被推翻的前提属计：「一切量必须是可通约的」是一条关于数的资格规定（数即整数比），属计的账本。故计必参战。
另两位在争：算给出辗转相减求公度的程序，且该程序在对角线与边上永不终止——这是算自己的回答，与计的回答（一切量有公度）不相容。形画出对角线，它就在那里——形是三家中唯一站在新对象一边的（第一版第 7.5 节已记），而这个「站在一边」也是一个回答，与计的否定不相容。
判定：三活。 三位置各持一答，无固化维。
一处须记：形的立场与另两家的对立方式与别例不同（它承认而非拒绝），但按第 4.2 节判据，固化维的标志是「被双方当作裁判」——而形在此不是裁判，希腊人恰恰没有拿「画得出来」当作数的资格标准。若拿了，不可通约量就直接被承认了。
被推翻的前提属计：「数是对某物的计数或度量」属计。
另两位在争：算的解方程程序自动产出负值与零；形的位值记号系统里那个空位该不该算一个数，是形自己的问题（记号上有位置，而它指称什么无定论）。
判定：三活。 无位置充当裁判——十六至十七世纪没有任何一家的账被另外两家共同援引来裁定「负数算不算数」，这正是那场争论拖了那么久的原因。
被推翻的前提属计：「数必须是一个量」属计。
另两位在争：算说这条路必须走（不可约情形，三实根非经此步不可到达）；形说显示不出来——而形的「显示不出来」是一个拒绝，不是缺席（第一版第 9.2 节已按第 6.2 节规格核过：形对这道题有立场）。
判定：三活。
与一固层的对照：本例与第 19.1 节（希尔伯特空间，判一固）的差别恰在这里——希尔伯特空间那一例中，计的账在场且被双方当裁判且无条款被推翻；本例中计的条款正是被推翻的那一条。
这是逼出新判据的两例之一，核验须写全。
被推翻的前提属计：「乘法必须是交换的」是一条运算律，属计的账本。故计必参战。
而计的另一条款在当裁判：模相乘（范数可乘性）被 Hamilton 与所有人共同援引，一切构造尝试都拿它检验。
原判据在此失效（第 21.2 节）：若「被双方共同援引为裁判」即判固化，则计是固化维，四元数应判一固。换上的判据说：被推翻的前提属哪一位，哪一位必参战——交换律属计，故计参战，不论它的另一条款是否在当裁判。
另两位在争：形要求「与空间中的点一一对应」，算要求「乘法封闭且可逆」，两者在三分量上不能同时满足。
判定：三活。 但须同页写明第 24.2 节记下的循环：新判据由本例与分数维逼出，又由这两例确认。 出路只有在没参与逼出判据的例子上检验。
与第 17.2 节的接续：1830—1843 那十年是一固层（计的全部条款都未被动，模相乘当裁判，形与算在争而结构性无解）；1843 年 Hamilton 动了计的一条款（交换律），一固层升为三活层。同一条链上的两段，分属两层。
被推翻的前提属计：「无穷只有一种，且它是潜在的」是一条关于「能不能问它有多少」的规定，属计。
另两位在争：算的对角线程序造出一个不在任何列举中的数；形的连续统被显示为一条线，线上的点一个接一个地取——取的过程无尽而从不完成，这是形自己的立场，与「完成了的无穷」不相容。
判定：三活。
被推翻的前提属计：「接近只有一种意思」——它是 ε–δ 那个量词结构外包给绝对值的部件，属计（度量的账）。
另两位在争：算的同余逐级提升跑出一列在通常意义下不收敛的东西；形的幂级数展开传统把「在一点附近」显示为一列系数，而 p 进的「附近」在数轴上画不出来。
判定：三活。 本例第一版因拒绝证据只有一家而排除出统计，第二版的固化维核验不受此影响（核验的是位置状态，不是拒绝证据）。
被推翻的前提属计：「名分由构造担保」是一条关于什么可以成为数学对象的规定（第 13.7 节的高层前提），属计——因为担保就是一致性的事。
另两位在争：算的微积分程序把 dx 当非零量运算、最后舍去；形的数轴上没有位置留给一个比一切正数都小的正数。
判定：三活。
与第 17.3 节的分界：莱布尼茨那一段（1670s—1734）形是缺席（无人拿可显示性当裁判），故三家不齐、作废；而 1961 年这一次，形是在争的（Robinson 给出的模型同时就是显示）。同一个题域，两个时段，一个作废一个三活。
被推翻的前提属形：「几何描述的是唯一的那个空间」——它规定了几何对象的显露对应于什么，属形。
这是十九例中被推翻前提属形的四例之一，须核验清楚：为什么不属计（测量的账）？因为「唯一空间」这条规定不是一条计量规则，它规定的是几何命题的所指——所指是形的事。而测量的账（三角形内角和等于两直角）是从这条规定推出来的，不是这条规定本身。
另两位在争：算的归谬程序跑出一整套融贯而驳不倒的定理；计的测量传统认为几何命题可由测量核对——这个立场本身预设了唯一空间，与「有多种几何」不相容。
判定：三活。
一处最弱：计在本例中的参战证据是隐含的（测量学家不讨论公设），第一版第 14.8 节已记这接近「三家不齐」。第二版的三态判据不改善这一处——若计实为缺席，本例应作废；若计为固化，本例应判一固。 本书判为在争，是十九例中固化维核验最勉强的一例。
被推翻的前提属形：「空间必须是某个外围空间的子集」——它规定了几何对象的存在方式即显露方式，属形。
另两位在争：算的多值函数处理程序（黎曼面的割线与拼接）产出一个不预设外围空间的东西；计的位势论与 Dirichlet 原理要求一个区域上的量算得出来且与放置无关。
判定：三活。
这是逼出新判据的第二例。
被推翻的前提属计：「维数必须是整数」属计（数一数有几个独立方向）。故计必参战。
而计的另一部分在当裁判：勒贝格测度是共同标准，Hˢ 建在它内部。与四元数同型的一处。
另两位在争：算的迭代构造跑出康托集、Koch 曲线这类东西；形已经把它们画出来了，而画出来的东西按拓扑维数是 0 或 1，与它们「明显更大」的直观不相容。
判定：三活。
两处须记：其一，本例第一版因材料与推翻同篇而排除出逾越律计数；其二，第一版第 16.8 节记过「三家是否真的在争」是本例最实的质疑（Brouwer 1911 的维数不变性已部分调解了断裂）。第二版的固化维核验不能改善这一处——它核验的是有无固化维，不是断裂强度。
被推翻的前提属计：「数学对象是带结构的集合」——集合论那本账规定了什么可以成为对象，属计。
另两位在争：形的代数结构传统把对象显示为「一个集合加结构」；算的同调函子实践里，「自然」这个区分已经在用而从未被定义。
判定：三活。
与第 19.2 节（层，判一固）的对照：层没有推翻集合论的任何条款，它给了一套记账法；范畴推翻了「对象＝带结构的集合」。两者同在 1945—1946 年、同出自代数拓扑，而分属两层——分层判的是事件，不是领域。
被推翻的前提属形：「空间先有点」规定了几何对象的显露方式，属形。
另两位在争：算的算术几何需求（模 p 约化下仍有意义的几何）；计的交换代数账要求 Bézout 的重数计得平。
判定：三活。
被推翻的前提属计：「一个无穷过程有值，当且仅当它到达一个量」是关于「和」的账本规定，属计。
另两位在争：算的发散级数求和算法跑出三个互相矛盾的值；形的切线与面积传统把极限显示为一个被到达的位置。
判定：三活。
被推翻的前提属形：「函数是一个表达式」——表达式是显露方式，属形。
须核验为什么不属计：候选是「函数由它的对应关系记账」，但那不是 1837 年之前的规定，那正是 1837 年之后才有的。1837 年之前，判定「是不是一个函数」用的是「有没有一个式子」——看得见的那个式子，是形的判据。
另两位在争：算的傅里叶级数展开程序对任何可积的 f 都能算出系数，跑出一条分段异式的曲线；计的解析式账本认为两个函数相等当且仅当式子可互相化归。
判定：三活。
与第 25 章（广义函数）的嵌套：本例推翻的是「表达式」这一层，广义函数推翻的是「每点有值」这一层，两条前提嵌套，外层被推翻不影响内层（第一版第 25.9 节其四）。故同一个概念被开了两次栏，而两次的被推翻前提分属形与计——这是十九例中唯一一个概念跨两位的。
被推翻的前提属算：「可解性是方程的属性」——方程与它的求解程序是算的对象，可解性归谁，是算的账。
这是十九例中被推翻前提属算的两例之一。
另两位在争：形的置换排列研究（Cauchy）已经把置换当对象在研究，但研究的是「一个置换」而非「一组置换构成的系统」；计的分圆数论用周期与循环结构解方程，可解性由 p−1 的因子分解决定——那是一条算术性质，与「归给一组置换」不相容。
判定：三活。
一处须记：第一版第 21.8 节其二记过一次有利判法——把 Cauchy 的置换研究判给形而非算，若判给算则算占两位、三家不齐、本例应排除。第二版的固化维核验沿用那次判法，故本例的三活判定继承了那一处有利判法。
被推翻的前提属计：「分解是分解成数」是唯一分解那本账的规定，属计。
另两位在争：算的费马证明路线跑到 n = 23 撞出失效；形的分圆整数环把「数」显示为一个可写出的表达式 a₀ + a₁ζ + …，而理想因子写不出来。
判定：三活。
被推翻的前提属计：「概率是情形之比」属计（数一数有几种情形）。
另两位在争：算的遍历与统计物理程序处理连续情形时无从计数；形的勒贝格测度把「多大」显示为一个可测集的量。
判定：三活。
与第 9.3 节（勒贝格积分，判一固）的对照：两例同在测度论周边，而勒贝格积分未推翻任何前提（测度那本账在他那里是裁判，且他是先有测度后有积分）。分界不在重要性，也不在时间。
被推翻的前提属算：「『有效计算』由数学家判定，不由定义判定」——有效指的是一个程序能不能机械地跑，属算。
这是被推翻前提属算的第二例。
另两位在争：形的形式主义传统把数学显示为一串符号，而「按规则操作」这件事在系统外面；计的可定义性诸类（原始递归、λ-可定义、一般递归）各自定义清楚，而「哪个类恰好装下全部有效可计算的函数」不在任何一类的定义里。
判定：三活。
被推翻的前提属计：「函数在每一点上有值，而函数由这些值决定」——「由值决定」是记账规则，属计。
另两位在争：算的弱解构造跑出一个没有逐点导数却满足方程的东西；形的泛函对偶传统把一个空间显示为其上连续线性泛函的全体，而 δ 在这套显示里是正当的、在逐点的显示里不是。
判定：三活。
一处第二版新记的紧张：第 11.4 节把 Sobolev 空间放在一固层（S 固化，产单位），而 Sobolev 1936 的广义解正是本例的材料之一。同一个人的同一批工作，一部分被判一固、一部分被判三活。
按第 16.2 节的纪律（分层判的是事件不是名词），这不矛盾：Sobolev 空间 W^{k,p} 作为一族单位是一固，而弱解作为推翻「函数由值决定」的材料属三活层这一事件。但两者的分界须由独立编码者复核——第 11.5 节其三已把 Sobolev 空间的归属记为一次对本书有利的判法，此处是同一处。
十九例，降层 0 例。判负线（≥2 例）未触及。
通过不构成证据（第 21.5 节限制二、第 24.2 节）：十九例的入选标准就含「共有前提被推翻」，而新判据说被推翻的前提属哪一位、哪一位必参战。两者接近同义反复。
补节做完，可以数一件第一版没数过的事：被推翻的共有前提属于哪一位。
| 位置 | 例数 | 对象 |
| 计 | 13 | 不可通约量、零与负数、复数、四元数、超穷数、p 进数、超实数、分数维、范畴、极限、理想、概率＝测度、广义函数 |
| 形 | 4 | 非欧几何、流形、概形、函数 |
| 算 | 2 | 群、可计算函数 |
被推翻的前提，近七成属计。
这与第一版第 26 章那条判负的读数（材料出处：计 8／算 6／形 3）不是同一件事，两者可以并存：材料出自谁，与被推翻的前提属于谁，是两个变量。事实上四元数、分数维、超穷数三例正是「材料出自计、被推翻的前提也属计」，而复数、极限、函数三例是「材料出自算、被推翻的前提分属计与形」。
一处须交给用户裁的不一致：这条读数（数学：计 13／形 4／算 2）与九门一百七十例真跑中数学那一栏的读数（E 10／D 9／S 1）对不上，尤其是 D 那一列差得远（本书 2，那边 9）。两处的归位规则不同——本书按「被推翻的前提规定了什么」归位，那边按「在场者→E、单位与过程→D、显露→S」归位。两套规则至少有一套要改，或者两者测的根本不是同一个量。 本书不擅自裁定，记在此处。
其一，第 14 章非欧几何：计的参战证据是隐含的（测量学家不讨论公设）。若计实为缺席则本例作废，若为固化则本例应判一固。十九例中最勉强的一例。
其二，第 10 章四元数与第 16 章分数维：判据由这两例逼出、又由这两例确认（循环，第 24.2 节已记，未解）。
其三，第 21 章群：三活判定继承了第一版第 21.8 节那一次有利判法（Cauchy 的置换研究判给形）。若改判给算，本例三家不齐，应排除。