第一版第八编五章移入并重判。移入不是照搬：三层装上之后，与拉卡托斯、库恩、克罗的分界全部要重写，因为第一版的两档在他们面前分不清哪一层在对话。
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本编第 25、26 章的机制未设检验，章首照第八编第 24.4 节的写作预算声明。
章首声明：本章的机制（伸展＝S 固化型二维碰撞）未设独立检验。第六编第 31.4 节写死的判负条款本轮未跑。
第一版第 38 章的区分：伸展之后原概念被重新定义，开栏之后原栏不变。 判负条款写死、自查零反例。
但第一版第 38.3 节承认：在第 19 章（极限）内部，它没有可判错的设计——若读者认为「取消到达」也只是伸展的一种，第一版无法用那一章的材料反驳。
欠的是机制。 第二版补上，并把它安在具体的层上。
拿拉卡托斯自己的主例：柯西 1821 年的定理被阿贝尔 1826 年的反例推翻，Seidel 1847 与 Stokes 用一致收敛修补。
形是固化维：争论双方指的是同一批对象，谁也没有提出「这不是同一个函数」——形在场、被共同援引、且它的任何条款都不在被推翻之列（关于「函数是什么」的前提，1837 年动过一次、1945 年动过一次，都不在 1847 年）。
算与计在争：逐项取极限可否交换次序（算），收敛这本账对逐点与对整体是不是同一本（计）。
因此：一固层，S 固化型，产单位。 产物是从「收敛」这一个旧单位里切出来的两块。
一固层的新单位是从旧单位里切出来的，切了旧名字就得改指。
「收敛」在 1847 年之后成了一个总称，底下有两块。「可微」在正则性等级出来之后成了总称。「连续」在一致连续与半连续出来之后成了总称（第 11.3 节八例核对）。
而三活层的新在场者是加在空位上的，加了旧栏一动不动。 复数不是从实数里切出来的一块，理想不是从数里切出来的一块，分布不是从函数里切出来的一块。
于是第一版那条判据得到了理由：
伸展重新定义原概念，因为它切；开栏不重新定义，因为它加。
其一，他没有中间层。 《证明与反驳》里，反例逼出的动作只有一种——伸展。而第二版说伸展是一固层的一种（S 固化型），一固层还有另外两型，其中 E 固化型（抽公理那十六例与产过程那五例）根本不产生反例，也就不在他的框架里。
其二，他没有说伸展固化了哪一维。 「怪物驳斥」与「怪物调整」在他那里是策略选择；在第二版里，能不能驳斥怪物取决于形是不是固化——若形也在争（有人主张「这不是同一个对象」），那就不是伸展，那是三活层的开端。
这条给出一个可查的判别：看争论中有没有人说「我们说的不是同一个东西」。 有，则不是伸展。
其三，他的伸展没有产物的类型。 第二版说 S 固化产单位、E 固化产单位或过程、D 固化产在场者——伸展只对应其中一格。
其一，机制未检验（章首已声明）。
其二，25.4 其二那条判别是本章唯一的可判错设计，而它本轮未用。 要用它，须编码一批伸展案例，看争论中「这不是同一个对象」这句话出现与否。本书未做。
章首声明：本章的机制未设独立检验。
常规科学在库恩那里是解谜，范式革命是整体更替。他的图景里没有中间层——要么在范式内解谜，要么范式被换掉。
而一固层既不是解谜（它产出新单位，不是把已知方法用到新题上），也不是革命（它不动任何共有前提）。
第一版第 40.1 节说：数学没有库恩式的革命。第二版补一句：数学有的是三层，而库恩的两分把中间那层压没了。
一处须记的不对称：库恩谈的是自然科学，本书谈的是数学。第一版第 40.2 节已给过数学与自然科学的一处结构差别——数学的共有前提在定理之外，所以推翻它只加栏、不作废任何定理；自然科学的共有前提常被写进理论的核心陈述，推翻它就要改写理论。因此「库恩压没了中间层」这句话，本书只能对数学说。
研究纲领有一个硬核，纲领内部的工作不许动硬核，只动保护带。这与固化维形状一样。
分界在两处：
其一，他没说硬核是哪一维。 硬核在他那里是一组命题；在本书里它是三个位置中的一个，且可以逐例指认是哪一个（第二版四十例逐例指认了固化维）。
其二，他没说硬核从哪来。 纲领的硬核在他那里是被选定的；本书说它来自上一次三活涌现中被签了字的那一维（第六编第 30 章）。
第二处是实质的：它使「硬核为什么是这个而不是那个」成为一个可回答的问题。
而它的检验状况必须同页写明：第 30 章三条链条中有一条不整齐（分析：三活换掉的是计，此后固化的却是形），两种读法互不兼容，本书不裁定，判负条款已写死（一致比例 < 0.70 则本章机制撤回）。
克罗 1975 年说数学中没有革命，理由是旧成果从不被推翻，只被包含。
第一版第 40.2 节给了机制解释：共有前提从未写在任何一条定理里，所以推翻它不作废任何定理。
第二版补的那一句在这里：
克罗说的是加那一层（三活层：加一栏，旧栏照旧）。他没有看见切那一层（一固层：切一栏，旧栏的定义跟着变）。
而切确实改变了旧概念的含义——1847 年之后「收敛」不再是原来那个意思。这不是革命（没有任何定理作废），但它也不是纯粹的累积（旧概念的所指变了）。
因此对克罗的准确回应是：数学没有库恩式的革命；数学有加，也有切；加不改变任何东西，切改变名词的所指而不改变任何定理。
不是发现：碰撞之前账本上确实没有它；那些「还原」（复数是实数的有序对、理想是环的子集）全部是签字时才造出来的，用签字之后的构造去判定签字之前的对象是不是新的，是时序倒置。
不是发明：三家一致拒绝（0.912），且四例中提出者本人拒绝（Cantor 九年、哥德尔五年、Kummer 只肯当算法、普朗克式的犹豫）。一个人不会拒绝自己的发明。
是逼生：三家的证据合起来只能得出它，而三家谁也不想要它。
一固层的出生方式与三活层不同，这一点第一版无法说，因为第一版没有这一层。
· E 固化产过程：架通。两家各有对方处理不了的问题，翻译一旦架成，两边的问题可以互相搬运。没有人不想要它——解析几何出来之后双方都在用。
· E 固化产单位：抽出。若干互不相似的实例的公共部分。同样没有人不想要。
· S 固化产单位：切割。从一个旧单位切出若干块，旧名变总称。
· D 固化产在场者：发身份证。归属之争的结果。
四种都不是逼生，因为没有任何一家在拒绝。它们的阻力不在拒绝，在认领（实例不够则抽不出，第 18.2 节）。
删条款、换记号、直接推广。三个位置没有任何两家给出不相容的回答。
它的出生方式没有哲学问题，这正是它在两千年的数学哲学里从未被讨论过的原因。而第 15.1 节指出它的分量：它是上两层的材料仓库，也是签字工具的产地。
| 层 | 出生方式 | 阻力在哪 | 三家的反应 |
| 三活 | 逼生 | 签字（形不在场则计无从查） | 一致拒绝（0.912） |
| 一固 | 架通／抽出／切割／发身份证 | 认领（实例不够） | 只有碰撞的两家在争（0.042） |
| 二固 | 整理 | 无 | 无（0.000） |
发现／发明这个二分，漏掉的不是一种出生方式，是三种。
章首声明：本章两项推论均未做检验。第二项所需的真跑在第一版即未执行，第二版仍未执行。
第一版第 42.1 节说：教科书从签字之后讲起，学生从未见过「不该存在」那一站。
第二版说得更准（第 15.2 节）：
· 中小学与大学低年级：二固层，加上一固层的成熟单位（连续、可微、可积、一致收敛）。
· 研究生阶段：一固层为主，抽公理那一族是主菜。
· 三活层几乎从不教——它在教科书里出现时，已经是签字后的定义。
学生卡住的位置因此可预测：他手里拿的是签字之后的定义，心里的账本还是签字之前的那一本。 负数、复数、极限、无穷——四个经典卡点，恰好是四次三活。
可检验形式（本书未做）：若在教学中先呈现断裂状态、再呈现签字后的定义，卡点应当减少。
本节是一条待检验的预言，不是有检验支持的推论。 第一版第 37 章的协议未执行，第二版仍未执行（本书写作环境没有到其他厂商基底的通道）。
按三层划分，预期可以说得比第一版细：
二固层——删条款、换记号、直接推广。模型最擅长的一层，因为它们全部是从一家推出的。
一固层——需要两件事：把两家的回答保持为不相容而不折中；指认固化维。第一件是障碍：模型倾向于把两家的说法综合成一个都能接受的版本，而综合恰恰取消了不相容。但一固层不需要第三件事（找到那件旧材料），因为一固层没有材料这一环节（第 4.6 节）——这使一固层比第一版预期的更可能被机器做到。
这是第二版对第一版的一处修正：第一版把「二阶」当作一个整体，说模型做不到；第二版说模型可能做得到一固层，做不到三活层。
三活层——需要三件事：保持三家不相容；看见三家共有的前提；找到那件在本家回答另一道题的旧材料。第三件模型可能做得比人好（它读过的旧材料多，而材料的杀伤力与它的不引人注目程度成正比）；前两件做不到——模型作为三家文献的总和，天然站在三家共有的那块地上。
具体预言（第一版原样）：
人工智能做出的第一个三活层数学对象，将不是它自己提出的，而是它在某个算法的输出里报告的一个「非法产物」，由人给它名分。
第二版新增的预言：
在此之前，模型将先做出可观数量的一固层产物——新的翻译、新的抽象单位、新的切割——而这些不会被认作「机器做出了新数学」，因为它们看上去像整理。
两条预言的检验协议见第一版第 37.3 节，须按三层重写题面。