例搜索的结果。
其一，「计」这一家是否真的在争。 测量传统对平行公设的争论没有直接参与——测量学家不讨论公设。本书把计填为「测量的账本」，理由是三角形内角和是可测量的量，因而计对这道题有立场。但这个立场在文献上是隐含的，不像形与算那样有大量文本。
按第 6.2 节（丙），这接近于「三家不齐」。本书判为齐（因为计有立场：它认为几何命题可由测量核对，这本身就预设了唯一空间），但这个判定比第 9 章、第 11 章的相应判定弱。
其二，Saccheri 的材料是否「早已掌握」。 1733 年到 1829 年之间，Saccheri 的书一度罕见（它在十九世纪初被 Beltrami 重新发现并指出其重要性）。Lambert 1766 年独立做了类似的工作，而 Lambert 的手稿 1786 年才发表。因此「材料早已掌握且众所周知」这一条，在本案例上只是部分成立——它被掌握过，然后部分地失传了。
本书的处理：材料来源规则要求的是材料出自三家之一自己且早于推翻，不要求它连续地被记住。但这削弱了「三家无法退回」这一条的力度——若材料一度失传，三家在那段时间里是可以退回的。如实记。
其三，与最近占位者的区分。 最近的占位者是 Gray（1989, 2007）关于非欧几何史的系列工作，以及 Torretti（1978）。Gray 的框架是：非欧几何的出现要放在「几何作为一门经验科学还是先天科学」的争论中理解。
区分：Gray 解释的是接受过程（为什么当时的哲学环境使它难以被接受），本书解释的是出生机制（Saccheri 的材料如何逼出它）。两者不冲突，可以并存。本书在本章没有能给出一个可判错的区分设计。
（1827—1854）
| 格 | 内容 |
| 形 | 嵌入曲面传统：一个曲面被显示为三维空间中的一张面，它的性质由它在空间中的位置决定 |
| 算 | 多值函数的处理程序：复函数如 √z、log z 有多个值，为了让它们单值，必须做割线、拼接分支——Riemann 1851 的黎曼面就是这条程序的产物 |
| 计 | 位势论与 Dirichlet 原理的账本：一个区域上的调和函数由边界值决定，能量泛函取极小。回答方式是「这个量在这个区域上算得出来，且算出来的值与怎么放置这个区域无关」 |
| 共有前提 | 空间必须是某个外围空间的子集（一个几何对象要存在，必须存在于某个更大的空间里） |
| 材料·产出位置 | 形（微分几何）：高斯绝妙定理（1827），原题是大地测量与地图投影中哪些量在弯曲时不变 |
| 材料·撞上位置 | 无：没有一条程序跑出「没有外面的空间」——它由一条关于不依赖性的定理直接读出（见 26.3 的五例之一） |
| Z | 没有外面的空间——一个由自身的度量与坐标图册定义、不预设任何外围空间的几何对象 |
| 拒绝 | 沉默型为主：Riemann 1854 年的就职演讲《论作为几何学基础的假设》，据 Dedekind 记述，除高斯外几乎无人听懂；讲稿直到 1868 年 Riemann 去世后才发表。否定型证据薄弱：Helmholtz、Klein 后来的批评是技术性的，非本体论的 |
| 签字 | 分两次：Beltrami 1868（把 Riemann 的度量与非欧几何模型连起来）、以及更彻底的 Weyl 1913《黎曼面的概念》——第一次给出流形的现代定义（坐标图册加相容性）。签字工具是拓扑与集合论，均已被签过字 |
高斯 1827 年的《关于曲面的一般研究》，出自一件极实际的工作：汉诺威王国的大地测量。他要处理的是地球表面的测量与地图投影问题——把一个弯曲的面画到平的纸上，什么会变、什么不变。
绝妙定理的内容是：曲面的高斯曲率 K（两个主曲率之积），可以完全由曲面上的第一基本形式（度量 ds² = E du² + 2F du dv + G dv²）算出来。
这句话的意思是：一个生活在曲面上的二维生物，不能离开曲面、不能看见曲面在空间中的样子，但它可以通过在曲面上量长度和角度，算出这个曲面的曲率。
高斯自己给它起名「绝妙」，说明他知道这件事不寻常。但他把它当作大地测量的定理：它回答的是，做地图投影时哪些量必然改变（因为平面的 K = 0，而球面的 K > 0，所以球面到平面的等距投影不存在——这是绝妙定理最直接的实用推论，正是投影理论的核心）。
它在本家回答的是这道题。 与「空间需不需要外面」无关。
在 1854 年之前，几何对象的存在方式是：它在空间中。
· 一条曲线在平面或空间中。
· 一个曲面在三维空间中。
· 三维空间本身在……这个问题不问，因为三维空间就是那个容器本身。
这条规定从未被写下来，因为它太基本了。你甚至难以想象它的否定是什么意思——一个曲面「不在任何空间里」，这句话在 1830 年是不知所云的。
三家：
· 形：曲面被显示为空间中的一张面；离开空间，无法显示。
· 算：曲面的方程 z = f(x,y) 或 F(x,y,z) = 0，本身就是用外围坐标写的。
· 计：曲面的面积、体积、曲率，都是用外围空间的度量算的（第二基本形式明显依赖法向量，而法向量是外围的概念）。
1854 年 6 月 10 日，Riemann 在哥廷根做就职演讲，题目是三个候选中高斯挑的那一个：《论作为几何学基础的假设》。
他做的事，用今天的话说是：定义了 n 维流形，在其上定义了黎曼度量，定义了截面曲率，并指出空间的几何性质（曲率）是可以逐点变化的、需要由经验确定的物理量。
这一步的关键在于：他不预设外围空间。 一个 n 维流形是「n 重延展量」，它的几何由其上的度量给出，度量是一个逐点定义的二次型。整个构造是内蕴的。
而使这一步成为可能的，正是绝妙定理：如果曲率可以由内部度量算出来，那么就不需要外面。 Riemann 明确地把高斯的结果推广到 n 维（他给出的截面曲率公式是绝妙定理的高维版本）。
材料的四条要件：出自形（微分几何）自己；早二十七年；原本回答大地测量与投影；三家无法退回（绝妙定理是高斯的定理，是当时微分几何最重要的结果，无人能否认）。
Dedekind 记述，除高斯外几乎无人理解那次演讲。讲稿一直到 1868 年（Riemann 死后两年）才由 Dedekind 整理发表。
这个「无人听懂」在本书框架里是拒绝的沉默型形态（第 4.4 节丙）。而它的原因可以诊断得很具体：
Riemann 的演讲几乎没有公式。 出于就职演讲的体例（听众包括非数学的教授），他用的是散文式的表述。而他要表达的东西——一个不在任何空间里的空间——在当时的账本上没有对应物，散文表述无法把它显示出来。
按第 28 章的签字律：计只能对形签字，不能对散文签字。 形在这里缺席（没有公式、没有构造、没有模型），所以听众无从判断这是深刻还是空洞。
这个诊断有一个可核查的推论：Riemann 的思想被接受，应当发生在它被形式化之后。 事实符合：Beltrami 1868 把度量与非欧几何模型连起来（形出场），Christoffel 与 Lipschitz 1869—1870 给出张量计算的工具（算出场），Ricci 与 Levi-Civita 1900 完成绝对微分学，Weyl 1913 给出流形的现代定义（图册＋相容性）。整整六十年。
《黎曼面的概念》做的事，是给出一个不预设外围空间的定义：
一个流形是一个拓扑空间，配上一族坐标图（每个图把一个开集同胚地映到 ℝⁿ 的开集），任意两个图在重叠区域上的转移映射是光滑的。
这个定义的每一个零件——拓扑空间（Hausdorff 1914，几乎同时）、同胚、开集——都是一阶抽象的产物（第 5.2 节丙）。第 5.6 节说过：一阶工作是签字工具。这里是又一个直接证据。
值得注意的是顺序：流形这个对象出生在 1854，它的定义完成于 1913，中间五十九年里，数学家在使用一个没有定义的对象。这在本书十九例中不是例外，是常态。第 29 章的时长表会显示：从出生到定义完成的中位数是四十年左右。
流形这一栏开了之后的后果，比多数案例大。
其一，几何与空间脱钩。 此后「空间」这个词在数学里指的是任何一个带某种结构的集合——拓扑空间、度量空间、向量空间、概率空间。这个用法今天如此自然，以至于难以看出它曾经是一次开栏。
其二，物理学的容器被取消。 广义相对论（1915）的基本设定是：时空是一个四维流形，其度量由物质分布决定。没有外围空间——这正是 Riemann 那一步的直接后果，而 Einstein 明确说过他需要的数学是 Riemann 与 Ricci 的。
其三，「局部—整体」成为一个可问的问题。 只有当对象不预设外围空间时，「局部性质如何决定整体性质」才成为一个真问题（在有外围空间时，整体性质可以从外面看出来）。此后的整个微分拓扑与整体微分几何建立在这个问题上。
非欧几何与流形常被放在一起讲，但按本书的框架，它们是两次不同的开栏，须分开。
· 非欧几何推翻的是「几何描述唯一的空间」——它开的是「多个空间」这一栏。
· 流形推翻的是「空间必须有外面」——它开的是「内蕴对象」这一栏。
两者的关系是：非欧几何在前（1829—1832），流形在后（1854）；而 Beltrami 1868 的模型同时给两者签了字——这不是巧合，因为伪球面正好是一个常负曲率的曲面，它用内蕴度量实现了双曲几何。
一次签字给两个对象，这在十九例中只此一次。它提示两栏之间有依赖关系：若空间必须有外面，则「多个空间」这一栏难以稳固（因为你会问：这些空间都在哪个更大的空间里？）。Riemann 的这一步取消了这个问题。
其一，拒绝的证据是全书第二弱的（仅强于第 16 章）。「无人听懂」只有 Dedekind 一处记述，且它记的是听众的困惑，不是拒绝。按第 6.5 节（丙），本案例只有一家的拒绝可以说有据（形与算的沉默是从「六十年无人推进」推断的）。
本书判定：本案例参与第五编统计，但在第 27 章（名字化石律）中标为「无命名证据」。 流形从未被叫作虚构的、不可能的——它只是被忽略了。这一点与第 16 章（分数维）一起，构成对名字化石律最不利的两个案例。
其二，「空间必须有外面」是否真的是共有前提。 一个质疑：Gauss 自己在绝妙定理里已经做了内蕴的工作，Riemann 之前的微分几何（Monge、Dupin）也在处理曲面上的内蕴量。若内蕴的观点已经在用，前提就不成立。
本书的辩护：内蕴的计算与内蕴的存在是两件事。高斯计算了内蕴的曲率，但他的曲面仍然是三维空间中的曲面——他从未提出一个不在空间中的曲面。区分在于：做内蕴计算是承认某些量与嵌入无关；开这一栏是承认对象本身可以无嵌入。 这个区分是实质的（可以查文献：高斯从未讨论过无嵌入的曲面），但它要求读者接受「计算与存在」这个区分，而这个区分在数学实践中并不总是清楚的。
其三，与最近占位者的区分。 最近的占位者是 Scholz（1980）关于流形概念史的专著、Laugwitz（1999）的 Riemann 传记、以及 Ferreirós（2007）关于集合论与结构概念兴起的工作。Scholz 的书几乎穷尽了本章的史实。
本书与 Scholz 的区分：他追踪的是「流形」这个概念的语义演变（从 Riemann 的 Mannigfaltigkeit 到 Weyl 的定义），本书追踪的是它被逼出来的机制。这个区分与第 11.8 节（其三）、第 13.8 节（其三）同型：单章看，本书是史料的重新组织；独立价值在第五编。
本书在这里再记一次这个模式，因为它已经出现了三次，说明它不是偶然：案例编的每一章都有一个已存在的、更详尽的史学专著。本书不与它们竞争史实，本书竞争的是组织方式，而组织方式的检验在十九章之外。
（1918—1975）
| 格 | 内容 |
| 形 | 病态集合的图像传统：康托三分集、Koch 雪花、Weierstrass 处处不可导函数的图。这些在十九世纪末被称为「病态」的对象，形已经把它们画出来了 |
| 算 | 迭代与自相似的构造程序：取一段、去中间、对剩下的重复；每次操作产生下一级。回答方式是「照这个程序做下去，得到的就是它」 |
| 计 | 测度与维数的账本：Lebesgue 1902 的测度、Brouwer 1911 的维数不变性定理（ℝⁿ 与 ℝᵐ 不同胚若 n ≠ m）。维数是一个整数，它数的是独立方向的个数 |
| 共有前提 | 维数必须是整数 |
| 材料·产出位置 | 计（测度论）：Hausdorff 1918 的 s 维外测度构造，原题是「怎样区分零测集的大小」 |
| 材料·撞上位置 | 算（同篇）：临界值 s₀ 是这个构造自动跑出来的产物，不是被寻找的东西。产出与撞上在同一篇论文里（见 16.5、25.7） |
| Z | 非整数的维数——一个不数独立方向个数、而由测度的临界指数定义的量，它可以取任何非负实数值 |
| 拒绝 | 沉默型，且只有沉默型。没有任何人称它不可能、虚构、荒谬。Hausdorff 的论文发表在《数学年刊》上，被引用，被 Besicovitch 学派在 1920—1930 年代持续使用（几何测度论由此而来）。但它在此后五十年里不被视为一个概念，只被视为一个技术工具 |
| 签字 | 无独立签字事件。Hausdorff 的构造本身就在勒贝格测度论内部，一致性不成问题。真正的「承认」是 Mandelbrot 1967—1975 的命名（fractal）与推广，而那是命名，不是签字 |
按第 6.8 节纪律三，不利于本书的读数写进正文。本章整章是一处不利读数，须在开头说明。
第 27 章的名字化石律说：0 到 1 的对象出生时必得否定性名字或蔑称，而这是二阶碰撞的可检索签名。
分数维没有得到任何否定性名字。 它没有被叫作不可能的维数、虚构的维数、荒谬的维数。它就是「Hausdorff 维数」，一个中性的、以人名命名的术语。
而按本书的其余判据，它是二阶的：四要件表填得满，材料出自计自家且原本回答另一道题，Z 是新存在物（一个非整数的维数在 1918 年的账本上确实没有位置）。
于是本章构成对名字化石律的一个反例。本书不修改定律去迁就它，也不淡化。第 27 章会把它与第 15 章（流形，无命名证据）一起，作为该定律的两个例外一并统计，并讨论一个可能的修正形式（16.6）。
十九世纪末，数学里出现了一批被称为「病态」的对象：
· Weierstrass 1872：处处连续处处不可导的函数。
· Cantor 1883：三分集，闭、无处稠密、不可数、勒贝格测度为零。
· Peano 1890、Hilbert 1891：填满正方形的连续曲线。
· Koch 1904：处处不可导的连续闭曲线，围成有限面积而周长无限。
这些对象的存在，对「维数」这个概念造成了持续的压力。Peano 曲线特别尖锐：它是一条曲线（一维对象的像），却填满了一个正方形（二维）。这直接威胁到「维数」的意义。
回应这个威胁的工作，构成了本案例的背景。 Brouwer 1911 年证明了维数不变性（ℝⁿ 与 ℝᵐ 在 n ≠ m 时不同胚），Menger 与 Urysohn 在 1920 年代建立了拓扑维数理论——这些工作全部是保卫整数维的：它们说明，虽然有 Peano 曲线这样的连续满射，但同胚意义下维数仍然是一个整数不变量。
这批工作是补丁（第 2.5 节）。它们保护的共有前提是：维数必须是整数。
Hausdorff 1918 年的题是这样的：
勒贝格测度把康托集的测度算成零。但零测集之间显然有区别——一个可数集是零测的，康托集也是零测的，而康托集是不可数的，「明显更大」。怎样区分零测集的大小？
他的构造是：把勒贝格测度定义中的「区间长度」换成「区间长度的 s 次幂」，用覆盖取下确界，令覆盖的直径趋于零。这样对每个 s ≥ 0 得到一个外测度 Hˢ。
然后是关键的观察：对任意集合 E，存在唯一的 s₀，使得 s < s₀ 时 Hˢ(E) = ∞，s > s₀ 时 Hˢ(E) = 0。
这个 s₀ 就是分数维。 而它是这个构造的一个自动产物——不是被寻找的东西，是构造跑出来的东西。
对康托集，s₀ = log2/log3 ≈ 0.631。
材料的四条要件：出自计（测度论）自己；材料与推翻同时（这一点特殊，见 16.5）；原本回答的是零测集的区分；三家无法退回（Hˢ 的构造在勒贝格测度论内部，完全合法）。
这是本章要回答的核心问题：为什么这一栏开了，而没有人反对？
本书给出三条理由，三条都指向同一个诊断：这一栏开得太顺，以至于没有人注意到它是一栏。
其一，它没有要求任何人放弃什么。 整数维仍然是整数维（对光滑流形，Hausdorff 维数等于通常维数）。分数维只在那些「病态」的对象上取非整数值，而那些对象本来就被认为是例外。新对象被安置在既有账本的边缘，没有触动中心。
其二，它的构造完全在既有框架内。 Hˢ 的定义只用了勒贝格测度论的标准手段。没有新公理，没有新原始概念。一个东西若能用既有材料造出来，「计」这一家没有任何理由拒绝（回想第 13 章：拒绝的根据正是造不出来）。
其三，它没有被当作一个概念，只被当作一个数。 五十年里，Hausdorff 维数在几何测度论中作为一个技术参数被使用（Besicovitch 学派用它研究可求长集与不可求长集），而没有人问「一个 0.631 维的东西是什么」。没有人问，就没有人拒绝。
第三条最要紧，因为它诊断了名字化石律失效的原因：否定性命名产生于「三家必须表态」的时刻。 而分数维从未逼三家表态——它是一个可以不表态而使用的东西。
其他案例中，材料早于推翻数十年至数百年：奇偶论证早于不可通约量（不确定但显然更早）、Euler 恒等式早九十五年、Saccheri 早九十六年、绝妙定理早二十七年、紧致性定理早三十一年。
本案例中，材料与推翻在同一篇论文里。Hausdorff 造 Hˢ 的同时就得到了 s₀。
按第 6.4 节（乙）的验收标准，材料必须早于推翻事件——本案例不合格。
本书的处理：保留该案例，但标注这一处不合格，且该案例在第 26 章（逾越律）的计数中不计入。
保留的理由是：材料来源规则的核心是「材料出自三家之一自己且原本回答另一道题」，这两条本案例都满足（Hˢ 是为区分零测集造的）。「早已掌握」这一条的功能是保证材料的中立性（第 3.4 节：它出场时是既成事实，不带立场），而本案例中 Hˢ 的中立性由另一个方式保证：它是为另一道题造的工具，而那道题被成功回答了（Hˢ 确实区分了零测集）。
这个处理是一个让步，须记账。
由 16.4 的诊断，可以提出一个修正形式，留给第 27 章检验：
修正形式：0 到 1 的对象得到否定性名字，当且仅当它逼迫三家表态。
而「逼迫表态」的条件是：新对象出现在既有账本的中心，即承认它就要修改已经在大量使用的东西。复数逼三家表态（承认它就要改「数是什么」），超穷数逼（要改「无穷怎么谈」），四元数逼（要改运算律）。分数维不逼——整数维原封不动。
这个修正若成立，名字化石律就从一条无条件的定律变成一条有条件的定律，其条件是「中心性」。而中心性可以独立地判定（看承认它是否要求修改既有的大量工作）。
但本书对这个修正持保留态度，因为：它是为了消化一个反例而提出的，而事后为了消化反例而加条件，是标准的临时补救（ad hoc）。第 27 章会把这个修正明确标为「事后提出、未经独立检验」，并在第 35 章（真跑一）的编码设计中把「中心性」作为一个独立变量，看它是否真的预测否定命名率。若真跑一显示中心性不预测命名，则这个修正撤回，名字化石律降为倾向性描述。
1967 年 Mandelbrot 的《英国的海岸线有多长》与 1975 年的 fractal 一词，常被当作分数维的诞生。
按本书的规格，那不是诞生，也不是签字，是命名与推广。
· 不是诞生：对象在 1918 年已经在那里，且被持续使用（Besicovitch 学派五十年的工作）。
· 不是签字：签字的规格是给出一致性模型（第 6.6 节），而 Hausdorff 维数的一致性从来不是问题。
Mandelbrot 做的是第三件事：指出这一栏不是边缘的，而是普遍的。 海岸线、云、山脉、血管、股价——这些不是病态的例外，它们是常态。这个工作改变了这一栏在账本上的位置（从边缘移到中心），而没有改变这一栏的内容。
这个观察给出本书的一个附带判断：开栏与栏目的位置是两件事。 一栏可以开在边缘、几十年后才移到中心。若第 16.6 的修正成立，那么可以预言：移到中心之后，会出现追溯性的争论——事实上确实出现了（1980—1990 年代关于分形几何是否是「真数学」的争论，Krantz 1989 在《数学信使》上的批评文章及其引发的论战，措辞的激烈程度与十九世纪对超穷数的批评可比）。
这个追溯性争论对第 16.6 的修正是一个支持性证据，但它是事后找到的，不构成独立检验。
其一，整章是名字化石律的反例（16.1）。已标。
其二，材料与推翻同时（16.5）。已标，不计入第 26 章计数。
其三，三家是否真的在争。 这是本章最实的质疑。1918 年，形（病态集合的图像）、算（迭代构造）、计（测度与维数）三家之间，有没有一个不可调解的断裂？
本书的填法是：断裂在 Peano 曲线上——形说这是一条曲线（一维），计说它填满了正方形（二维），算说这个构造是合法的。三家各持一答。但这个断裂在 1911 年已经被 Brouwer 的维数不变性定理部分调解了（同胚意义下维数不变，Peano 曲线不是同胚）。
若断裂已被调解，则 1918 年不存在断裂状态，本案例不符合第 6.2 节（乙）。
本书的辩护：Brouwer 的定理调解的是「维数是不是拓扑不变量」这个问题，没有调解「康托集这样的对象该有几维」这个问题——拓扑维数给康托集的答案是 0，而它显然比一个点「大」。断裂在这里仍然存在。
这个辩护成立，但它把断裂缩小到了一个相当技术性的角落，远不如复数、超穷数那样是数学的中心问题。这与 16.4 的诊断一致（这一栏开在边缘），但它使本案例作为「二阶碰撞」的典型性大打折扣。
综合判定：本案例是十九例中最弱的一个。本书保留它，因为排除它会使名字化石律的反例消失——而排除一个对自己不利的案例，是本书最不该做的事。
（1942—1945）
| 格 | 内容 |
| 形 | 代数结构传统：群、环、模、拓扑空间——每一个都被显示为「一个集合加上结构」。回答方式是「这个对象是由哪些元素、满足哪些关系构成的」 |
| 算 | 同调与上同调的计算程序：给定一个空间，造链复形，取商，得同调群。Eilenberg 与 Mac Lane 面对的具体问题是：不同的同调论（Čech、奇异、Vietoris）给出的群何时「相同」 |
| 计 | 集合论的账本：一切数学对象是集合；两个对象相同即它们之间有一个保结构的双射。回答方式是「它们能不能一一对应上」 |
| 共有前提 | 数学对象是带结构的集合（对象在先，对象之间的映射是导出的） |
| 材料·产出位置 | 形（线性代数与代数拓扑的日常实践）：「自然」一词的既有用法，原题是「哪些同构是好的、可以放心使用的」 |
| 材料·撞上位置 | 无：没有算法跑出「态射先于对象」——它由一个已在用而未被定义的区分逼出（见 26.3 的五例之一） |
| Z | 态射先于对象——一个由箭头及其复合定义的东西，其中对象只是箭头的端点，可以完全由箭头刻画 |
| 拒绝 | 否定型（蔑称）：「抽象废话」（general abstract nonsense）——这个词组由 Steenrod 半开玩笑地创造，此后成为标准称谓，用了数十年。放逐型：1950—1960 年代许多代数学家与拓扑学家系统地避免范畴语言；Mac Lane 记述过投稿被要求删去范畴论内容 |
| 签字 | 困难且不完整。范畴不能直接作为集合（「一切集合的范畴」不是集合）。签字手段有三：Grothendieck 宇宙（1963，需要一条新的公理即不可达基数存在）、NBG 类理论、或把范畴论限制在小范畴上。没有一个是无代价的——这是十九例中签字最不干净的一例 |
在 1945 年之前，数学家已经使用「自然」这个词几十年了，用法相当一致：
· 有限维向量空间 V 与它的对偶 V* 是同构的，但这个同构要选一组基。「不自然」。
· V 与它的双对偶 V** 也是同构的，而且这个同构（v ↦ 在 f 上取值 f(v)）不需要选基。「自然」。
· 群的换位子商群、拓扑空间的基本群——这些构造被称为「自然的」，意思是它们不依赖任意的选择，并且与映射相容。
这个区分是实际起作用的：它决定了数学家愿不愿意用某个同构，决定了一个定理是被看作深刻还是看作巧合。它写在教科书里，用在讲课里。
而它从未被定义。 「自然」是一个数学家彼此心照不宣的形容词，像「优美」「深刻」一样。
这正是第 3.4 节所说的形状的极致：材料在本家极其稳固（每天都在用）、极其日常（写在教科书里）、极其不引人注目（它只是一个形容词）。
Eilenberg 与 Mac Lane 面对的具体问题不是哲学问题，是一个技术问题。
1930—1940 年代，同调论有好几种造法：Čech 同调、奇异同调、Vietoris 同调、Alexander–Spanier 上同调。对于「好的」空间，它们给出同构的群。问题是：这个「同构」是什么意思？
· 算说：给定一个空间，按这套程序算，得到一组群。不同程序给出不同的群，但它们「本质上一样」。
· 计说：一样就是有一个同构。而这几种同调论之间确实有同构。
· 形说：光有同构不够。因为每个空间都有一堆同构，问题是这些同构彼此之间要相容——当空间之间有一个映射时，两边的同构要与那个映射交换。
第三家的要求是关键的，而它在集合论的语言里说不出来。集合论的语言只能说「这两个群同构」，说不了「这一族同构是彼此相容的」。
《自然等价的一般理论》（Eilenberg–Mac Lane 1945）做的事，按作者自己的说法，是为了定义「自然变换」。而为了定义自然变换，必须先定义函子；为了定义函子，必须先定义范畴。
顺序值得注意：范畴是为了别的东西才被定义的。 论文的标题是「自然等价」，不是「范畴」。Mac Lane 后来多次强调这一点：范畴这个概念在最初是一个技术上的必需品，不是目标。
定义的内容：一个范畴由对象和态射组成，态射可以复合，复合结合，每个对象有恒等态射。一个函子把一个范畴映到另一个，保持复合。一个自然变换是函子之间的一族态射，使得所有相关的方块交换。
现在「自然」有了定义：V ≅ V 是自然的，因为那一族同构使方块交换；V ≅ V* 不自然，因为它不构成自然变换。**
推翻发生在一个不显眼的地方。
按「对象是带结构的集合」这条前提，映射是从对象导出的：先有集合 A 和 B，然后考虑 A 到 B 的函数。对象在先，映射在后。
范畴的定义把这个顺序颠倒了。在范畴的公理里，对象几乎不起作用——它们只是态射的端点。事实上，可以完全不提对象来定义范畴（只用态射和部分定义的复合运算，恒等态射代替对象）。这是一个标准的观察，Mac Lane 的教材里就有。
于是 Z 是：态射先于对象——一个由箭头及其复合关系定义的东西。
这个 Z 的激进程度，当时并未被充分认识（包括作者本人）。它的后果要到 Grothendieck（1957 年的 Tôhoku 论文、1960 年代的 SGA/EGA）与 Lawvere（1963 年的博士论文，用范畴论重建集合论）才充分展开。Lawvere 的 ETCS（集合范畴的初等理论）是这个后果的极致：集合论本身被重写成一个范畴论的理论，其中集合由它们之间的函数刻画，元素被定义为从终对象出发的箭头。
蔑称的出现值得单记，因为它是名字化石律最好的现代标本。
「general abstract nonsense」这个说法由 Steenrod 创造。有意思的是，Steenrod 本人是范畴语言的重要使用者（Eilenberg–Steenrod 的同调论公理化 1952 年是范畴方法的一次胜利），这个说法在他那里带有自嘲的成分。
但它迅速被广泛使用，且不总是玩笑。1950—1960 年代，范畴论在许多地方被视为空洞的形式主义：它不证明任何定理，只是把已知的东西用箭头重写一遍。
这个批评与 Bishop 对非标准分析的批评（第 13.6 节）在形式上完全相同：没有产出新定理，只是一套翻译。而两者的回应也相同：新对象的价值不由它产出多少新定理衡量。
范畴论的辩护在这里比非标准分析强，因为后来的历史给出了答案：层论、导出范畴、拓扑斯、同伦类型论——这些都是范畴这一栏开了之后才可能的东西，而它们产出了大量新定理。但这个辩护是事后的，1955 年时无法给出。
本案例的签字是十九例中最不干净的一个。
问题是：范畴本身不能是集合。 「一切集合的范畴」若是集合，则由 Russell 悖论式的论证得矛盾。而 Set、Grp、Top 这些范畴恰恰是范畴论最基本的例子。
签字手段有三条，每条都有代价：
（甲）Grothendieck 宇宙。 假设存在一个足够大的集合 U，它对集合论的一切操作封闭（1963，用于 SGA）。这等价于假设存在不可达基数——一条新的公理，独立于 ZFC。代价：一致性强度提高，签字不再是相对于 ZFC 的。
（乙）NBG 或 MK 类理论。 区分集合与类，范畴是类。代价：只能处理「大范畴」的一层，而范畴的范畴又超出了这一层。
（丙）限制在小范畴。 只谈集合大小的范畴。代价：Set 本身被排除，最基本的例子不在理论内。
三条路都是妥协。第 28 章会把本案例作为签字律的一个特殊形态记录：签字未能完成，而对象被接受了。
这一点对本书的签字律是不利的读数，须记：若签字是合法化的必要条件，那么范畴至今未被完全合法化，而这与它在数学中的实际地位不符。
本书的处理是把签字律的表述精确化：签字律说的是「合法化由计以一致性论证完成」，而不是「合法化必须完成」。 范畴的情形是：计给出了三条部分的一致性方案，每一条都足以让相当一部分工作合法进行，而没有一条覆盖全部。这是一个部分签字。第 28 章会把它与第 11 章（超穷数，签字后发现栏内有不可判问题）一起，作为签字并非一劳永逸的两个证据。
第 13.6 节提出过「Z 该定多宽」的问题，本案例是它最尖锐的一次。
Z 可以定得窄：范畴、函子、自然变换这三个概念。 这样它是一个技术工具，Steenrod 的批评有道理。
Z 可以定得宽：态射先于对象——即数学对象可以完全由它与其他对象的关系刻画，而不由它的内部构成刻画。这样它是一次本体论的开栏，其后果包括结构主义数学哲学、拓扑斯、同伦类型论。
本书采用宽的定义，理由是：窄的定义下，四要件表填不满——因为「定义三个概念」不构成对共有前提的推翻，而共有前提（对象是带结构的集合）确实被推翻了，推翻它的正是宽的那个内容。
但必须承认：采用宽定义是本书为了让表填满而做的选择，而它有事后择宽的嫌疑（选一个足够宽的 Z，使它显得像开栏）。第 33 章会把「Z 的宽窄由什么决定」列为本书未解决的问题，与第 13 章的相应问题合并。
其一，签字不完整（17.6）。已标，作为对签字律的不利读数。
其二，Z 的宽窄是选择的（17.7）。已标。
其三，材料的位置可两判。 「自然」一词的既有用法，出自形（结构的日常实践）还是出自算（同调计算的实践）？本书判为形，理由是这个用法首先出现在线性代数（V 与 V*）这个纯结构的语境里。但它在 1940 年代最活跃的使用场所是代数拓扑，那是算的地盘。
按第 7.8、10.7、11.4 节的一贯做法（凡两判取对本书定律不利的那一判）：判为形——因为判为算会增加逾越律的计数。已按不利判法填表。
其四，与最近占位者的区分。 最近的占位者有三处：Mac Lane 自己的历史回顾（1988 及《范畴论基础》各版序言）、Marquis（2009）《从几何学观点看》、以及 Krömer（2007）关于范畴论早期史的专著。
Marquis 最有威胁。他主张范畴论的兴起应放在「数学从研究对象转向研究对象之间的映射」这一长期趋势中理解，这个趋势可以上溯到 Klein 的埃尔朗根纲领（用变换群刻画几何）、Noether 学派的结构主义、以及同态定理的中心地位。
这个占位者本书排不掉。 若 Marquis 是对的，范畴论是一个长期趋势的自然顶点，不是一次碰撞。
本书能给的区分：那个长期趋势中的每一步（埃尔朗根、同态定理、结构主义），都仍然把对象放在先——变换群是作用在一个空间上的，同态是两个已给定的群之间的。而范畴的定义取消了这个先后。这一条区分是实质性的，且可核查（查那些文献里对象与映射的定义顺序）。
但它有一个弱点：Marquis 可以回应说，取消先后正是那个趋势的极限。 而「极限」与「断裂」的区别，在本书里是靠共有前提被推翻这一条来判的——于是辩护又回到了「对象在先是不是一条共有前提」这个问题上，而这个问题的证据（前提从未被写下来）在本案例中不如别的案例强：Bourbaki 的《集合论》（1954）确实明文把数学对象定义为带结构的集合。这构成与第 8.8、11.8 节同型的质疑，且本案例中它最有力，因为 Bourbaki 的明文表述与范畴论的兴起几乎同时。
如实记为本章最重的一处未闭合。
（1949—1960）
| 格 | 内容 |
| 形 | 代数簇传统：一个簇被显示为仿射或射影空间中多项式方程组的零点集，即一堆点。回答方式是「它是这些点」 |
| 算 | 算术几何的计算需求：把几何方法用到数论上——Diophantus 方程、模 p 约化、算术曲面。Weil 1949 猜想把有限域上方程的解数与拓扑不变量联系起来，需要一种能同时处理特征 0 与特征 p 的几何 |
| 计 | 交换代数的账本：交点重数、Hilbert 多项式、Bézout 定理（两条 m 次与 n 次平面曲线交于 mn 个点，须计重数）。回答方式是「数一数，账要平」 |
| 共有前提 | 空间先有点（几何对象由它的点的集合给出，函数是点上的函数） |
| 材料·产出位置 | 计（交换代数与交点理论）：Bézout 重数，原题是「相交数怎么算才与连续变形相容」 |
| 材料·撞上位置 | 算：重数的局部环长度计算跑出了幂零元 k[x]/(x²)——一个在唯一的点上取值为零而非零的函数 |
| Z | 带幂零函数的空间——一个几何对象，其上的「函数」可以非零而幂为零；点被素理想代替，空间由环给出而非环由空间给出 |
| 拒绝 | 否定型：Weil 与经典代数几何学派长期抵触；「一个函数在每一点都取值零而它不是零函数」在几何直观上被视为荒谬。放逐型：1960—1970 年代不少代数几何教程绕开概形，只讲簇；意大利学派传统与概形语言之间长期无法通话 |
| 签字 | 提出即签字（本书两例之一，另一例是第 13 章超实数）。Grothendieck 的 EGA（1960 起）同时给出对象与其构造：概形被定义为局部同构于 Spec(A) 的局部环空间，而 Spec(A) 是由交换环 A 直接造出来的。一致性归约到交换代数与集合论 |
Bézout 定理是代数几何最古老的计数定理之一：平面上一条 m 次曲线与一条 n 次曲线交于 mn 个点。
但这个定理只有在「计重数」的意义下才对：
· 若两条曲线横截相交，交点是 mn 个不同的点，没问题。
· 若它们相切，交点少了——但为了让定理成立，必须把切点计作两个。
· 若一条曲线是另一条的重复（如 x² = 0 是一条「二重直线」），情况更复杂。
「计重数」是一个补丁。 它保护的共有前提是：几何对象由它的点给出。因为若几何对象只由点给出，那么两条相切曲线的交集就是一个点，而不是两个——重数是外加的一个记账数字，不对应任何几何事物。
这个补丁用了两百年，而且用得很不安。整个十九世纪与二十世纪上半叶的交点理论（Chasles、Schubert 的计数几何、Severi 的等价理论、Weil 的《代数几何基础》1946），大部分工作是在给重数找一个可靠的定义。Hilbert 第十五问题就是要求给 Schubert 的计数演算一个严格基础——这个问题存在本身，就是补丁不安的证据。
按第 3.5 节的定位法：补丁在计，材料在计。
材料是一个具体的代数事实：交点重数可以由局部环的长度算出。
考虑 y = x² 与 y = 0 在原点相切。交点的坐标环是 k[x,y]/(y − x², y) ≅ k[x]/(x²)。
这个环有一个非零元 x，满足 x² = 0——一个幂零元。而这个环作为 k-向量空间的维数是 2，正好是重数。
这个计算在交换代数里是标准的，回答的是「相交数怎样算才与连续变形相容」（当两条曲线连续地从横截变到相切，交点数不能跳变——这是交点理论的基本要求）。
而它的含义是：那个「点」不是一个普通的点。它带着一个 k[x]/(x²)，也就是带着一个「方向上的无穷小延展」。
这正是三家撞上的地方：
· 计说：账要平，重数必须是 2。而它在环里表现为一个幂零元。
· 形说：我看见的是一个点。一个点上的函数环应当是 k，没有幂零元。
· 算说：我需要一种几何，它在模 p 约化下仍然有意义（模 p 约化天然产生幂零元——比如 Spec(ℤ/p²)）。
这条前提的表述要小心。
它不是说「空间是点的集合」这么简单——那是明文的定义，可以争。它是一条更基本的规定：几何对象的存在方式是点在先，函数在后。 你先有一堆点，然后考虑这些点上的函数；函数由它在每个点的取值决定；两个函数相等当且仅当它们在每点取值相同。
三家都站在这条规定上：
· 形：显示一个几何对象就是显示它的点。
· 计：数一个几何对象就是数它的点（或它的维数、次数——都由点导出）。
· 算：在一个对象上计算就是在它的点上计算。
而幂零元直接违反最后一句：k[x]/(x²) 中，x 在唯一的点上取值为 0，但 x ≠ 0。一个处处为零的非零函数。 这在「函数由取值决定」的账本上不可能。
概形的定义把顺序颠倒了：
先有环，点是导出的。 给一个交换环 A，它的谱 Spec(A) 是 A 的素理想的集合，配上 Zariski 拓扑与一个结构层。一个概形是局部长得像 Spec(A) 的局部环空间。
于是：
· 点＝素理想。经典的点（极大理想）只是其中一部分；还有「一般点」（generic point，对应零理想），它的闭包是整个不可约分支。
· 函数不由取值决定。结构层给出「函数」，而函数在一点的「值」是它在剩余域中的像——两个不同的函数可以在所有点有相同的值。
· 幂零元合法：Spec(k[x]/(x²)) 是一个只有一个点的概形，但它不是 Spec(k)——它「胖一点」。
这一步做完，Bézout 的重数不再是外加的记账数字：它就是那个交概形的长度，是一个几何量。 补丁被取消了。
概形这一栏开了之后，一批原本互不相干的困难同时消失。这一点在十九例中是最显著的，值得单列。
其一，重数几何化（18.4）。
其二，算术与几何统一。 Spec(ℤ) 是一个概形，它的点是素数（加一个一般点）。于是数论问题成为几何问题：一个整系数方程定义 Spec(ℤ) 上的一个概形，模 p 约化就是取纤维。Weil 猜想需要的正是这个（Deligne 1974 用概形语言下的étale 上同调证完）。
其三，形变理论有了对象。 「无穷小形变」在经典语言里只能靠形式幂级数与形式的话来说；在概形语言里，用 Spec(k[ε]/(ε²)) 参数化的族就是一阶形变。幂零元从障碍变成工具。
其四，「一般点」不再是一个说法。 经典代数几何里，「一般点」是意大利学派用了几十年的一个不严格的说法（「取曲线上一个足够一般的点」），Weil 1946 花大力气用「泛点」（generic point over a universal domain）来严格化。在概形里它就是一个点。
这四件事同时被解决，是本书第 29 章要用的一个观察：开一栏往往同时消掉一批不相干的补丁。 这个现象可以作为共有前提确实存在的一个间接证据——若那些困难各自独立，它们不会同时消失。
本案例与第 13 章（超实数）一样，是「提出即签字」的一例，但形态不同。
超实数的情形：对象由模型存在性定理产出，所以对象与模型同时。
概形的情形：对象由一个构造给出（Spec 是从环显式造出来的），一致性归约到交换代数。
第 6.6 节的签字规格要求指出「一个具体的一致性论证或模型构造」。EGA 提供的是后者，而且是最强的形态：概形不是被假设存在的，它是被造出来的。
这构成对第 28 章签字律的一个不利读数：签字律说签字者通常不是提出者，而本案例中是同一人（Grothendieck）。第 28 章会把它与第 13 章一起统计为例外，并说明定律的准确形式是关于位置（签字必须由计完成）而非人物。
在本案例中，这个辩护是有力的：Grothendieck 做 Spec 构造时，站的正是计的位置——他用的全部是交换代数（Serre 1955 的 FAC 是直接前身）。而他做几何直觉的部分（把 Spec 想象成一个空间）站的是形的位置。一个人可以先后站在两个位置上（第 1.3 节），这不违反定律。
对概形的拒绝，措辞与前几章不同。很少有人说它「不存在」——它是造出来的，存在性不成问题。批评集中在两点：
其一，它取消了几何直观。 一个由素理想构成的空间，一个带幂零元的点，一个不由取值决定的函数——这些无法被画出来。经典代数几何的力量在于图像（意大利学派几乎完全靠几何直觉工作），而概形语言把这个力量拿走了。
其二，它的技术门槛极高。 EGA 有一千多页，SGA 更多，而它们在讲到具体几何问题之前要铺极长的基础。这引发了一个持续的批评：为了解决一个具体问题需要建这么大的机器，是不是不成比例。
这两个批评在本书框架里是形这一位置的拒绝（第 1.3 节：形的拒绝是「我画不出它」）。而它的结局与其他案例一致：形最终找到了新的显示方式（概形的图示传统——Mumford《红书》里那张著名的 Spec(ℤ[x]) 的图，把算术曲面画出来，是形重新出场的标志）。
Mumford 那张图的意义，与 Wessel–Argand 的复平面（第 9.4 节）是同一件事：给一个已被算与计承认的对象一个显示。 而它出现在概形定义之后十几年，晚于签字——这与复数相反（复数是先有显示后有签字）。第 28 章会把两种顺序都记录下来。
其一，提出即签字，签字者即提出者（18.6）。已标为签字律的例外。
其二，「空间先有点」在文献中的证据是间接的。 与前几章一样，这条前提从未被写下来。本书的证据是补丁（重数的两百年）与拒绝的措辞（「处处为零的非零函数是荒谬的」）。但与第 9 章（Euler 明说「与零不可比者不是数」）相比，本案例没有一处接近明说的文本。
其三，材料是否「早已掌握」有争议。 重数的局部环长度公式，是二十世纪四五十年代交换代数发展（Krull、Zariski、Samuel、Serre）的产物，与概形的提出只差十年左右，且是同一批人的工作。这比 Saccheri 早九十六年、Euler 早九十五年要近得多。
本书的处理：仍判为合格，因为重数计算本身（不用局部环语言）可以追到 Bézout（1779）与十九世纪的交点理论，而那时它已经是一个既成的记账事实。但「材料出自哪一层」在这里不干净：Bézout 层的材料是一个记账要求（重数必须计），交换代数层的材料才是它的环论表现（幂零元）。 前者早、后者晚，而推翻共有前提要靠后者。
如实记：本案例的材料时间差被本书用了较宽的算法。
其四，与最近占位者的区分。 最近的占位者是 McLarty（2007）关于 Grothendieck 与范畴论基础的工作、Dieudonné（1985）的代数几何史、以及 Schappacher 关于算术几何统一进程的研究。
Dieudonné 的叙事（他是 EGA 的合著者）是：概形是「几何与算术统一」这个长期纲领的自然完成，从 Kronecker 到 Dedekind–Weber 到 Weil 到 Serre，方向一以贯之。
这个占位者与第 17.8 节的 Marquis 同型，而且更强，因为 Dieudonné 是当事人。本书能给的区分同样是：那个纲领的每一步都保持「空间先有点」（Weil 的泛点理论是为了在保持点的前提下得到一般点），而概形取消了它。这条区分可核查，但同样面对「取消是不是那个纲领的极限」这个反驳。
两章遇到同一形态的占位者，说明这是本书在二十世纪案例上的系统弱点：二十世纪的数学有清晰的纲领意识，而纲领叙事与碰撞叙事在同一批史料上都能自圆。 第 33 章会把这一点记为本书对二十世纪案例的解释力弱于十九世纪案例。