三视角学习数数（之二）

三视角学习数数(2) 作者: 王德生 学习数字比如学习数字‘7’, 其实就是通常我们说的如何学习‘数数’。很多 家长一定认为: 孩子只要会从0，1，。。。。一直数到10 就是学会了10 以内 的数数了。从我们的三视角分析来看，这是一个错误的认识。因为很多孩子基 本上不明白数字的意义. 在他们的大脑里，0 到10 只是一连串的符号，彼此相 连. 比如, ‘2’这个符号在’3’之前，’8’在’7’之后而已. 这样造成对7+8=15 的认识也 是符号7,根着符号’+’, 再是符号’8’, 然后是’=’ 和符号’15’. 这样的学习, 实质是单 独的记忆, 小学一二年级还可以, 到了初中就很受苦了, 高中就基本上要放弃了. 没有理解的学习, 储藏在大脑中的信息是孤立的, 没有和现有的知识系统结构相 连, 记忆是痛苦的,需要不断地重复. 最基本的’数数’学习要求有下列几点最基本的认识： 1．当你问到孩子一个数字,比如7, 是什么意思的时候，孩子要能告诉你，它是 表示7 个苹果，7 本书，7 天，等等。当他看到7 个相同的东西的时候，他 要能告诉你，那儿有7 个什么。还有，他要明白当袋子里有3 个梨和4 个 桃的时候，他应该知道那不是7 个梨也不是7 个桃。当然你不能要求他说7 个水果，因为他可能还不明白水果和梨的关系。还有他要有应用’7’的能力： 孩子要能使用数字，比如你要孩子拿7 个椅子过来, 要他拿7 张纸和7 瓶水, 他都能很好完成. 2．孩子要能明白7 比6 多一，7 比8 少一, 就是数与数之间的关系要清楚。当 然他们不必明白7 和4 的多少比较关系，但是要知道7 比4 大。反过来也 是，6 比7 少一个。孩子要明白，每一个数字的前面是谁，后面是谁。最 好能明白7 的前面和后面的至少两个数是谁？就是要知道, 7 的前面有8 和 9, 后面有6 和5. 其实上面的最基本的要求就是三视角的知识图式的最基本部分。 !!!!大家一定要切记：仅仅告诉孩子7 表示7 个苹果，或说7 个相同的东西，孩 子是不能明白的。他只是记住你的话，应用的时候，就是重复你的话而已。 下面我们具体讲解如何学习’数数’： 1． 从变化视角到本质视角的数学活动设计 这个过程是漫长的，往往要几年的时间，一般来说，我们可以在两岁半左右开 始和孩子数数。学数字的知识预备是孩子会初步进行事物的分类，发现他们的 相同和不同性。这个可以从一生下来就进行。活动可以变化多端。 分类本身就是一个知识图式，这个知识图式的建造和完善是一生的。人的天性 里有发现相同和不同的能力。我们要从小和孩子去进行事物的分辨和分类。当 然是使用简单明了的教具。 其次，孩子需要建立‘序列化’的知识图式，就是将相同的事物一个一个地按 次序放在一个地方，就是整整齐齐排队。这个是每一个孩子都愿意做的。 分类和排队是孩子从小就可以做的事情，也是很美的事情。分类和排队合起来 就是一个三视角系统。排队是从普遍联系视角，就是分布的视角，分类就包含 两个视角：本质和变化。 第一步要设计‘一一对应的关系’的活动，反思和抽象总结。 首先是设计对很多物体进行分类和排列。就是分类和排列的操作活动。我们以 学习1，2，3 开始吧。因为研究表明，人类对1，2，3 是容易区分的，注意不 是对1，2，3 这三个符号。而是下面我们要进行的数学游戏活动里的‘一些’ 的‘一一对应关系’的区分。 a. 在分类和排列的活动中进行‘一一对应关系’的活动。 老师可以根据孩子们的喜好，选好他们自己爱好的东西，进行个别独立或分 组一起的分类和排列活动。比如：给孩子们1 个梨，2 个苹果，3 本书，2 个铅笔，3 个杯子，1 个桃子，混合在一起。然后要孩子将这些物体进行分 类，就是相同的类型的排列在一起，每一组可以使用从左到右的排列方式。 这样孩子就把相同的东西排列在一起，就有六组的东西。 此时，老师可以和孩子做一个‘一一对应’的游戏。游戏老师和孩子随机各 取一组，可以彼此蒙着眼睛选。比如孩子选了1 个桃子组，老师选了2 个苹 果组，下面该玩一个什么样的游戏呢？注意一定要在孩子的已有的知识结 构里进行，否则他不会明白的。明白外界事物，就是用自己的知识结构去 解释外在的事物。孩子没有多少的概念，但是有‘有’和‘无’的概念，有 ‘序列’的概念。我们的目的是要建立一个‘一一对应’的概念。就是在具 体的游戏中要让孩子体验出‘一一对应’的意思出来，从而明白桃子组和苹 果组不能一一对应。很多家长一般会马上告诉孩子，苹果多些，桃子少些。 你会发现孩子根本不懂你的‘多和少’。我们该设计什么样的游戏才能达到 上面的目的呢？ 孩子虽然不是非常明白数字1 的概念，但是因为经常听我们说‘拿一个什么 来吧，吃一个什么吧，等等‘，从一生下来就听到这样的’一‘很多。慢 慢地，在他们的知识库里已经有一个模糊的’一‘的概念。 所以我们可以 利用这个知识基础。记得我儿子小的时候，我就看到一个树，就和他说，一 棵树，一片叶子，一个石头，等等。很多家长等不及，往往一起来，一棵 树，两棵树，三棵树，。。。。。心太急了！ 游戏可以这样设计：孩子（Jimmy）选了桃子组，妈妈选了苹果组，爸爸没 有。 妈妈说：Jimmy, 你看爸爸没有水果，我们每人给爸爸一个好吗？ 孩子说：好啊！帮助爸爸。 妈妈给爸爸一个苹果，孩子给爸爸一个桃子。 妈妈说：Jimmy, 你还有吗？ Jimmy: 妈妈我没有了。 妈妈说： 我还有一个啊。你和我一样多吗？谁多些呢？ 这样的活动要进行很多次，第二次可能是孩子3 本书，妈妈2 个铅笔。这样， 一个一个地给爸爸，玩后，孩子手里还有，妈妈手里没有了，妈妈要引导孩 子思考，谁多些呢？这样，孩子通过‘一一对应’活动，开始发现，当玩 书和杯子的一一对应的游戏时，两个人同时都没有了，慢慢地，他会发现有 些组和有些组是可以一一对应的，就是游戏完后，自己和妈妈同时都没有了。 此时，父母要引导孩子，告诉孩子，如果我们能建立‘一一对应‘，那么 就是一样的多。当然我们不能期望孩子很快就会明白的。 第二个游戏就可以要孩子进行组于组之间的配对，比如告诉他，将一个苹果 和一个本书放在一起，最后会发现书会多一本。慢慢地，孩子明白何谓 ‘一一对应‘。 第三个游戏就是，将数量增加到10 以内。要孩子去体会‘一一对应‘。但 是不要告诉孩子这是1，这是2，这是5。明白一一对应就是你一个，我一 个，一个一个来，看看最后谁还有，谁没有呢？ 最后，可以将活动扩展到图形的配对。慢慢地孩子会明白，通过‘一一对应 ‘，可以判断谁比谁多些。因为’多少‘的本质意义就是’一一配对‘之后， 谁还剩，就是谁多些；谁没有了，就是谁少些。同时没有了，就是一样的多。 这样，孩子可以通过一一配对来分辨多，少，相同的关系了。 下一步就是，给孩子一些各种物体的组合体，要孩子去分类和排列好，并且 通过‘一一对应’去判断哪些多些，哪些少些，并且可以将少的放在前面， 多的放在后面。相同的并列在一起。然后引导孩子去思考，就是如何将这 个不同的‘一一对应‘，就是不同的’相等‘定义为一个数。此时，孩子 已经知道了，如何判断那些多，那些少。但是，就是不知道如何描述这些不 同的’相等关系‘。就是对每个’相同‘可以来一个标记，来区别不同的’ 相同‘，或区别不同的‘一一对应’关系。 此时，妈妈可以要孩子做一件事，就是妈妈数好9 个苹果，然后要孩子去 拿和苹果一样多的桃来。那么，孩子就会拿着苹果，用桃来一一对应完成任 务。然后慢慢地，妈妈可一制作一些苹果的制片代表苹果，把不同数目的 苹果纸片订在一起成为一个苹果书一样。先让孩子比较苹果书的页数的多少 和相同，然后要孩子按苹果书的页数去那一样多的桃，用一一对应的方法。 这样，我们已经从实物对应实物过渡到了实物和图片。接下来就是制作1， 2，3，4，5 ，5 个不同的苹果书，就是每个苹果书有不同的页数。要孩子判 断5 个不同的苹果书的页数的多少，就是从小到多排好，让孩子明白，一个 比一个多，而且都是多一个。此时，妈妈可以问，如果最少的我们用一个符 号，就是‘1’，来表示他的数目，那么你觉得比他多一个的应该用什么符 号呢？这样可以叫孩子自己设计 符号表示‘2’，‘3‘，’4‘，和’5‘。 比如他的可能是一个图画都可以。你必须叫孩子给取个名字。比如如果孩子 把有4 页的苹果书叫做‘狗狗’。 那么，你接下来，可以叫孩子，拿‘狗 狗’个桃。就是和‘狗狗’那本书的页数一样多的苹果。那么孩子就会拿着 这个‘狗狗‘书去’一一对应‘数出桃来。 你可以进行更多的 数桃的活动。 此时，我们的‘狗狗‘已经靠近我们的’4‘了，但是还有一段距离。此时 是因为，我们的’狗狗‘还是孤立的，没有和其他的苹果书建立关系。所 以，下面的数学活动都要围绕’苹果书‘之间的关系。比如，孩子如果把1， 2，3，4，5 页的苹果书，叫做，’哈哈‘，’依依‘，’亮亮‘，’狗狗 ‘，’娃娃‘。那么，妈妈要引导孩子问： 1．如果，妈妈要‘哈哈‘个逃，怎么数？还要拿那本书吗？孩子说，就是 一个吧。 2．‘依依‘比’哈哈‘多吗？多一个吗？孩子说：是的。多一个。那么， 如果妈妈要‘依依‘个桃，那么要用’依依‘这本书吗？可不可以，先 数一个， 就是‘哈哈‘个，那么’依依‘个呢，是不是就是再拿一个呢？ 3．这样，一直到‘亮亮‘，’狗狗‘，’娃娃’个桃都可以从‘哈哈’开 始。 4．慢慢地，妈妈可以把这五个名称改为‘1，2，3，4，5’，中文就是 ‘一，二，三，四，五’，英文就是‘one, two, three, four, five’. 5．然后，妈妈必须和孩子一些慢慢地熟悉这些新的名称。并且要和孩子明 白，2 本书，就是在1 本书上再加一本，3，就是2 多一本，一直到9。 此时，孩子已经完成了整个9 个数字的自我概念建构。而且，也明白数 字之间的关系。最后，妈妈可以告诉孩子，0 就是没有的意思，因为是 空的。 6．此时，孩子应该已经明白9 个数字都是表示不同的数目的相同性质的物 体的集合，而且孩子也明白他们都是从1 开始，一个比一个多一个地递 加上来的。这个其实就是孩子的排列活动的一个数学递加表叙。孩子已 经明白数字之间的彼此关系。 就是9 比8 多一个，8 比9 少一个，6 和7，3 和4 等等都是这样的关系。 2．从本质的视角到变化的视角: 运用数字! 比如：具体数数有多少个苹果，多少本书，就是通常的教科书上的一些题目。 变化的视角就是训练孩子应用自己建立的数学概念，比如9，其实是一个一一 对应关系。那么现在的应用就是一个与心里的一个递加的过程的对应，因为孩 子要从1 开始数，一直到9。此时，孩子对9 的认识还是一个‘数算或对应 ‘的过程。我们需要第三个视角，就是要明白这九个数字之间的关系。 3． 分布和处境的视角。 在变化的视角里，孩子们自己建立了数的概念，其中也有数与数的一些简单关 系。比如9 比8 多1 个等等。此时我们要进行数与数之间的一些关系活动，使 得孩子尽快将这个‘过程‘对象化，就是独立整体化。比如：如果现在我有8 个苹果，那么再加一个，就是9 个；2 比1 多一个，3 比2 多一个，那么3 比1 多几个？这样，将数字和数字之间的关系从相差一个扩充到相差两个，甚至三 个，等等。就是孩子要明白往上面数一个，两个，三个。但不要更多。同时也 要可以往下面数一个，两个，三个。 不仅要能从 1 数到 9，也要能从 9 数到 1。 完成了以上的三个视角的知识图式的建立后，孩子们可以开始学习加法和减法 了。当然，我们建议和孩子将数字扩充到20 以内。因为，孩子可以自己思考如何，用 数字表示‘比九多一个‘呢？ 就是使用1 和0 两个数，叫做’10‘来表示比’9‘多 一个。然后就是11，12，13，。。。19，20，21，。。。。。100。很自然的一个过 程。明天我们学习如何进行加法和减法的三视角分析和学习。