三层分完之后，最要紧的一编是这一编。一个只能给成功案例分层的装置不值钱——成功案例总能被事后归进某一层。本编收三类：不该被算进任何一层的失败、出生了却没被签字的、以及三层之间判不动的悬案。
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第一版第六编的三章移入并重判。重判改动了三例，其中两例是第一版明确记为悬案或勉强的（Hamilton 三元组、希尔伯特空间），一例是第一版记为「判不干净、不计入」的（层）。三例的重判结果都对本书有利，因此三例各自写死了一条留给独立编码者的判负条款——有利的重判必须比不利的重判受更严的检验。
第一版第 31 章筛掉候选用的是一条规矩：三家不得有空位（三家不齐）。第二版把它劈成两种，因为第 4 章的三态判据（在争／固化／缺席）使它们分得开：
其一，三家不齐——某一位置缺席：在争论中根本不出现，也不因此拒绝什么。案例作废，不属任何层。
其二，三家不争——三个位置都在场，但没有任何两家给出不相容的回答。这不是失败，这是二固层（第 14.4 节）。
第一版把两者混为一谈，于是把一批二固层的东西和一批真失败一起扔进了「假二阶」。
第一版的判定（第 31.2 节）：形（复平面）、算（构造尝试）、计（模相乘）三家都在场，但三家不在争——形与算与计合作无间地一起找一个东西，而那个东西不存在。第一版由此判为「无断裂」，归入假二阶，并记明这是十九例中最勉强的一例的邻居。
第二版的重判：三家不争，而其中计（模相乘、范数可乘性）恰恰是被双方共同援引的裁判——Hamilton 把它当作不可放弃的约束，一切构造尝试都拿它来检验。按第 4.2 节的三态判据，计是固化维。
而形（数被显示为平面上的点，因而三维的数应被显示为空间中的点）与算（三分量乘法的构造程序）在争吗？
在争，而且不可互译：形要求的是「与空间中的点一一对应」，算要求的是「乘法封闭且可逆」，两者在三分量上不能同时满足——这一点由 Euler 四平方恒等式的缺口（三平方和无保范数乘法律）保证。
因此 1830—1843 那十年是 E 固化型的一固层碰撞，产物应当是单位或过程。
而它产出了什么？什么也没有产出。 十年无果。
这正是本章要的东西：一固层也会退回，而它的退回形态在第 13.1 节已经列过——有位而不出火。此处是它最纯粹的标本，且退回的原因可以指认：两家的不相容是结构性的（三分量上无解），不是尚未架通。
1843 年发生的事，按第二版的读法，是 Hamilton 解冻了固化维——他没有放弃模相乘（那是裁判），他放弃的是交换律，而交换律属于计的另一条款。固化维被动了一条款，一固层就升为三活层，产出四元数这个新在场者。
这是三层之间升降的第一个可查标本，接第六编第 30 章。
判负条款（因本次重判对本书有利，须加严）：
独立编码者判定 1830—1843 这十年：是（甲）一固层碰撞退回，还是（乙）根本没有碰撞。若判为乙，本节撤回，Hamilton 三元组回到第一版的「三家不争、无断裂」。
第一版第 31.3 节的判定：算在场且极强，形不在场（数轴上没有位置留给一个比一切正数都小的正数），计在场且拒绝。
按第二版的三态判据复核：形是缺席还是固化？
是缺席。 判据是：固化的那一位，它的账被双方当作共同的裁判。而在无穷小的争论里，没有任何一方拿「能否被显示」当作裁判——莱布尼茨一派根本不接受这条要求，Berkeley 一派也不是靠它反驳的（他反驳的是逻辑上的自相矛盾，那是计的语言）。
因此形是缺席，三家不齐，判定不变：案例作废，不属任何层。 它在 1961 年成为三活层（第一版第 13 章），那是另一次事件。
第一版第 31.4 节：三家齐，而材料（罗素悖论）来自外部，是专门为推翻而造的，因而丧失不可退回性。
第二版复核：三层的分界靠「有无共有前提被推翻」。弗雷格这一例，前提（概念的外延是一个对象）确实被推翻了——但推翻它的材料来自三家之外。
于是它落在一个第一版没有专门命名的位置：有推翻、而材料不合格。 按材料来源规则，它不构成三活；按有推翻，它不是一固。
第二版的处置：单列为废格——不属三层，与三家不齐并列为第二种作废。理由：三层的分界预设了推翻是由合格材料造成的；由不合格材料造成的推翻，取消的是一条路，不开任何栏（第一版第 31.4 节：悖论不开栏，十九例无一例外）。
| 例 | 第一版 | 第二版 | 依据 |
| Hamilton 三元组 | 假二阶（三家不争） | 一固层碰撞退回，1843 升三活 | 计是固化维；两家不相容且结构性无解 |
| 莱布尼茨无穷小 | 三家不齐 | 不变（形缺席，非固化） | 无人拿可显示性当裁判 |
| 弗雷格概念外延 | 假二阶（材料外部） | 废格（第二种作废） | 有推翻而材料不合格 |
第一版第 32 章的三例，第二版复核后判定不变，此处只记复核结果：
Grassmann 扩延论（1844）——形不在场，计无从查，等三十年。第二版补一句：它在等的正是向量空间成为一个一固层的成熟单位（Peano 1888 的公理化）。签字工具是低层的产物（第 15.1 节其三），而 1844 年那个工具还不存在。
Kronecker 除子理论（1881）——提出者原则上拒绝签字这个动作。第二版补一句：这是唯一一例由固化维那一侧发出的拒绝——Kronecker 拒绝的正是「用集合论的账给东西发身份证」这件事，而那本账正是当时的固化维。
Brouwer 选择序列（1918—）——签字与对象的本性冲突。判定不变，且它划出的边界不变：本书描述的那条路（逾越—显示—签字）不是唯一的一条，只是主流账本走的那一条。
一固层也有「造出来了却没被接」的情形，但形态与三活层不同——因为一固层不需要签字（第 4.6 节：它造出的单位或过程本来就在固化那一家的账本内部，一致性不成问题）。
一固层缺的不是签字，是认领：
标本一：Cayley 1854 的抽象群定义，四十年无人使用。原因在第 10.2 节已给：一个实例抽不出公共部分，因为没有对照。它缺的是实例，不是一致性。
标本二：Grassmann 的另一半。 他的东西同时缺签字（三活层意义上，没有显示）与认领（一固层意义上，没有实例对照）。第一版把它整个放在「没签字」一栏，第二版指出它跨两层——这也是「分层判的是事件不是名词」（第 16.2 节）的一次应用。
| 三活层 | 一固层 | |
| 缺什么会卡住 | 签字（形不在场则计无从查） | 认领（实例不够则抽不出） |
| 等的是什么 | 一个可显示的对象与一个一致性论证 | 若干个互不相似的实例 |
| 时长由谁定 | 被推翻的那一维（E 倒长、D 倒短） | 实例到齐的速度 |
这条对照未做检验，样本是三活层三例、一固层两例。
第一版第 37.6 节查出三处判不干净的边界案例。第二版用三层重判，三例都判动了——但三例的重判都对本书有利，因此本章的三条判负条款写得比别处严。
第一版的经过：第 5.2 节说它是二阶，而它不在十九例之内——一处自相矛盾。第 30.7 节用五步程序重跑，判为一阶，理由之一是三家时序不齐：形（正交函数系）与算（积分方程）在 1900—1910，而计（量子力学的态与观测量）要到 1925 年之后。
第二版的重判：第一版把「计不在场」读成了缺席。按第 4.2 节的三态判据，它是固化维——集合论与一致性这本账在 1906 年完全在场，且它是裁判：ℓ² 空间合不合法，看它在既有分析框架里造不造得出来（Fischer–Riesz 1907 证明 ℓ² 与 L² 同构，用的正是这本账）。
而形与算在争：正交展开要求的是把函数显示为一列系数，积分方程要求的是一套逐次逼近的求解程序，两者在 1900 年前后不可互译——这正是 Hilbert 那六篇论文要架通的东西。
因此：一固层，E 固化型，产单位。 产物「一个带内积的完备无穷维线性空间」是一个单位，与第三编第 10 章那十六例同族。
这个重判比第一版干净：它不必声称三家不齐（那与 1906 年集合论确实在场的事实相抵），也不必把它塞进「抽公理」（它不是从若干实例抽出的，它是从两家不可互译中架出的）。
判负条款：
独立编码者判定 1904—1910 年的计（一致性这本账）是在场为裁判，还是根本不参与。若判为不参与，本节撤回，回到第一版第 30.7 节的一阶判定。
第一版的经过：第 31.5 节跑完五步程序，第一步（能否复述）判不干净，第二步沉默期只有两三年，第三步三家是否互不相容说不清。判为悬案，不计入十九例也不判一阶。第一版的实际态度是「它更像范畴那一栏开了之后的第一批产物」，但那个态度没有判据支持。
第二版的重判：三层的分界靠「有无共有前提被推翻」。
层推翻了什么吗？候选是「整体由局部决定」——不成立。层论恰恰是把「局部数据何时能拼成整体」这件事变成一个可计算的量（上同调），它没有推翻任何关于局部与整体的规定，它给了一套记账法。
而两家在争：形（拓扑空间上的局部数据该被显示成什么——预层是一族集合还是一个函子）与算（谱序列的逐页计算程序）。固化维是计：上同调的账在整个过程中是裁判。
因此：一固层，E 固化型，产单位。 与第一版的实际态度一致，现在有了判据。
判负条款：
独立编码者判定层是否推翻了某条共有前提。若指认出一条并通过「念给三家听」的验收，本节撤回，层升入三活层，第二编由十九例增为二十例，第八编全部重算。
第一版的经过：第 31.6 节判一阶，理由是可复述、无一致拒绝（Legendre 读到后极为兴奋、公开赞誉），并从这一例读出一条界：出人意料 ≠ 开栏。
第二版的重判：按第 6.3 节的判别程序第二步——有没有两家给出不相容的回答？没有。 形（格与基本区域）、算（反演椭圆积分）、计（周期的算术）三家不在争，它们是同一个发现的三个侧面。因此是二固层。
但第二版还要加一句，而这一句比层级重要：
它根本不是一个新概念，它是一条关于既有概念的定理。 椭圆函数是函数，周期是周期——数量从一个变成两个。第一版第 33.9 节说本书不解释定理的发生，而这一例正是被误当作概念收进候选池的一条定理。
因此第二版的处置是移出候选池，不是判为二固。它属于第 33.9 节列的「本书不处理的三类」之一。
这是三例重判中唯一一例对本书不利的——它使中级候选池与二固对照组各少一个可用样本，也说明候选池的入池标准里缺一道闸：先判它是不是一个概念。
| 例 | 第一版 | 第二版 | 对本书 |
| 希尔伯特空间 | 一阶（三家不齐） | 一固层 E 固化，产单位 | 有利（消掉一处勉强） |
| 层 | 悬案，不计入 | 一固层 E 固化，产单位 | 有利（悬案变可判） |
| 椭圆函数双周期 | 一阶 | 移出候选池：它是定理不是概念 | 不利（暴露入池标准缺一道闸） |
两利一弊，且三条判负条款全部写死。 第 19.3 那一处不利要在第 20 章的欠账清单里单列，因为它指向的是入池标准，而入池标准管着全书的样本。
数学概念的诞生按参战维数分三层。三个位置全在争、且有一条三家共有的前提被推翻时，账本多一栏（三活层，十九例）；一维固化、两维在争、无前提被推翻时，栏内切出或架出一个单位或一条过程（一固层，三十六例）；两维以上固化时，只是准入放宽（二固层）。三层不是同一种东西的三个强度，而是三种不同的东西——第一版的三件承重物（共有前提、材料、签字）只在三活层有意义，一固层另有一套机制（固化维来自上一次三活涌现中被签了字的那一维）。
第一版十四条欠账，第二版偿了两条、新增五条。
第一版已偿的两条
| # | 欠账 | 状态 |
| 一阶那一格塞了性质不同的对象 | 第一版第 30.5 节记 | 已偿：劈成一固与二固两层 |
| 伸展缺机制 | 第一版第 38 章记 | 已偿：S 固化型二维碰撞，切与加的区别（第 31.3 节） |
第一版未偿、第二版仍未偿的十二条（原样带过）
共有前提的事后可得性｜样本量太小｜装置只覆盖数学内部｜若干出生日期不封闭｜Z 的宽度｜规格执行不一致｜单人编码｜签字律未设检验｜材料来源规则的表述被放松一次｜二十世纪案例被纲领叙事占位｜每章都有更详尽的史学专著在先｜逐家试推是反事实判断。
其中Z 的宽度这一条，第二版把它从两档挪到三档，第 5 章已明写：三档没有解开这个环，它把环挪到了新的位置。
第二版新增的五条
| # | 欠账 | 记在哪 |
| 15 | 一固的判据是否定式的，依赖共有前提那一格判得准 | 4.7 其一 |
| 16 | E 型与 S 型的预测过宽，几乎不可能判负；真跑一的信息量集中在 D 型七例 | 4.5、本编各处 |
| 17 | 固化维指定可能有误（微分形式） | 12.6，判负条款已写死 |
| 18 | 一固／二固的界会把安静发生的一固判成二固，方向明确，无法消除 | 16.3 |
| 19 | 入池标准缺一道闸：先判它是不是一个概念 | 19.3（椭圆函数双周期） |
第 19 条是本编查出的，它比其余四条严重：它管着全书的样本。 候选池若混进了定理、方法、记号，分层就是在给不同种类的东西排队。第一版第 33.9 节列过「本书不解释的三类」（定理、方法、记号的发生），而第一版自己就把一条定理收进了候选池。
处置：第八编的下一轮编码，入池前加一道闸——它是一个概念（一类东西的名目），还是一条关于既有概念的陈述？ 后者不入池。
三例重判两利一弊，且都由本书作者做出。按第一版第 34.5 节的不对称（单人编码判负可信、判正不可信），两处有利的重判（希尔伯特空间、层）属于「判正」那一侧，不可信。 三条判负条款已全部写死，交独立编码者。
而唯一那处不利的重判（椭圆函数双周期）属于「判负」那一侧，可信——并且它查出了第 19 条欠账。这与第一版第 37.10 节的读数一致：本书能给的最好的东西，落在判负那一侧。
1. 独立编码。 第一版列为第一优先，第二版仍是。不做这一件，三层的全部数字只有二级强度。
2. ~~把 E 型预测改成排他形式并在新候选池上跑~~ 已执行（补跑记录之二）：排他式在一个先过闸再挑的新池上跑出 22/24＝0.917，两处未命中方向相反；由此写死的第二次改写仍待检验。
3. 执行本编与第四编写死的五条判负条款：Hamilton 三元组、希尔伯特空间、层、微分形式的固化维、单纯形法三例的层级。
4. 给候选池加那道闸（第 19 条欠账），并重跑一遍入池。
第 4 件最省力，第 1 件最贵，第 2 件最值钱。