专著母题 · 德麦国际专著第 498 号
《借来的常数》
微分切掉的那一份纠缠，积分找不回来，只能在落地时从现实借回；AI 替得了积分，替不了落点上的再微分。
一、它推翻的默认看法
直接对象是"没有 AI 不能解决的问题"这一流传版论断，以及它背后的哈萨比斯猜想。书先把话分层：哈萨比斯本人提出的是窄得多的猜想，即自然界能生成或找到的模式可被经典学习算法高效发现与建模，他自己给量子、混沌、P≠NP 设了限定；"没有 AI 不能解决的问题"不是他的话，批评它不等于批评他。书因此先核对原话，再替他把话说足，然后才批评。更深一层的默认是：可计算性是自然界的性质。书认为"可计算"是数学态的谓词，只在输入、输出与规则都被规定之后才有定义，"这个现实问题可计算"只能说成"它的某一个数学化版本可计算"。再往下是把课本里的"+C"当成可以随手添上的符号，忽略它是科学一般处境的缩影。
二、母题怎样立起来
起点是中学课本的"+C"：求导把常数抹掉，从导数倒推只能得到一族函数，挑出"这一个"必须另给条件。书把这个空位读作被微分切掉的纠缠在模型里留下的位置，在微分方程里即初始条件、边界条件和局部参数，理论给不出，须从现场借。由此得三段式的圈：现实里微分（截一刀，宣布"其他条件不变"，偏导数令其余增量为零，交叉项进不了测量），理念里积分（有损的压缩，保住总量压扁分布），落地时再微分（借回C，求出局部可执行的答案，技术发生在这里）。落点的回写又改写下一轮微分的条件，所以是圈而非直线。基本定理焊住的是差值而非位置。历史一编说微积分之前各界信息已很丰富，缺的是一条把变化率与总量互逆运算的通道；扩张一编说偏微分方程、数值、随机、非局域各自把"借"的地点挪到边界与初值、网格与步长、分布与核上。应用一编落到工程（失败多在C借错）、控制（反馈即实时再微分）与AI（梯度是一次次截取，权重是不成文的积分）。AI for Science的成绩集中在圈的中段，两端仍扎在现实里。最后是对哈萨比斯的三刀：可计算是筛子的性质，"从未发现"是回写的战绩，问题是谁命名的。
三、核心构念
- 三段式的圈：现实的微分、理念的积分、落地的再微分；科学的一般形状。
- 积分常数C：微分丢掉、积分找不回的那一份，须从现实借；"C在课本里是一个常数，在现实里是一整片土壤"。
- 理念物理界与物理界：科学定律直接描述的是物理界经测量、理想化、去噪筛过的那一层。
- 信息九宫：把可计算性定位为某一格的谓词，三态往返不分高低，只作查漏地图。
- 不成文的积分：训练把千亿次梯度累加进权重，是积分，却对人基本不可表达，可传、可判错、可迁移都打折。
- 三刀：对哈萨比斯猜想的三道批判，分别打在筛子、"从未发现"的两种读法、命名权上。
四、全书骨架
导论加七编三十五章，结语与三个附录，约23万字，底本是《科学与微积分》。第一编根基：科学的对象是稳定下来的差异，理念物理界，信息九宫。第二编历史：黎明前的天空、阿基米德刘徽祖暅、牛顿与莱布尼茨、李约瑟之问再审、无穷小与严格化。第三编机理：微分、积分、C、基本定理、再微分、三方程循环、123原理。第四编扩张：场、数值、随机、记忆与非局域、无限维。第五编文明：混沌、工程、控制论、AI的微积分、不成文的积分、AI for Science。第六编评估哈萨比斯。第七编划边界：数学的三态，本书怎样算错。
五、关键案例与证据
- 降压药：试验排除孕妇和肾功能弱者，指南覆盖"一类病人"，诊室里七十八岁肾弱、吃痛风药的老人，医生减半剂量，是再微分。
- 洛伦兹方程完全确定，卡住具体轨迹预报的是现场初值精度，初值精度提高十倍，预报期限只增加一个常数。
- 爱国者导弹拦截失败（1991年，24位定点寄存器累积约0.34秒误差）与斯莱普内尔A号平台沉没（有限元低估剪应力约47%），用来说工程失败多在C借错或截取切掉会回头算账的作用。
- 实时间路径积分无一般严格定义，却与实验吻合到十位以上有效数字。
- 复现危机：部分支持"失败集中在C借不准处"，书也列出子领域混淆与多实验室重复的反证。
- 引文与史实核验见附录I，57条。
六、碰撞接口
- 可抽出的命题：
1. 凡微分，皆截去一份纠缠；凡积分，皆还原不了截点，落地须从现实借回C。2. 可计算不是自然界的性质，而是数学化之后某一格的谓词。3. AI不是替代科学之圈，而是接走圈的中段，使两端更吃重。
- 可相撞的方向：与"AI for Science""AI能解决一切"类论断相撞，可撞点在命名权、判错标准、初值与边界的来源；与复现危机、工程事故统计相撞，检验"失败集中在C借错"这一待验假说；与别的学科中"整体模型落到个体"的难题（医学指南到个案、宏观模型到具体市场）相撞。
- 站内邻书：第363号《中国 AI for Science 的困境》（同域，可对撞落点问题）；第346号《人与 AI 一起发生新数学》（同域）；第140号《普通人都能懂的莱布尼兹》（同域，微积分语言）；第197号《普通人都能读懂的贝克莱》（同域，无穷小的幽灵）。
七、边界：什么情况下算错
书把主张分五类，各有错法：概念规定错在只是改了名，哲学解释错在永远讲得通，数学命题错在证明或条件，经验判断错在数据，实践建议错在照做无益或代价转嫁；失败条件须在观察之前写下，事后补的标为修订，登记于附录G。具体可错处有：科学失败并不集中在C借不准处，则相应命题要收窄；若足够多的系统断开反馈后仍长期保持闭环表现，又不靠更准的模型或初值，则控制论一章的读法要收窄；删去S、D、E而结论不变，则承认增量有限。书已限定"没有微积分就没有现代科学"只对动力学科学成立，三方程只作占位，伞场微积分的强说法已撤回。