本编收二十一例（闸前二十五例，补跑记录挡下四例）。它们的共同点：一致性这本账在整个过程中一动没动，双方都拿它当共同裁判；争的是形与算——同一批对象，一边能画出来，一边能算出来，而两套说法之间没有现成的翻译。
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按第 4.5 节的预测，E 固化产单位或可被证定理的过程。第八编真跑一读数（闸后）21/21＝1.000。这个数不得被当作证据——预测是析取式，且补跑记录第五节已查出：拿掉四个原本命中的例子而命中率纹丝不动，说明这个检验对本族没有分辨力。
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本编分两族：产过程的五例，产单位的十六例。
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第 8 章不是一个案例，是一个边界讨论——它处理被闸挡下的那四例，说明闸为什么必要，以及它逼出的那条区分。
本编原有一章讲解析几何，作为 E 固化型产过程的标本，也是第二版导论第 7.1 节的动机例。
补跑记录把它挡在了池外。 闸（附录三第 5 问）问：它是一个概念（一类东西的名目），还是一种做法（方法）？解析几何是一个领域的名字与一套做数学的方式，不是一类东西的名目。同时被挡下的还有埃尔朗根纲领、函数域数域平行处理、以及单纯形法那一组。
四例被挡下的方式是一致的，而这一致性比四例本身值钱，因此本编把原来的第 8 章改为这一章。
| 例 | 判为 | 它是什么 |
| 解析几何 | 方法 | 一个领域的名字，一套做数学的方式 |
| 埃尔朗根纲领 | 方法 | 一个纲领，规定「怎样组织几何」 |
| 函数域数域平行处理 | 方法 | 一套类比的做法 |
| 单纯形法／牛顿法／高斯消元 | 方法 | 求解程序 |
共同点：你可以用它们证定理，你不能对它们证定理。
对照本编剩下的五例：傅里叶变换有反演定理与 Plancherel 定理；拉普拉斯变换有存在域与卷积定理；生成函数在形式幂级数环上有自己的性质；勒贝格积分有收敛定理；谱序列有收敛性与退化判据。五例全部是可以被证定理的对象。
「过程」有两种：本身成为研究对象的过程（进账本，是概念），与做数学的方式（不进账本，是方法）。
一固层产的是前者。后者不属于本书的题域（第一版第 33.9 节已把方法的发生列为本书不解释的三类之一）。
这条区分是闸逼出来的，第二版正文原来没有——第 4.5 节的三型产物表把「过程」当作一个单一的产物类型，而它其实是两个。第 4.5 节已按补跑记录第四节的要求加了限定。
本书的回答是：它不是一个概念，因此不属于三层中的任何一层。 它与「公理化方法」「构造性方法」同类——第一版第 30.6 节其一正是以这个理由排除了公理化方法。
但它与半群不同格这件事仍然成立，只是它不再能充当分层的动机例：它说明的是候选池里混进了一个不该在的东西，而不是概念需要分层。 导论第 7.1 节已按此改写，动机例换为勒贝格积分。
一处须记的诚实：解析几何的重要性并不因为它出了池而减少。出池的意思是本书管不着它，不是它不值钱。 本书不解释领域的发生、方法的发生、记号的发生——三类各自需要另一本书。
其一，「能不能对它证定理」这条判据本身需要一道边界。 有人可以对「解析几何」证元数学层面的定理（如坐标化的表达力）。本书的判据是在本领域内部能否对它证定理——傅里叶变换在分析内部有定理，解析几何在几何内部没有关于「解析几何」的定理。这条限定是本章补的，未经检验。
其二，四例是本书自己判的。 判负条款已在补跑记录第七节写死：由不知道本书结论的人先过闸再挑一个池，重合度 < 0.50 则第三、四编须重写。
（1730—1946，五例合章）
闸前本章是九例合章。挡下四例之后剩五例，合章的理由不变：它们的六要件表在「固化维」「不可互译的性质」「产物型」三格上完全同型。
| 例 | 在争的两家 | Z（过程） | 固化维核验 |
| 生成函数（1730—） | 形：数列的排布｜算：级数运算 | 把组合问题译成级数问题的过程 | 计不动：收敛与形式运算的账双方共用 |
| 拉普拉斯变换（1785—） | 形：函数的图像｜算：积分变换的程序 | 把常微分与初值问题译成代数问题的过程 | 计不动 |
| 傅里叶变换（1822—） | 同上 | 把微分问题译成代数问题的过程 | 计不动：收敛的账双方共用 |
| 勒贝格积分（1902） | 形：函数值域的分层｜算：取极限与逐项交换的程序 | 一条新的积分过程 | 计不动：测度这本账是裁判，见 9.3 |
| 谱序列（1946） | 形：滤过的分层结构｜算：逐页取同调的程序 | 一条计算过程 | 计不动：上同调的账是裁判 |
五例的共同核验：每一例的 Z 都有关于它自身的定理（反演、Plancherel、卷积、收敛、退化判据），故过得了闸。
第一版第 30.6 节排除勒贝格积分，同时记了一处紧张：为什么概率＝测度判二阶，而勒贝格积分判一阶？
第二版的回答是干净的：
· 概率＝测度推翻了一条共有前提（概率是情形之比）——三活。
· 勒贝格积分没有推翻任何前提。它把积分的定义从分割定义域改成分割值域，而「积分是什么」这个问题的账（测度）在整个过程中是裁判——事实上 Lebesgue 是先有测度、后有积分。
两者的分界不在重要性，也不在时间，在有没有一条前提被推翻。
它同时是导论第 7.1 节改写后的动机例。 理由有三：它过得了闸（有关于它的收敛定理）；它与半群同格同样荒谬（一个是把积分重新定义并因此使一整套收敛定理成为可能，一个是从群里删两条公理）；而它在第一版里恰恰被判为一阶、与半群同格。换例之后，第 7.1 节的论证一字不改仍然成立。
五例读下来，形状一致：
两家各有一套自足的说法，且各有对方处理不了的问题；架通之后，两边的问题可以互相搬运，而账本一动没动。
由此得一条可观察的推论：产过程的一固层，其价值随两边各自积累的存量增长而增长。 傅里叶变换在 1822 年的价值，远小于它在有了泛函分析与信号理论之后的价值——不是它变了，是两边的存量厚了。
本推论未做检验，写在此处供后续。
其一，闸前本章记过一次对本书有利的判法（把单纯形法、牛顿法、高斯消元归入一固层，而按纪律四本应判二固）。闸已把它们挡下，这一处有利判法随之作废——这是全书唯一一次由后续检验替本书还上的一笔有利判法的账。
其二，五例的时间跨度超过两百年，而合章预设它们同型。同型的证据只有六要件表的三格一致，没有独立证据。
其三，谱序列的归属可疑。 它是一条计算过程，还是一个对象（一族带微分的分次模）？若判为对象，它应移入产单位那一族。按纪律四（可两判取对本书不利的一判），本应判为对象移出本族——本处未这样做，理由是它的用法（用来算，而不是被算）更近过程。记为一次有利判法。
（1893—1963，十六例合章）
十六例：拓扑空间、度量空间、巴拿赫空间、抽象群公理、环、域、模、格、布尔代数、一致空间、赋值论、导出范畴、同调群、基本群、以及若干同型者。
共同形状：若干个已知的具体实例，各自有自己的显露方式（形）与自己的操作程序（算），两者之间不相容——一个群里的运算与一个拓扑空间里的运算不是同一回事，一条群同态与一个连续映射不可互译。抽出它们的公共部分，得到一个新单位。
固化维是计：集合论的账在整个过程中不动，且它是裁判——一个抽象结构合不合法，看它在集合论里造不造得出来。
一个自然的反驳：抽公理只是把若干实例的公共部分写下来，哪有什么碰撞？
回答：碰撞在「哪些是公共的」这个判断上。
抽象群的定义（Cayley 1854）在四十年里无人使用（第一版第 21.6 节），原因是当时只有置换群一个实例——一个实例抽不出公共部分，因为没有对照。到 1890 年代，矩阵群、变换群、数论中的类群都在了，而它们的显露方式（形）完全不同：置换是排列，矩阵是方块，变换是几何操作。正是这些形之间的不相容，逼出了「只看运算、不看载体」这个决定。
于是这一族有一个可查的时序预测：
抽公理型的一固层，必然发生在同一形状有三个以上互不相似的实例之后。
核对：抽象群（1854 提出、1893 通行，中间等的正是实例）、巴拿赫空间（Lᵖ、连续函数空间、序列空间三族到齐后）、拓扑空间（各种收敛概念到齐后）、格（布尔代数与理想格到齐后）。
这条预测有一个已知的反例候选：范畴（1945）。它在提出时的实例已经很多（群、拓扑空间、模），符合预测；但范畴在第一版判为三活层（第 17 章），不在本族内。若第二版把范畴改判一固，本族的时序预测会多一例；本书不改判——理由是范畴推翻了一条共有前提（数学对象是带结构的集合），符合第 4.4 节的三活判据。
按第 5 章的三档：新在场者是账本上多一栏，新单位是既有栏内切出或抽出的一块。
抽公理产的是单位：「一个拓扑空间」是一类东西的名字，而这类东西的每一个成员在此前都已经存在。 没有任何新东西被造出来——被造出来的是一个可以一次性证明一批定理的名目。
对照：复数不是这样。1572 年之前没有任何一个复数存在于任何人的账本上。
第 30.4 节推论三说：一固层的丰产是穷举的产物，因为一维钉死之后另外两维的组合空间可穷举。
本族十六例是那条推论最直接的证据：它们看上去像一批平行的抽象，其实是同一个固化维（集合论的账）下的枚举。 每一次枚举，就是问一遍「若只保留这几条运算律，剩下的是什么」。
而枚举有一个天然的尽头：当公理的组合被穷举完，这一层就停产。 二十世纪中叶之后，纯粹靠抽公理产出的新单位显著减少，通常被解释为「结构主义的退潮」；按本书的读法，它只是枚举做完了。
这个读法未做检验，且它有一个明显的替代解释（数学家的兴趣转移）。记在此处。
其一，「碰撞在哪些是公共的这个判断上」这条辩护，把碰撞放在了一个心理位置上。 第 1.3 节说过，位置指的是回答方式而不是人的判断。若碰撞发生在「判断」里而不在两家的回答里，本族严格说不符合一固层的定义。
本书的处置：把碰撞定位在实例之间形的不相容（置换、矩阵、几何变换互不可互译），而不是数学家的判断。这个处置成立，但它使一固层的「两家在争」变成了「同一家的多个实例互不相似」——这是对第 4.2 节判据的一次拉伸，须记。
其二，本族与二固层的界不干净。 从群删一条公理得半群（二固），从若干实例抽出公理得群（一固）——而抽与删在形式上是同一个动作的两个方向。 本书用「有无不可互译的实例」来分，但当实例只有两个且高度相似时，这条界判不动。
其三，与最近占位者的区分。 最近的占位者是 Corry（2004）关于「结构」概念兴起的研究。他的框架（数学从对象的科学转向结构的科学）解释本族十六例，比本书自然。本书能给的区分只有一条：他解释的是这一族为什么出现，本书解释的是它为什么产单位而不产在场者，以及它为什么在实例到齐之后才发生。第二条有时序证据（10.2 节），第一条没有。