（1734—1821）
| 格 | 内容 |
| 形 | 切线与面积的几何传统：导数被显示为切线的斜率，积分被显示为曲线下的面积。回答方式是「画出来，那条线就在那里」 |
| 算 | 无穷过程的运算程序：级数逐项相加、逐项求导、逐项积分；无穷小量参与运算后被舍去。回答方式是「照这套规则算，结果对」 |
| 计 | 「和」的账本：一个和是把若干个量加起来得到的那个量；无穷个量的和，是这个过程所到达的那个量 |
| 共有前提 | 一个无穷过程有值，当且仅当它到达一个量 |
| 材料·产出位置 | 算：发散级数的求和算法（配对、挪位、代入），原题是「怎样对级数求和、怎样用级数计算函数值」 |
| 材料·撞上位置 | 算（同位）：同一个级数，三条合法算法各跑出一个值（0、1、1/2）——是算自己制造了这次相撞 |
| Z | 不被到达的值——一个不是过程终点、而是由「任意接近」的量词结构定义的东西 |
| 拒绝 | 否定型：Berkeley 1734《分析学家》——已逝之量的鬼魂；Nieuwentijt、Rolle 的早期批评；Lagrange 1797 试图取消极限（用形式幂级数的代数方法重建分析），这是一次完整的替代方案，也是一次拒绝 |
| 签字 | Cauchy 1821《分析教程》给出极限的语言，Weierstrass 学派 1860 年代完成 ε–δ 的形式；实数系的构造（Dedekind、Cantor 1872）给出最终的一致性依托。签字晚于出生近一个世纪 |
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …
算法一（配对）： (1−1) + (1−1) + … = 0。
算法二（挪一位）： 1 − (1−1) − (1−1) − … = 1。
算法三（代入）： 1/(1+x) = 1 − x + x² − x³ + …，令 x = 1，得 1/2。
三个算法都是当时公认的合法操作。三个答案都不同。
这个例子（Grandi 级数）在十八世纪被反复讨论。Leibniz 给出了一个支持 1/2 的论证：部分和在 0 和 1 之间交替，「平均」是 1/2，而这在概率上是合理的。Euler 系统地发展了发散级数的求和方法，并明确主张：级数的「和」应当定义为产生这个级数的那个表达式的值——这正是算法三的一般化。
Euler 用这套方法算出了许多正确的、后来被证实的结果（如 ζ(−1) = −1/12 这类，在现代解析延拓的意义下是对的）。他不是在胡来，他是在用一套自洽的、极有成效的方法。
本案例是逾越律（第 26 章）最纯粹的标本，值得把机制写清楚。
算法自己跑到底了，跑出了一个「计」无法接受的东西。
计的账本上，一个和是把量加起来得到的那个量。这个定义有一个内建的要求：和是唯一的（加法是确定的运算，同一批数加起来只能得一个结果）。
而算跑出来的是：同一个级数，三个和。
计的选择只有两个：要么宣布这些算法非法（但它们各自都是合法运算的组合），要么宣布这个级数没有和（Euler 会问：那为什么用它算出的结果是对的？）。
十八世纪的实际处置是补丁：区分「收敛」与「发散」，只对收敛级数谈和，发散级数的「和」是形式的、方便的。 而这个补丁保护的正是共有前提——和必须是被到达的那个量。
打补丁的是算（它划出了自己产物中的一部分为「形式的」）。材料在算。核对无误。
前提不是「和必须唯一」——那是可以争的，而且它在被推翻之后仍然成立（收敛级数的和是唯一的）。
前提是：一个无穷过程有值，当且仅当它到达一个量。
「到达」这个词是关键。在十八世纪的账本上，一个无穷级数的和是这样理解的：部分和一个接一个，越来越接近某个量，最后到达它。这个「最后到达」是一个过程性的图景，它把和理解为过程的终点。
三家：
· 计：和是加起来得到的那个量——「得到」就是到达。
· 形：曲线下的面积是那些矩形累加得到的；切线是割线转到的那个位置。
· 算：级数求和是一个逐步逼近的程序，程序的意义在于它逼近的那个终点。
而 Berkeley 攻击的正是这个「到达」（第 13.1 节）：在求导时，增量先要非零（才能作除法），后要为零（才能得结果）——如果它「到达」了零，前一步就非法；如果没到达，后一步就不精确。
Berkeley 的攻击在共有前提之内是无法回答的。 这是本案例的关键：批评者与被批评者站在同一块地上，所以争论一百年没有结果。
Cauchy 1821 年的《分析教程》给出的定义（现代改写）是：级数收敛于 S，若对任意 ε > 0，存在 N，使 n > N 时 |Sₙ − S| < ε。
这个定义做的事是：取消「到达」。
在这个定义里，没有任何一步说部分和到达了 S。定义只说：任意给定一个精度，从某项起都在这个精度内。S 是一个不被到达的值。
Berkeley 的攻击对这个定义失效，因为定义里没有「先非零后为零」这个动作——增量始终非零，而结论是关于一个量词结构的陈述。
Z 是：不被到达的值。这是一个新存在物，因为在旧账本上，「值」是过程产出的结果，而这个东西不由任何过程产出——它由一个量词结构刻画。
第 12.6 节的接力棒在这里接上。
ε–δ 定义的结构是：∀ε > 0, ∃N, ∀n > N: |Sₙ − S| < ε。
这个结构中，|·| 是一个外包的部件。定义没有说 |·| 是什么，它只要求有一个这样的东西。
Ostrowski 1916 的定理（第 12.6 节）数清了 ℚ 上的绝对值：通常的、p 进的（每个素数一个）、平凡的。于是「极限」在 ℚ 上一共只有可数无穷多种立法，其中一种平凡。
这个读数对本章的意义是：柯西那一步立的法，比它看上去的少。 它没有回答「什么叫接近」这个问题——它把这个问题外包了，然后规定了量词的交替顺序。而量词的交替顺序才是它真正的内容。
这一点有一个可核查的证据：p 进分析的极限、连续、导数定义与实分析逐字相同，只换绝对值。若 ε–δ 定义了「接近」，这种逐字相同不可能。
1797 年，Lagrange 出版《解析函数论》，副标题明确说明目的：摆脱无穷小、消失量、极限与流数的一切考虑。
他的方案是：把每个函数展开成幂级数 f(x+h) = f(x) + p·h + q·h² + …，然后定义 f′(x) := p。整个微积分建立在代数的形式操作上，不用极限。
这是一次完整的替代方案，也是一次拒绝——他认为极限概念不够清楚，应当被消除。
方案失败了，失败的原因在当时不明显：不是所有函数都能展成幂级数。 Cauchy 后来给出的反例 e^{−1/x²}（在 0 处所有导数为零，但函数非零）直接击垮了这个纲领。
这次失败在本书框架里有一个作用：它证明了「算」这一位置无法独自解决这道题。 Lagrange 的方案是纯粹算的方案（形式幂级数的代数操作），而它需要一个事实（一切函数可展）——这个事实是假的。第 5.8 节说过，「逐家试推」这一步只有在文献中确有人在那一家的位置上尝试过并失败时才算得到支持。本案例有这个支持，而且极清楚。
Cauchy 1821 年的定义有一个漏洞：它假设了 S 存在。若不知道 S 是什么，「|Sₙ − S| < ε」就无从谈起。
补救是柯西准则（对任意 ε，存在 N，使 m,n > N 时 |Sₙ − Sₘ| < ε），它不提 S。但要从柯西准则推出 S 存在，需要实数系的完备性——而在 1821 年，实数系没有定义。
这个漏洞在 1872 年被补上：Dedekind 用分割、Cantor 用基本列，各自构造了实数系。Cantor 的构造尤其值得注意：他把实数定义为有理数基本列的等价类——即，实数就是那些不被到达的值。
签字完成。而它的形式是标准的相对一致性：实数的一致性归约到有理数（从而到自然数、到集合论）。
时序值得记：出生（Cauchy 1821）到签字（1872）五十一年，而从断裂（Berkeley 1734）到签字一百三十八年。
其一，与拉卡托斯的重叠是全书最大的一处。 《证明与反驳》的主要案例之一正是柯西关于「连续函数的收敛级数连续」这条错误定理，以及 Seidel 1847 与 Stokes 用「一致收敛」来修补它。拉卡托斯的论点：概念（一致收敛）是被证明产生的，不是先有概念后有证明。
本书与他的区分（第 38 章会正面处理）：他处理的是柯西之后的修补（一致收敛是对已有极限概念的细分，是伸展），本书处理的是柯西那一步本身（取消「到达」，是开栏）。
这个区分是实质的，但在本章内部，本书没有给出可判错的设计。若读者认为「取消到达」也只是概念伸展的一种，本书无法用本章的材料反驳。
其二，Grabiner–Lakatos 之争本书未取立场。 Grabiner（1981）主张柯西的严格化是由代数分析传统内部的需要驱动的；Lakatos（遗稿）主张柯西的原始概念更接近非标准分析，「错误定理」在他的框架里其实是对的。
这场争论直接关系到本章的读法（若 Lakatos 是对的，柯西并未取消「到达」，他用的是无穷小），而本书未取立场，只在此记录。取任一立场都会改变本章共有前提那一格的填法，这是本章最不干净的地方。
其三，材料的时间跨度过长。 Grandi 1703、Leibniz、Euler 1740 年代——发散级数的矛盾值不是一件材料，是一个持续了一个世纪的现象。这与第 8 章（零与负数）同型，属于本书所说的积累型案例（第 8.5 节）。积累型案例的材料来源规则执行得比判决型案例松，这一点在第 34 章的编码设计里会被单独处理。
（1747—1837）
| 格 | 内容 |
| 形 | 曲线传统：一个函数被显示为一条曲线，而曲线是「一笔画出来」的、由一个统一的规律生成的线。达朗贝尔在弦振动之争中的立场：初始形状必须由一个解析式给出，否则波动方程无意义 |
| 算 | 三角级数的展开程序：给定一个任意的初始形状，按 Fourier 的公式算出系数 aₙ = (2/L)∫f(x)sin(nπx/L)dx，级数就收敛到它。回答方式是「照这个积分算，系数就有了」 |
| 计 | 解析式的账本：一个函数就是一个由变量、常量与运算符号组成的表达式（Euler 1748 的定义）。两个函数相等当且仅当它们的表达式可以互相化归 |
| 共有前提 | 函数是一个表达式（对应关系由一个统一的解析式给出） |
| 材料·产出位置 | 算：Fourier 的三角级数与系数积分，原题是热在固体中如何传导（原题在数学之外，见 25.6、36.3） |
| 材料·撞上位置 | 算（同位）：系数积分对任何可积的 f 都能算，于是级数自己跑出了一条分段异式的曲线 |
| Z | 任意对应——一个不由任何统一表达式给出、只由「对每个 x 指定一个 y」这件事本身定义的存在物 |
| 拒绝 | 否定型：Lagrange 在法国科学院的评审中反对 Fourier 的论文（1807 年的论文因此未获发表，1811 年获奖但仍被批评缺乏严格性）；Poisson 长期争论；「任意函数」在十八世纪被认为是矛盾修辞 |
| 签字 | Dirichlet 1829（给出三角级数收敛的充分条件）与 1837（给出「任意对应」的函数定义，并给出狄利克雷函数作为例证）。更彻底的签字在集合论之后：函数＝一个满足单值条件的有序对集合 |
十八世纪中叶的弦振动之争，是本案例断裂的现场。
问题是：一根两端固定的弦，给定初始形状，此后如何运动？波动方程 ∂²y/∂t² = c²∂²y/∂x² 由达朗贝尔 1747 年给出，通解是 y = φ(x+ct) + ψ(x−ct)。
争论在于：初始形状可以是什么？
· 达朗贝尔：必须由一个解析式给出，而且要足够光滑（否则二阶导数无意义）。一根被手指拨起的弦（初始形状是折线）不满足这个条件，因此波动方程对它不适用。
· Euler：物理上，弦当然可以被拨成折线，而且它当然会振动。所以初始形状可以是「任意画出来的曲线」（他称之为 functiones discontinuae，指的是不由单一解析式给出的曲线，与今天的「不连续」不同义）。
· Daniel Bernoulli：一切初始形状都可以写成正弦级数的叠加（基于物理的叠加原理）。
三家的位置在这里清楚可见：达朗贝尔站在计（解析式的账本），Euler 站在形（曲线可以画出来），Bernoulli 站在算（级数展开的程序）。
Euler 与 Bernoulli 的立场看起来是同一边的，其实不是。 Euler 认为任意画出的曲线不能写成一个解析式（包括不能写成正弦级数），所以他反对 Bernoulli：若一切曲线都能写成正弦级数，那么一切曲线都由一个解析式给出，这与他的立场矛盾。
这场争论在共有前提之内无解，因为三家都同意「函数是表达式」，只是对「哪些表达式算数」有分歧。
Fourier 的题不是函数论的题，是物理的题：热在固体中怎样传导。
他的方法是：把初始温度分布展成三角级数，然后逐项求解（每个正弦模式的衰减是指数的），再叠加。为此他给出了系数公式 aₙ = (2/L)∫f(x)sin(nπx/L)dx。
关键在于：这个积分对任何可积的 f 都能算。 不需要 f 有解析式，只需要它有积分。而算出来的级数，收敛到 f。
Fourier 明确地展示了这一点：他给出方波的展开，一个单一的三角级数，在不同区间上等于不同的常数。
这就是三家撞上的地方：一个级数（一个表达式）表示了一条分段异式的曲线。
对 Euler 的立场，这是致命的：他认为「机械画出的曲线」不能由一个解析式给出，而 Fourier 给出了。
对达朗贝尔的立场，这也是致命的：他认为不光滑的初始形状没有意义，而 Fourier 的方法对它给出了答案。
材料的四条要件：出自算（级数展开程序）自己；早于 Dirichlet 二十余年；原本回答热传导；三家无法退回（系数公式是一个积分，谁也不能说它算不出来）。
前提是「函数是一个表达式」。Fourier 的结果并没有直接说它错——恰恰相反，它说的是更多的东西有表达式（连方波都有）。
那么它怎么推翻了前提？
因为它取消了「有表达式」这条判据的区分力。若几乎一切曲线都有三角级数表达式，那么「是不是函数」就不再由「有没有表达式」来判定——这条判据不再筛掉任何东西。
这是本书十九例中，共有前提被推翻的方式最特别的一次：不是被证明为假，而是被证明为无内容。
一旦这条判据失去区分力，就必须找一条新的判据来说「什么是函数」。Dirichlet 1837 给出的答案是：不需要判据。 函数就是对每个 x 指定一个 y 这件事本身，不管这个指定是怎么做出来的。
他同时给出了那个著名的例证：在有理点取 1、无理点取 0 的函数。这个函数没有任何解析式，而且它不是任何三角级数的和——它是为了说明「任意对应」这个定义的范围而造的。
本案例的 Z 有一个特殊性质：它是通过取消一个要求而得到的。
复数是加了一个东西（一类新的数），超穷数是加了一个东西（完成的无穷），而任意对应是减掉了一个要求（不再要求有表达式）。
这是否仍然是「开一栏」？
本书判为是，理由是：减掉要求之后，账本上出现了一类此前不存在的东西——狄利克雷函数这样的对象，在 1837 年之前不是任何东西。它不是一条曲线（画不出来），不是一个表达式（没有），在旧账本上它根本没有位置。减掉要求使得一批新对象获得了名分，这与加一个东西的效果相同。
这个判定值得记，因为它说明「开栏」的动作可以有两种方向：加入一类新对象，或取消一条准入条件。 第 5.2 节说过删公理是一阶的，那里的删公理是在一个已定义的结构里去掉一条公理（群→半群），而本案例取消的是对象本身的资格规定。两者的区别在于：删公理不改变哪些东西存在，只改变哪些东西被归为一类；取消资格规定使原来不存在的东西存在。
这个区别在实际操作中需要小心，第 30 章会用它来处理几个边缘案例。
Lagrange 的反对是本案例最有据的拒绝。1807 年 Fourier 提交给法国科学院的论文，因为 Lagrange 等人的批评而未获发表。1811 年的修改版获得大奖，但评语中仍然指出其严格性不足。
Lagrange 的立场是一贯的（第 19.6 节）：他认为分析必须建立在幂级数的代数操作上。三角级数表示不连续的曲线，在他的框架里是不可接受的——他自己在 1759 年的一篇论文里几乎得到了 Fourier 的系数公式，但他没有接受它能表示任意曲线。
Lagrange 差一步而没有走出去，这与 Saccheri（第 14 章）、Lagrange 自己在预解式上（第 21 章）构成同一形状。 本书在第 26 章会指出：同一个人可以在两个不同案例中都是「差一步」的那个人，而这不是巧合——那些站在算的位置上把程序推到极限的人，最常撞上共有前提，也最常拒绝自己撞出来的东西。
其一，分析的对象改变了。 此后分析研究的不再是「有解析式的东西」，而是各种函数类（连续、可微、可积、可测），每一类由性质定义而非由表达式定义。
其二，病态例子成为一个方法。 狄利克雷函数是第一个「为了说明定义的范围而造的反例」。此后 Weierstrass 的处处不可导函数（1872）、Peano 曲线（1890）都是同一种做法。造反例这件事，本身是这一栏开了之后才有意义的——若函数必须有表达式，造一个没有表达式的例子是没有意义的。
其三，它为集合论准备了土壤。 「任意对应」这个概念，逻辑上要求把一个对应看作一个完成了的整体（所有 (x, f(x)) 的全体）。这与潜无穷的立场紧张。Cantor 的工作（第 11 章）正是从三角级数唯一性问题出发的——而那个问题是 Fourier 级数留下的。
第三条给出一条谱系：Fourier（1822）→ 函数概念的扩张（1837）→ 三角级数唯一性集（1870）→ 超穷数（1874—1883）。 两次开栏之间有直接的传承。第 29 章会记录这类传承。
其一，三家的时序不齐。 弦振动之争在 1747—1780 年代，Fourier 在 1807—1822，Dirichlet 在 1829—1837。断裂、材料、推翻分布在九十年里，中间三家的人员完全换过。这与第 8 章、第 19 章同型（积累型案例）。
其二，Euler 的立场难以归位。 本书把 Euler 填在形（曲线可以画出来），但 Euler 同时是十八世纪最大的解析式操作者，他的《无穷分析引论》正是「函数即表达式」这条定义的经典表述。同一个人在同一道题上占两个位置。
本书的处理是按他在这场具体争论中的立场归位（他在弦振动之争中主张任意画出的曲线是合法的初始形状，这是形的立场）。但这暴露了第 1.3 节那条说明的执行困难：位置说的是回答方式而不是人的身份，而同一个人在同一道题上可以有两种回答方式。
其三，共有前提的推翻方式是「失去区分力」而非「被证伪」（20.3）。这是十九例中唯一的一次，其他案例都是前提被直接证伪。这使本案例在第 26 章的机制归类中是一个单独的类型，而单一样本无法支持任何一般化。
其四，与最近占位者的区分。 最近的占位者是 Lützen（1982）关于函数概念史的研究、Bottazzini（1986）《高等微积分》、以及 Youschkevitch（1976）的经典论文《函数概念的发展》。三者都详细地记述了本章全部史实。
区分同第 11.8、15.8 节：组织方式不同。本章无独立的可判错设计。
（1770—1832）
| 格 | 内容 |
| 形 | 置换的排列传统：Cauchy 1815 起系统研究置换（他称之为 substitutions），把它们写成记号并研究其复合。回答方式是「把这些排列写出来，它们就是这些」 |
| 算 | 根式求解的程序：把方程降次、构造辅助方程（预解式）、逐层开方。回答方式是「照这套程序走，能不能走到根」 |
| 计 | 数论中的分圆方程账本：Gauss《算术研究》第七节，用周期与循环结构解 x^p − 1 = 0，并由此判定正多边形可否尺规作图。回答方式是「这些根之间有多少种对称关系，数得清」 |
| 共有前提 | 可解性是方程的属性（由它的系数与次数决定） |
| 材料·产出位置 | 算（方程论）：Lagrange 1770—71 的预解式分析，原题是「已有解法为什么有效、五次预解式为何升到六次」 |
| 材料·撞上位置 | 算（同位）：预解式的次数由保持该函数不变的置换个数决定——是求解程序自己跑出了这个与方程次数无关的数 |
| Z | 对称本身是对象——一组置换构成的封闭系统，它有自己的结构（子群、正规子群、商），而方程的可解性是它的性质，方程只是它的一个影子 |
| 拒绝 | 否定型／不接待型：Cauchy 弄丢了 Galois 1829 年提交的手稿；Fourier 收到 1830 年的手稿后去世，手稿散失；Poisson 与 Lacroix 1831 年的评审意见是无法理解（"nous n'avons pas été en état d'en donner une idée"）。Galois 1832 年死后，手稿由 Liouville 于 1846 年才发表 |
| 签字 | Jordan 1870《置换与代数方程论》：第一部系统的群论著作，把 Galois 的内容重建为一门理论。更彻底的签字是抽象群的公理定义（Cayley 1854 已给出但被忽略，Weber 1893、Burnside 1897 使之通行），把群从「置换的集合」抽象为满足公理的结构 |
1770—1771 年，Lagrange 写了一部长篇论文，考察已知的三次与四次方程解法（Cardano、Ferrari、Tschirnhaus、Euler、Bézout 的各种方法），要回答的是：这些方法为什么有效，它们背后是不是同一件事。
他的分析工具是预解式。对一个 n 次方程，取根的某个函数（如三次方程的 x₁ + ωx₂ + ω²x₃），考察它在根的全部 n! 个置换下取多少个不同的值。这些值满足一个方程——预解式——而预解式的次数就是那个不同值的个数。
他的发现：
· 三次方程，那个函数在 6 个置换下只取 2 个值 ⇒ 预解式是二次的 ⇒ 降次成功。
· 四次方程，某个函数取 3 个值 ⇒ 预解式是三次的 ⇒ 降次成功。
· 五次方程，同类的构造给出 6 个值 ⇒ 预解式是六次的 ⇒ 升次。
而他明确指出了那个数由什么决定：由保持该函数不变的置换的个数。（今天的语言：值的个数 = n! / |稳定子|，即轨道—稳定子定理。）
这是本案例的材料。它在本家回答的是「已有解法为什么有效」，回答得极成功——Lagrange 的论文是十八世纪代数最深刻的工作，它统一了所有已知解法。
Lagrange 看见了置换的个数决定一切，但他仍然把可解性当作方程的属性。
他的结论是：五次方程用这种方法解不了（预解式次数更高）。他没有说五次方程不可解——他说的是这条路走不通，可能需要别的方法。（Ruffini 1799 与 Abel 1824 才证明根式解不存在。）
更重要的是，他没有把「保持某函数不变的那些置换」当作一个东西。在他的论文里，那是一个计数——有多少个置换保持它。计数不是对象。
第 5.5 节的区分在这里得到最好的例证：想到不等于承认。 Lagrange 写下了那个观察，写得清清楚楚，而那一步没有迈出去，不是因为想象力，是因为在他的账本上，一组置换不是一个可以有性质的东西。
这条前提属于第 2.6 节的（丙）归属类：某个性质属于哪个东西。
在 1832 年之前，「可解性」当然是方程的属性——就像次数、系数、判别式一样。你问一个方程可不可解，就像问它是几次的。
三家：
· 算：解方程的程序作用在方程上，可解性是这个程序能否成功的问题。
· 计：分圆方程的可解性由 p−1 的因子分解决定（Gauss），这是方程系数的算术性质。
· 形：置换是被排列出来的对象（Cauchy 研究它们的记号与复合），但置换是根的置换，根是方程的根——置换依附于方程。
第三家的位置值得注意。Cauchy 1815 年起已经在系统地研究置换本身，他证明了关于置换的一些定理（如后来称为柯西定理的一个特例）。形已经把置换当作对象在研究了。 但它研究的是「一个置换」，不是「一组置换构成的系统」。
Galois 做的事，可以精确地描述为一次归属的改判：
把「保持某函数不变的置换的集合」从一个计数，变成一个对象；再把可解性从方程的属性，改判为这个对象的属性。
具体地：给定方程，考察它的 Galois 群（保持根之间全部代数关系的置换构成的群）。方程可用根式解，当且仅当这个群是可解群（有一个正规子群链，商都是交换的）。
于是：
· 方程的可解性 = 群的可解性。
· 五次一般方程不可解，因为 S₅ 不是可解群（A₅ 是单群）。
方程消失了。 它只是那个群的一个来源，而全部内容在群里。
Z 是：对称本身是对象。这是一个新存在物——一组置换的封闭系统，有自己的结构（子群、正规性、商群），这些结构的性质决定原来那个问题的答案。
本案例的拒绝记录是十九例中最戏剧性的，也最容易被浪漫化。须小心处理。
事实是：
· 1829 年，Galois 通过 Cauchy 提交论文。Cauchy 建议他修改重投（近年的研究表明 Cauchy 并非简单地弄丢，他实际上鼓励过 Galois），但手稿此后未见。
· 1830 年，向科学院大奖提交的手稿由 Fourier 收管，Fourier 不久去世，手稿散失。
· 1831 年，Poisson 与 Lacroix 的评审意见：我们无法对它形成一个概念。 他们要求作者把论证写得更清楚。
· 1832 年 5 月 31 日，Galois 死于决斗，年二十。
· 1846 年，Liouville 在《纯粹与应用数学杂志》上发表遗稿。
· 1870 年，Jordan 的书使它成为一门理论。
浪漫化的读法是：天才被平庸的评审埋没。本书的读法不同：Poisson 的评语是准确的。
Galois 的手稿在技术上确实晦涩（他自己在决斗前夜的信里写了「我没有时间」）。但更重要的是：他要求读者接受一个当时不存在的东西——一组置换构成的系统是一个对象，它有子对象，子对象之间有一种叫「正规」的关系。在 1831 年的账本上，这些词没有指称。 Poisson 说他无法形成一个概念，字面上是对的。
这与第 15.4 节（Riemann 的演讲无人听懂）是同一形状：新对象在被显示之前，无法被理解。 而这两个案例都用了三十六到四十年才被显示出来（Beltrami 1868；Jordan 1870，两者相隔两年，都在同一段时期——这不是巧合，第 29 章会讨论 1870 年前后的显示工具成熟）。
第一层（Jordan 1870）：把 Galois 的内容重建为一门系统的理论，给出定义、定理、证明的完整链条。这一层是形的工作——它把那个对象显示出来了，使人能指着它说「就是这个」。
第二层（Cayley 1854；Weber 1893）：抽象群的公理定义——群是一个集合加一个满足结合律、有单位元、有逆元的运算。这一层取消了「置换」这个具体载体。
第二层的时序值得注意：Cayley 1854 年就给出了抽象定义，而它被忽略了近四十年。原因不难看出：1854 年时，除了置换群，没有别的例子——抽象定义没有内容。到 1890 年代，矩阵群、变换群、Klein 的埃尔朗根纲领（1872）都在了，抽象定义才有了多个实例，才有意义。
这给出一条一般观察：抽象化（一阶工作）需要多个实例才有内容，而多个实例常常要等下一次开栏。 第 30 章会用这条观察处理巴拿赫空间等案例。
Klein 1872 年的埃尔朗根纲领：每一种几何由一个变换群决定，几何的内容是那个群的不变量。
这与本案例是同一个动作的第二次施行：把「什么算相同」这件事交给一个群。 在 Galois 那里，「哪些根的重排不改变代数关系」；在 Klein 那里，「哪些变换不改变几何性质」。
两者相隔四十年，而 Klein 明确地援引了 Galois 理论作为范式。
本书的判读：埃尔朗根纲领是一阶的。 它把群这个已开的栏应用到几何上，这是极重要的应用，但它不开新栏——它的每一个内容都可以用「群作用在集合上」这个已有语言复述完毕。
这个判读会被一些读者反对（埃尔朗根纲领常被列为数学史上最重要的纲领之一）。本书重申第 5.6 节与第 4.6 节：重要性与开栏是两个独立维度。 埃尔朗根纲领极重要且是一阶的，这两句话不矛盾。
其一，Lagrange 的材料与推翻相隔六十年，中间的传承链不完整。 Galois 读过 Lagrange（他的手稿里提到），但 Abel（1824）与 Ruffini（1799）也读过，而他们走的是不同的路（证明不可解，而非改判归属）。材料的强制性在这段时间里没有把三家逼到无路可走——Abel 的定理证明了五次不可解，而这在旧账本里完全说得通（那就是那个方程的属性）。
这构成对材料强制性的一个质疑：若材料真的强制，为什么 Abel 没有被逼出群？
本书的回答：Abel 的定理回答的是「能不能」，而材料指向的是「凭什么」。Abel 的结论在旧账本上可以安放（这个方程不可解，如同这个数不是素数），所以它不逼迫开栏。逼迫来自另一处：同一批置换在不同方程上给出同样的答案——这一点要到 Galois 把可解性与群结构一一对应起来才显现。
这个回答成立，但它意味着材料的强制性不是自动生效的，需要有人把它转向。而「有人转向」这件事，本书的机制不解释（第 2.2 节说过机制不预测何时发生）。如实记。
其二，形这一家的归位可疑。 本书把 Cauchy 的置换研究填在形。但 Cauchy 研究置换的复合与分解，这更像是算（程序）。
按一贯的做法（凡两判取对本书不利的一判）：判为形。若判为算，则算这一家在本案例中同时占了两个位置（预解式程序与置换研究），三家不齐，本案例应被排除。本书采用的判法保住了案例，这一次是对本书有利的判法——与第 7.8、10.7、11.4、17.8 节的做法相反。
理由是：排除本案例会使十九例减为十八例，而群是本书最强的案例之一，排除它需要更强的理由。但这个理由是权衡性的，不是原则性的。本处是全书唯一一次为了保住案例而采用有利判法，特此标明。
其三，与最近占位者的区分。 最近的占位者是 Wussing（1969）《抽象群概念的起源》、Kiernan（1971）关于 Galois 理论从 Lagrange 到 Artin 的发展、以及 Ehrhardt（2012）关于 Galois 理论接受史的研究。
Wussing 的框架与本书最接近：他追踪的正是「隐含的群概念」如何变成显式的对象，且他明确指出 Lagrange 那里群已经隐含存在。
区分：Wussing 解释的是概念如何逐步显化（一个渐进的、多线索的过程：置换论、数论、几何三条线汇合），本书解释的是一次归属改判如何被材料逼出。两者可以并存——事实上 Wussing 的三条线（置换论＝形、数论＝计、方程论＝算）与本书的三家高度吻合，这对本书是一个支持性证据，而不是竞争。
本书与他的实质分歧只有一处：他把三条线的汇合看作一个渐进过程，本书主张有一个判决点（Lagrange 的预解式观察）。这个分歧有可判错的成分：若三条线的汇合在文献上表现为均匀渐进，Wussing 胜；若表现为一个可指认的转折，本书胜。史料在此处是混合的——置换论与数论的发展确实渐进，而可解性的归属改判确实是一步到位的。本书未能给出干净的判决。
（1844—1871）
| 格 | 内容 |
| 形 | 分圆整数环 ℤ[ζₙ] 中的「数」：形如 a₀ + a₁ζ + … + aₙ₋₁ζⁿ⁻¹ 的表达式，被显示为一类可以写出来的、可以相乘相加的东西 |
| 算 | 费马大定理的分解路线：把 xⁿ + yⁿ 在 ℤ[ζₙ] 中分解为 ∏(x + ζⁱy)，再用互素与唯一分解推出矛盾。回答方式是「照这条路走下去」 |
| 计 | 唯一分解的账本：每个数唯一地分解为素因子之积（算术基本定理）。这是数论一切计数论证的基础 |
| 共有前提 | 分解是分解成数（因子必须是这个环里的元素） |
| 材料·产出位置 | 计（唯一分解的账本）：Z[ζ₂₃] 唯一分解失效（本章 22.7 按不利判法定为计） |
| 材料·撞上位置 | 算：撞上它的是费马证明路线上的验算——分解程序跑到 n = 23 时跑出了这个失败 |
| Z | 不是数的因子——一个参与分解、但本身不是环中元素的存在物（Kummer 的「理想数」；Dedekind 改写为环的子集，即理想） |
| 拒绝 | Kummer 的「理想数」被广泛接受（它是算法性的），而 Dedekind 1871 的对象版受到 Kronecker 的持久拒绝：他坚持用「形式」（form）与除子的算法处理，反对把一个无穷子集当作一个已完成的对象。这是本书拒绝落点最精确的一例——拒绝恰好落在「算法」与「对象」的分界上 |
| 签字 | Dedekind 1871（《狄利克雷数论讲义》第二版附录十）：理想被定义为环的一个子集（对加法封闭、对环元素乘法吸收），素理想的唯一分解定理被证明。签字工具是集合——这是集合语言在数学中最早的重大使用之一 |
1840 年代，Kummer 研究的是分圆域的算术（与高次互反律有关），同时代人普遍希望用分圆整数处理费马大定理。
路线是：xᵖ + yᵖ = ∏ᵢ₌₀^{p−1}(x + ζⁱy)。若 ℤ[ζₚ] 中有唯一分解，且左边是 p 次幂，则各因子（在互素的情形下）各自是 p 次幂，由此可以下降、得矛盾。
这条路的全部重量压在唯一分解上。
而 Kummer 算出来：p = 23 时，唯一分解失效。
（史学上有一个流传甚广的错误说法：Lamé 1847 年在巴黎科学院宣布证明了费马大定理，Liouville 当场指出唯一分解未经证明，而 Kummer 早已知道它失效。这个故事的细节多有出入，但核心是对的：Kummer 在 1844 年前后已经处理了这个失效。）
材料的性质：它是一个失败的记录。 它不回答任何正面问题，它说的是「这条路走不通」。
Kummer 的处置是本书全部十九例中最漂亮的一次动作。
他没有说：唯一分解失效，所以这条路废了。
他说的是：唯一分解看上去失效，是因为账本上缺了一些因子。若把那些缺失的因子补进来，唯一分解就恢复了。 那些因子不是 ℤ[ζₚ] 中的元素——他称之为「理想数」（ideale Zahlen，借自 Gauss 用「理想」形容虚构对象的用法）。
一个类比可以说明这个动作：在 ℤ[√−5] 中，6 = 2·3 = (1+√−5)(1−√−5)，两种分解，四个因子都不可再分。Kummer 的读法是：2、3、1±√−5 都不是真正的素元，它们各自是两个「理想素因子」之积，而那四个理想素因子在这个环里写不出来。补上它们，两种分解就是同一种的重排。
这个动作的形状值得单记：把「账平不了」改判为「账本缺了栏目」。 第 18 章（概形）的动作在形式上完全相同——Bézout 的账平不了，改判为点缺了幂零元。第 26 章会指出，这个形状在十九例中出现了五次。
Kummer 没有说理想数是什么东西，他给的是一个判据：一个理想数由「它整除哪些实际的数」来刻画。也就是说，他定义的不是对象，是一个关于整除性的算法：给定一个数，可以判定某个理想素因子是否整除它，以及整除多少次。
这是一个纯粹算的处置：理想数只作为计算规则存在。
Kronecker 一生赞成这个处置，反对下一步。
1871 年，Dedekind 把 Kummer 的理想数改写为：环的一个子集。
理想 I ⊆ ℤ[ζ]，满足：对加法封闭；对任意 r ∈ ℤ[ζ]、a ∈ I，有 ra ∈ I。主理想 (a) = {ra} 对应实际的数 a；而那些不是主理想的理想，对应 Kummer 的理想数。
素理想的唯一分解定理成立：每个非零理想唯一地分解为素理想之积。
这一步做的事，是把一个算法变成一个对象。 而对象是一个无穷集合。
Dedekind 自己清楚这一步的分量。他在多处解释为什么要这样做：因为用集合作为对象，可以避免依赖具体的表示形式（Kummer 的判据依赖于选定的生成元与计算方式），而得到一个内在的定义。
Kronecker 的拒绝是本书最精确的一处拒绝，值得逐层分析。
他不反对 Kummer。 事实上他推进了 Kummer 的方法，发展了「除子」（divisor）理论与「形式」（Formen）的语言，用多项式的算法处理同一批内容。
他反对的是把无穷集合当作一个已完成的对象。 这与他反对 Cantor（第 11.6 节）、反对 Weierstrass 的一般实数、反对非构造存在证明，是同一个立场的不同施行。
按第 1.3 节的分类：这是算的拒绝——「造不出它」。 一个理想是无穷多个元素构成的集合，你无法把它写完；能写的只有生成元，而生成元的选择是任意的。
而这个拒绝恰好落在本案例 Z 的位置上。 Z 是「不是数的因子」，而它有两个版本：作为算法的版本（Kummer）与作为对象的版本（Dedekind）。Kronecker 接受前者，拒绝后者。
这给出本书对拒绝形态的一个精细读数：拒绝可以精确地落在「同一个内容的算法版本与对象版本之间」。 十九例中，这个形态出现了三次（本案例、第 11 章超穷数、第 13 章超实数），而三次的拒绝者都属于同一条谱系（Kronecker—Brouwer—Bishop）。第 26 章会把这条谱系与逾越律联系起来：构造主义者站在算的位置上，他们最常供给材料，也最常拒绝由材料逼出的对象。
Dedekind 的定义同时是签字：理想被造出来了（作为子集），一致性归约到已承认的东西。
值得注意的是签字工具：集合。1871 年，集合还不是一个理论（Cantor 的工作刚开始，公理化要等到 1908）。Dedekind 用的是朴素的、直观的集合概念。
这构成一个有意思的时序：理想（1871）的签字用了集合，而集合本身要到 1908 年才被签字。 换言之，签字工具本身当时是未签字的。
本书的处理：签字的要求是把新对象归约到已被承认的东西，而不是已被公理化的东西（第 6.6 节）。1871 年，集合作为一种朴素的思考方式已被广泛接受（虽然悖论要到 1897 年后才出现）。所以签字有效。
但这一处说明签字律有一个层次问题：签字工具的合法性本身可以在后来被动摇（悖论出现后，Dedekind 的构造需要在 ZF 中重新安置）。第 28 章会记录这一点，并指出它与第 17 章（范畴的部分签字）、第 11 章（超穷数签字后栏内不完全）一起，说明签字不是一劳永逸的。
其一，材料的位置归属可两判。 Kummer 的失效计算，是计（唯一分解的账）还是算（费马证明路线的验算）？
本书的填法是「计与算的交界」，这是一个含糊的填法，违反了第 6.4 节的规格（材料必须指明出自哪一家）。
按一贯的不利判法（第 7.8、10.7、11.4、17.8 节）：判为计——因为判为算会增加逾越律的计数。本处按此填入第 26 章计数。
但须承认这个判法在本案例上不自然：那个计算是在执行一条证明路线（算）时撞上的，而撞上的东西是账本的失效（计）。材料的「出自」与「撞上」是两件事，本书的规格没有区分它们。 这是四要件表规格的一处不足，第 33 章记账。
其二，Z 有两个版本，而拒绝只针对其中一个（22.5）。这使「三家一致拒绝」这条判据（第 4.3 节）在本案例上要打折扣：Kummer 版本被三家接受了，只有 Dedekind 版本被算拒绝。
本书的处理：以 Dedekind 版本为 Z（因为算法版本可以被复述为「一套整除判据」，按第 5.3 节签名一，属一阶）。这个处理是一贯的，但它意味着本案例的「出生」时间是 1871 而非 1844，而材料（1844）与出生（1871）之间的二十七年里，那个内容以算法形态存在。
这个形态——内容先以算法存在、后被改判为对象——在十九例中出现了四次（本案例、第 11 章、第 13 章、第 24 章）。第 26 章会把它列为逾越律的一个子型。
其三，与最近占位者的区分。 最近的占位者是 Edwards（1977, 1980）关于 Kummer 与理想数的研究、Haubrich 关于 Dedekind 理想论起源的工作、以及 Avigad（2006）关于 Dedekind 方法论转向的分析。
Avigad 最有威胁：他的论点是，Dedekind 的转向是一次方法论的选择——用集合与公理代替算法，理由是它使证明更简洁、更少依赖任意选择。这是一个关于数学方法优劣的解释，不需要「共有前提被推翻」这个机制。
区分：Avigad 解释的是 Dedekind 为什么选择这条路，本书解释的是这条路上出现的东西为什么是一个新对象而不是一个新记号。两者可以并存，但本书须承认：若接受 Avigad 的解释，本案例可以被读作一次一阶的方法论改进（把算法改写为集合语言），而它是不是开栏就取决于「不是数的因子」是否真的是新存在物。
本书的判据是三家一致拒绝（第 4.3 节），而本案例的拒绝只来自算一家。因此本案例的二阶身份，比复数、超穷数弱。 如实记。
（1909—1933）
| 格 | 内容 |
| 形 | 勒贝格测度论：一个集合被显示为「可测的」，配一个数（它的测度）。回答方式是「这个集合有多大」 |
| 算 | 统计物理与遍历理论的计算程序：时间平均与空间平均，大数定律的各种证明。回答方式是「照这个极限过程算下去」 |
| 计 | 古典概率的账本：概率＝有利情形数／全部情形数（Laplace）。回答方式是「数一数，比一比」 |
| 共有前提 | 概率是情形之比（概率必须由对一个可数或有限的情形集合的计数得到） |
| 材料·产出位置 | 计（测度论）：Borel 1909 的正规数定理，原题是「实数十进制展开的统计性质」 |
| 材料·撞上位置 | 无：没有算法跑出「事件＝可测集」——它由一条关于测度 1 而无情形比的定理逼出（见 26.3 的五例之一） |
| Z | 事件＝可测集——概率不是对情形的计数，而是一个满足可列可加性的测度；随机变量是可测函数，独立性是一个测度论的条件 |
| 拒绝 | 否定型：von Mises 学派坚持概率必须定义为频率极限（他的 Kollektiv 理论），认为测度论的定义是形式的、脱离概率的实际含义；这场争论持续到 1940 年代。放逐型：许多概率论工作者长期不使用测度论语言 |
| 签字 | Kolmogorov 1933《概率论基础》：概率空间 (Ω, ℱ, P)，ℱ 是 σ-代数，P 是其上的测度且 P(Ω) = 1。一致性归约到测度论 |
Laplace 的定义——概率是有利情形与全部情形之比——在整个十九世纪是标准的。它对骰子、纸牌、抽签完全够用。
它的裂缝在两处：
其一，「等可能」的循环。 定义要求各情形等可能，而「等可能」只能用概率来说明。这个循环被反复批评（Bertrand 悖论 1889 是最著名的展示：同一个「随机取一条弦」的问题，三种自然的取法给出三个不同的答案）。
其二，连续情形无从计数。 在 [0,1] 上随机取一个数，「全部情形」有不可数多个，比不出来。十九世纪的处置是用长度代替计数——但这是一个未经论证的类比，它已经悄悄地不是「情形之比」了。
第二处是补丁：用长度代替计数，而不说明为什么可以。 按第 3.5 节，补丁在计（几何概率），材料应在计——核对无误（Borel 的正规数定理出自测度论）。
Borel 考察的是实数的十进制展开的统计性质：在 [0,1] 中随机取一个数，它的展开中数字 7 出现的频率是不是 1/10？
他证明：几乎所有实数是正规的——每个有限数字串以它应有的频率出现。「几乎所有」的意思是：例外集的勒贝格测度为零。
这条定理在本家回答的是一个分析问题（实数展开的性质），与概率的定义无关。
而它的形式是这样的：一个陈述对「概率为 1」的实数成立，而这个「概率 1」不是任何情形之比。
正规数的集合与非正规数的集合，都是不可数的，都是稠密的。你无法数它们，无法说「有利情形有多少个」。唯一能说的是：一个的测度是 1，另一个是 0。
Borel 的定理说的不是「古典定义错了」。它说的是：存在一类完全合理的概率陈述，而它们不能用情形之比来表述。
这与第 20 章（函数）的方式相似而不同：那里前提失去区分力，这里前提失去覆盖范围——它管不了一大类陈述。
而管得了的是测度。于是问题变成：测度是概率的一个工具，还是概率就是测度？
前一个答案保住共有前提（概率仍是情形之比，测度只是连续情形的技术手段），后一个答案取消它。
1909 年到 1933 年之间，两个答案都有人持。Borel 自己倾向于前者（他一生对概率的哲学基础有复杂的看法）。Kolmogorov 1933 给出的是后者。
《概率论基础》的公理系统极简：一个测度空间，总测度为 1。事件是可测集，随机变量是可测函数，期望是积分，独立性是 P(A∩B) = P(A)P(B)。
它做的事，可以精确地描述为一次归属改判（与第 21 章群同型）：
· 旧账本：概率属于情形（一个事件的概率由构成它的情形决定）。
· 新账本：概率属于集合（一个事件就是一个可测集，它的概率就是它的测度）。
而「情形」这个概念被完全取消了。Ω 中的点不需要有任何含义，它们不是「基本情形」——事实上在许多重要的构造中（如 Wiener 测度），Ω 的点是抽象的，没有直观解释。
Z 是：事件＝可测集。这是一个新存在物吗？
本书判为是，理由是：在旧账本上，一个「事件」是一组情形，而情形是有含义的（骰子的一面、一张牌）。新账本上的事件是一个可测集，它不需要由任何有含义的东西构成。「一个没有情形的事件」在 1900 年是不知所云的，正如「一个没有值的函数」（第 25 章）、「一个没有外面的空间」（第 15 章）。
von Mises 的立场（1919 起）是：概率是一个经验概念，它的意义是频率的极限。他的 Kollektiv 是一个无穷序列，满足两个条件：频率收敛；对任何「位置选择」子序列频率不变（随机性）。
他对测度论定义的批评：它是形式的，它没有说概率是什么。 一个满足公理的测度可以是任何东西，公理不告诉你为什么这个数与现实世界的频率有关。
这个批评在本书框架里的位置：它与 Bishop 对非标准分析、Steenrod 对范畴的批评是同一形态（第 13.6、17.5 节）——都是「这只是形式，没有内容」。
而回应也是同一形态：形式化开的那一栏，后果不在原来的问题里。测度论概率论的后果是随机过程理论（Wiener 过程、Markov 过程、鞅论、随机微分方程），而这些在频率解释下无法建立——一个随机过程的样本空间是函数空间，它的点是整条轨道，而「一条轨道出现的频率」没有意义。
值得注意的是：von Mises 的路线并未消亡。Kolmogorov 本人 1960 年代发展的算法随机性理论（与 Martin-Löf、Chaitin），正是把 von Mises 的随机性要求用可计算性理论严格化。两条路线最终并存，而这在十九例中是少见的（多数案例中被拒绝的一方消失了）。
Borel 1909 到 Kolmogorov 1933，二十四年。相比复数的两百六十五年、非欧几何的三十六年（出生到签字），这是快的。
三条理由，与第 12.4 节的分析一致：
其一，工具现成。 勒贝格测度论 1902 年已建立，且已被承认。开这一栏不需要造新工具。
其二，账本上有位置。 到 1933 年，「一个对象由公理定义、由模型担保」这个做法已经是常规（Hilbert 1899 之后）。Kolmogorov 的公理化不需要为「公理化是否合法」辩护。
其三，压力大。 1920—1930 年代，统计物理、遍历理论、随机过程（Markov 链、布朗运动）都在快速发展，而它们都需要一个能处理连续情形的基础。多个方向同时施压。
第三条在十九例中不常见，值得记：多方向的同时压力加速开栏。 第 29 章会把它作为时长的一个解释变量。
其一，Borel 的定理是不是「材料」有疑问。 正规数定理是一个漂亮的结果，但它是否逼迫了共有前提的推翻？
一个反驳：几何概率（用长度、面积代替计数）在十九世纪已经普遍使用，Bertrand 悖论 1889 已经暴露了古典定义的问题。这些比 Borel 早，而且更直接。若前提早已被侵蚀，Borel 的定理只是又一个例子，不是判决点。
本书的辩护：几何概率是补丁（用长度代替计数而不说明理由），Bertrand 悖论暴露的是「等可能」的循环（第一处裂缝），两者都没有产出一个无法用情形表述的正确陈述。Borel 的定理是第一个这样的陈述——它不是关于随机装置的，是关于实数集合的，而它的「概率 1」除了测度没有别的读法。
这个辩护成立，但它依赖于把「材料」定义得比较严（必须是一个正面的、无法用旧框架表述的结果），而这个严格标准在别的章里并未一致地执行。规格执行的不一致，是本书四要件表的一处系统问题，第 33 章记账。
其二，共有前提可能过窄。 「概率是情形之比」在 1909 年是否还是三家共有的？几何概率的使用者显然不这样认为。
本书的处理：共有前提的准确表述应是「概率必须由某种度量情形多少的东西给出」——长度、面积是情形的度量的推广，仍然在这条规定内。而测度论的定义取消的是「情形」本身。这个表述更宽，但也更难核查（它更接近一条哲学原则而非一条可查的规定）。如实记为本章共有前提填得最不干净。
其三，与最近占位者的区分。 最近的占位者是 von Plato（1994）《二十世纪概率论的创立》、Hochkirchen（1999）关于测度论概率论起源的专著、Shafer–Vovk（2006）关于 Kolmogorov 之路的分析。von Plato 的书涵盖本章全部史实，且他明确讨论了 von Mises 与 Kolmogorov 两条路线的竞争。
区分同前几章：组织方式不同，无独立的可判错设计。
本书在此第五次记录这个模式（第 11、15、20、22 章之后）。五次之后，这已经不是各章的最弱处，而是本书的结构性状况：案例编的每一章都有更详尽的史学专著在先，本书的全部独立价值集中在第五编。第 33 章会正面处理这个状况，包括一个尖锐的自问：若三条定律在第七编真跑中判负，本书还剩下什么？
（1928—1936）
本章与第 25 章按第 36.5 节增补的规格填表：材料一栏分填产出位置与撞上位置。前二十三章的表按同一规格回填的工作，列在第 33 章的待办。
| 格 | 内容 |
| 形 | 希尔伯特形式主义传统：数学被显示为一串形式符号，证明是按规则从公理串出的符号串。回答方式是「把它写成串，规则在那里，照着核对」 |
| 算 | 人手计算的实践：一个人拿纸笔、按规矩、不用灵感地把一件事算出来。这是「机械程序」的原始含义，也是判定问题（Entscheidungsproblem）里「判定」二字的含义 |
| 计 | 可定义性的账本：一个函数「算得出来」，意思是它落在某个已被承认的函数类里——原始递归函数（Skolem 1923、Hilbert–Ackermann）、λ-可定义函数（Church 1932—1933）、一般递归函数（Herbrand–Gödel 1934）。回答方式是「它在不在这个类里」 |
| 共有前提 | 「有效计算」不是一个数学对象，而是由数学家判定的一件事（哪些程序算「机械的」，靠共同体的判断，不靠定义） |
| 材料·产出位置 | 形：哥德尔 1931 年的编码。把公式与证明各配一个自然数，于是「x 是 y 的证明」成为一个算术谓词 |
| 材料·撞上位置 | 算：把这个编码用到自己身上——一个形式系统关于自身可证性的陈述，需要一个能对编码做算术的程序才能表述，而那个程序必须是「有效的」，否则整个论证不成立 |
| 材料的原题 | 希尔伯特纲领第二问：一个形式系统能否证明自己的一致性 |
| Z | 机器成为数学对象——「有效可计算」不再是共同体的判断，而是一个可以被定义、被证明有性质、被对角化的东西 |
| 拒绝 | 否定性名字：无（「可计算函数」「递归函数」「机器」全是中性词）。拒绝形态是提出者与权威本人的不接受：哥德尔在见到图灵的论文之前不承认 Church 论题，他明确表示 Church 的定义只是一个「工作假设」而非对「有效」的分析；希尔伯特纲领的支持者长期视这类结果为技术性的边界问题而非纲领的失败 |
| 签字 | 与出生几乎同时且是多路会合式的：图灵机、λ-可定义、一般递归、Post 系统、组合子——五套完全不同的定义被证明外延相等（1936—1937，Kleene、Turing、Post）。这是本书十九例中唯一一次由「多个独立构造收敛到同一个类」构成的签字 |
一九二八年，希尔伯特与阿克曼在《理论逻辑基础》里提出判定问题：是否存在一个机械程序，输入一个一阶公式，输出它是否普遍有效。
这道题的形状值得停一下。前半句「是否存在」是一个数学问题；后半句「机械程序」不是——在一九二八年，它没有定义。
希尔伯特并不认为这是缺陷。在他的框架里，「机械程序」是元数学的操作层面的东西：你把一个程序摆出来，大家看一眼就知道它是不是机械的（每一步只依赖当前符号、不需要洞察、不需要选择）。判定这件事由数学家来做，不由定义来做。
这就是本案例的共有前提，而它属于第 13.7 节所说的高层前提：它不是关于某一类对象的资格规定，是关于什么东西可以成为数学对象的规定。
三家都站在它上面：
· 形：形式系统的公理与规则可以写成串；而「按规则操作」这件事本身是在系统外面做的，它不在串里。
· 算：一个人拿纸笔按规矩算，算得出来就是算得出来。这件事是做出来的，不是被定义的。
· 计：已有若干函数类（原始递归、λ-可定义、一般递归），每一个都定义得很清楚。但「这个类是不是恰好装下全部有效可计算的函数」这个问题，不在任何一个类的定义里——它是一个关于定义与直观是否吻合的问题，由判断回答。
哥德尔一九三一年那篇论文回答的是希尔伯特纲领的第二问。他的手段——本书视为材料的那件东西——是编码。
把每个符号配一个数，每个公式（符号的序列）配一个数，每个证明（公式的序列）配一个数。于是关于公式与证明的陈述，变成关于自然数的陈述。「y 编码的是一个从公理出发、以 x 编码的公式结尾的证明」，这句元数学的话，成了一个算术谓词 Prf(y, x)。
产出位置是形。 这一点值得说明，因为它与直觉相反。编码看上去是一套计算，像是算的事。但编码这个动作做的事是：把一个过程显示为一个对象——把「证明」这件在时间中展开的活动，变成一个数，一个可以指着看的东西。这正是形的职责（第 1.2 节：形给出的东西可以被指着看）。
（这一处的归属，第 1.8 节已经预先记过一次弱点：编码之后的算术运算属于计，而编码动作本身属于形，这个划分是本书为了让表填满而做的，有循环嫌疑。本章仍按此填，并在最弱处重申。）
撞上位置是算。 哥德尔的论证要成立，那个谓词 Prf 必须是可以被算出来的——否则「这个句子说自己不可证」这句话就没有算术内容。哥德尔的处理是把它构造成原始递归的，逐条验证。也就是说：他必须依赖一个关于「有效」的判断，而他正在做的事，恰恰把「有效」变成了算术里的一个问题。
这个自指的位置，就是共有前提被撞上的地方。
推翻分两步，跨了五年。
第一步（1931—1934）：可定义性变成一个竞争。
编码之后，「哪些函数是有效可计算的」这道题有了数学内容，因为函数可以被编码，函数类可以被谈论。于是几套定义被提出来：Church 的 λ-可定义（1932—1933）、Herbrand–Gödel 的一般递归（1934）。Church 一九三六年提出论题：有效可计算 = λ-可定义。
哥德尔不接受。他给 Church 的回应是：这个等同不能被证明，它只是一个工作假设；要让它成为对「有效」的分析，需要先弄清「有效」本身是什么。
这是本书十九例中「提出者与权威本人拒绝」最清楚的一次（第 4.5 节把这一形态列为最强的拒绝证据，因为它排除了「拒绝出于对新人的偏见」）。哥德尔拒绝的不是 Church 的技术，是把一个定义当作对「有效」的刻画这件事——而这正是共有前提在起作用：有效由判定，不由定义。
第二步（1936）：图灵把「人在算」显示出来。
图灵做的事，与前面所有人都不同。他不给出一个函数类，他给出一个对人的分析：一个人在纸上做机械计算，他能做的是什么？纸是格子的；一次只能看有限个格子；心智状态有限；每一步只依赖当前所见与当前状态；改一格、移一格、换状态。
由这套分析，他造出机器，并证明它与 λ-可定义外延相等。
关键在于：图灵不是给出了又一个定义，他是给出了一个论证——为什么一切能被人机械地算出来的东西，都能被这机器算出来。
哥德尔见到这篇论文之后，立刻改变了立场。他后来多次说：图灵的分析给出了「有效可计算性」的一个绝对的、不依赖于所选形式系统的概念，而这是第一次。
共有前提在这里被推翻：有效计算不再由数学家判定，它成了一个被定义、被分析、被证明有性质的对象。
新对象是什么？
不是「图灵机」这个装置——装置只是一个显示方式。也不是「可计算函数类」——那是一个函数类，早已有几个。
Z 是：机器成为数学对象。更准确地说是：一个过程，可以被当作一个对象来谈论、来数、来对角化。
这一栏一开，一批此前不可问的问题立刻成为可问的：
· 有多少个可计算函数？（可数多个，因为机器可以编码。）
· 有没有不可计算的函数？（有，对角化立得。）
· 停机问题可判定吗？（不可判定。）
· 一个机器可以模拟一切机器吗？（可以，通用机。）
这四问在一九三〇年之前无法陈述——不是没人想到，是「一个机械程序」不是一个可以被数、被对角化的东西。
第 13.7 节说过，高层的共有前提被推翻时，后果不局限于一个领域，而是改变此后一切开栏的方式。本案例是那一节的两个例子之一：把元数学的问题变成数学对象，此后成为常规手段（不可判定性、复杂性、随机性、逻辑强度，都是这条路上的）。
本案例的签字形态在十九例中是独一份。
它不是「给出一个模型使新对象归约到已承认的东西」（复数的有序对、非欧的伪球面、理想的子集）。它是：五套互不相干的构造，被证明定义了同一个类。
λ-可定义（Church）、一般递归（Herbrand–Gödel）、图灵机（Turing）、Post 系统（Post，几乎与图灵同时且独立）、组合子（Schönfinkel–Curry）——出发点完全不同，等价性由一批交叉证明建立（Kleene、Turing 1937）。
为什么这构成签字？
按第 6.6 节的规格，签字要给出一个一致性论证或模型构造。多路会合不是模型构造，但它起的是同一个作用：它取消了「这个定义会不会选偏了」这个问题。 若只有一套定义，人们有理由怀疑它捕捉的只是那一套形式手段的产物；五套毫不相干的手段落到同一个类上，这个怀疑就没有落脚处。
哥德尔用「绝对的」（absolute）一词形容这个状况，指的正是这一点：这个概念不依赖于所选的形式框架。
这个签字形态与第 10.6 节、第 12.6 节的终局签字（Frobenius 数清了除法代数、Ostrowski 数清了绝对值）是同一族的东西：三者都不是给一个对象找一个落脚处，而是把这一栏的边界钉死。第 28 章会把它们合为一型。
本案例的名字全部中性：可计算函数、递归函数、机器、通用机。没有任何一个 0 到 1 的对象在这里得到否定性名字。
按第 35 章的判负结果，名字化石律已降为倾向性描述，因此本格不再承担论证责任，只作记录。
但有一处仍值得记，因为它对第 27 章的改写有用：本案例的拒绝极强（权威本人不接受，持续五年），而命名完全中性。 这是「拒绝」与「命名」两个变量分离的又一个标本，与四元数、超穷数、群构成同一族。四例合起来说明：否定性命名不是拒绝的一般形态，它只是拒绝的一种形态，且不是最常见的那一种。
两章的共有前提都属高层，值得并看。
| 超实数 | 可计算函数 | |
| 共有前提 | 名分由构造担保 | 有效由数学家判定 |
| 材料 | 紧致性定理（计） | 编码（形产出，算撞上） |
| 推翻的方式 | 一致性可以代替构造 | 判断可以被定义代替 |
| 签字 | 提出即签字 | 多路会合 |
| 后果 | 「由一致性得到对象」成为常规 | 「把元数学问题变成对象」成为常规 |
两者的方向相反而互补：超实数把名分从构造那里解绑，可计算函数把一个原本靠判断的东西绑到定义上。一个松绑，一个上锁，而两次都是把某样原本由人来裁的事，改判给一个对象。
这个共同点值得记，因为它可能是高层前提被推翻时的一般形态：被推翻的总是「某件事由人裁」，而新对象接管了那次裁定。 十九例中高层的只有两例，无法一般化，但它与第 21 章（可解性由方程改判给群）、第 23 章（概率由情形改判给可测集）的归属改判形态相似。四例的相似性留给第 29 章处理。
其一，材料的产出位置归属有循环嫌疑。 第 1.8 节已预先记过：把编码动作判给形、把编码之后的算术判给计，这个划分是为了让表填满而做的。本章按此填，而没有独立的理由。
若把编码判给算（它毕竟是一套逐条的构造），则第 36.6 节的逾越律计数会从「算 6」变成「算 7」，占比由 0.353 升到 0.412——仍然不足以救那条已判负的定律，但方向对本书有利。按第 7.8、10.7、11.4、17.8、22.7 各节一贯的纪律（可两判者取不利判），本章判为形。
其二，「有效由数学家判定」是不是一条共有前提，而不是一个知识空白。 这是本章最实的质疑，与第 12.8 节（接近只有一种意思）同型：说三家共同持有一条规定，还是说没人想到「有效」可以被定义？
本书的辩护是它被当作理由用过：哥德尔对 Church 的回应正是这条规定的明文使用——他说等同不能被证明，因为「有效」不是一个数学概念。这句话是这条前提最接近被明说的一次，而且它出自最有资格的那个人。这一处辩护比第 12 章强，与第 9 章（Euler 明说与零不可比者不是数）相当。
其三，图灵那一步是不是「材料逼出来的」。 图灵的分析不是从哥德尔编码出发的——他的出发点是判定问题，他的手段是对人的计算行为的现象学分析。若他的路径与材料无关，那么本案例中材料的作用是什么？
本书的处理与第 10.3 节（Hamilton 不是从 Euler 恒等式出发的）一致：材料来源规则是关于强制性的，不是关于心理路径的。 编码的作用是使「有效可计算」成为一个可以被算术地谈论的问题；没有这一步，图灵的分析将只是一段哲学，无法与任何数学结果对上。事实上图灵论文的主体正是用编码与对角化证明判定问题不可解——他用的是哥德尔的手段。
这个辩护成立。但须承认，本案例中材料与推翻只隔五年，属于第 18.8 节记过的那类「材料时间差过短」的情形。
其四，与最近占位者的区分。 最近的占位者有三处：Sieg（1994, 2009）关于图灵分析的逻辑重构、Davis（1982, 2000）的可计算性史、以及 Gandy（1988）《丘奇论题与计算原理》。
Sieg 最有威胁。他的论点是：图灵的贡献在于把「有效可计算」从一个未分析的概念，通过对有界性与局部性两条约束的公理化，还原为一个可证明的等价——他称之为「计算的公理化」。这个解释完全不需要「三家碰撞」这个机制。
本书能给的区分：Sieg 解释的是图灵那一步的逻辑结构（他做了什么、为什么有效），本书解释的是那一步为什么在那时被逼出来、以及为什么之前的几套定义无人（包括哥德尔）承认。两者不冲突。但本书须承认：Sieg 的解释更精确，而本书的解释只在「为什么 Church 的定义不被接受而图灵的被接受」这一处有独立的话说——而那一处的答案（图灵把「人在算」显示出来了，形出场了），与第 9.4 节复数等形出场、第 15.4 节流形等形出场是同一条读数。
这条读数是本书在本章唯一的独立产出，它属于第 28 章（签字律，计只能对形签字），而不属于本章。
（1927—1950）
| 格 | 内容 |
| 形 | 泛函分析的对偶传统：一个空间被显示为它上面连续线性泛函的全体（Riesz 1909 的表示定理、Banach 1932 的对偶理论）。回答方式是「把它显示为一个空间上的作用」 |
| 算 | 偏微分方程的求解程序：为了让解存在，把方程从逐点满足放松为积分意义下满足（Wiener 1926、Leray 1934 的湍流工作、Sobolev 1936 的双曲方程工作、Friedrichs 的正则化） |
| 计 | 函数的账本：一个函数由它在每一点的值给定；两个函数相等当且仅当处处取值相同；导数是差商的极限，逐点定义 |
| 共有前提 | 函数在每一点上有值，而函数由这些值决定 |
| 材料·产出位置 | 算：弱解。激波与间断解满足守恒律的积分形式，却在间断处没有导数；Leray 1934 为 Navier–Stokes 造的「湍流解」、Sobolev 1936 的广义解，都是这一类 |
| 材料·撞上位置 | 算（同位）。本案例的产出与撞上在同一位置，这在十九例中与第 16 章（分数维）并列，是仅有的两例 |
| 材料的原题 | Navier–Stokes 方程有没有解；双曲方程的柯西问题在什么条件下适定。两道题的源头在流体力学与波动物理，而材料本身是数学结果（真跑二编码为外部性 0.5，见 25.6） |
| Z | 没有值的对象——一个只通过它对检验函数的作用而被定义的东西，它的定义里不含「值」 |
| 拒绝 | 否定性名字：Dirac 自称 improper function（不正当的函数），本书编码为 0.5。否定型拒绝：von Neumann 1932 在《量子力学的数学基础》里称 δ 是虚构，并系统地把它从形式体系里清除，代之以谱理论 |
| 签字 | Schwartz 1945—1950：分布 = 检验函数空间 𝒟 上的连续线性泛函，即 𝒟′ 的元素。一致性归约到泛函分析与拓扑向量空间。签字与理论的完整形态同时给出（本书第二例「提出即签字」之外的一种：对象与其模型是同一件东西） |
一九二七年，Dirac 在量子力学的形式体系里用了一个东西：δ(x) 处处为零、在原点为无穷、积分为一，且 ∫f(x)δ(x)dx = f(0)。
任何一个数学家都能立刻指出这不是函数：一个处处为零（除一点外）的函数，勒贝格积分为零，不可能为一。
三家的位置：
· 计说：不存在。函数由它的值决定，而这些值给出的积分是零。
· 形说：显示不出来。von Neumann 1932 年的处理是把整套形式体系重建在希尔伯特空间的谱理论上，用投影值测度代替 δ——这是一次极成功的重建，而它的成功恰恰是形这一家拒绝的方式：我给你一个能显示的替代品，你那个虚构的东西不需要了。
· 算说：不管你们怎么说，我照着算，结果对。物理学家用 δ 做傅里叶变换、做格林函数、做本征展开，从未出错。
这是第 1.5 节所说的断裂：三家各自的推理都无误，而结论互不相容。而它的外部标记也在（第 1.5 节末）：一个所有人都在用、而数学家都说它不存在的东西，持续了近二十年。
第 3.6 节把本案例点名为「危险案例一」，理由是：若说物理学的使用推翻了「函数在点上有值」这条前提，那材料就出自数学三家之外，材料来源规则即被推翻。
本书的处理是：物理学的使用没有推翻任何东西。
证据是时序与效果：δ 从 1927 年被使用到 1945 年，将近二十年，数学界的账本一动没动。von Neumann 不但不接受，而且花了大力气造一套不需要它的东西，并且造成功了。一个被成功绕开的东西，不构成对任何前提的推翻。
这与第 7.6 节（欧多克索斯的比例论）是同一形状：绕开是拒绝的最高级形态——不否认，只是造一套装置使得没有它也能把事情做完。von Neumann 的谱理论之于 δ，正如欧多克索斯的比例论之于不可通约量。
物理学的使用起的作用是提示方向：它告诉人们，有一个东西在那里起作用。但提示不是材料，因为它对三家中的任何一家都不构成非承认不可的理由（第 3.7 节：影响不能充当材料，因为影响没有强制性）。
真正推翻前提的，是偏微分方程自家的工作。
守恒律 ∂ₜu + ∂ₓf(u) = 0 的解会在有限时间内出现间断——激波。在间断处，u 没有导数，方程逐点无意义。而物理上这个间断完全实在（超音速飞行、爆炸波、水跃）。
处理办法是把方程乘上一个光滑的检验函数 φ、在全空间积分、分部积分把导数转到 φ 上：
∫∫ (u ∂ₜφ + f(u) ∂ₓφ) dx dt = 0
这个式子对 u 只要求可积，不要求可导。满足它的 u 叫弱解。
同样的动作在别处独立出现：Leray 1934 年为 Navier–Stokes 造的「湍流解」（他明确说这种解可能不是逐点满足方程的）、Sobolev 1936 年为双曲方程的柯西问题引入的广义解与后来以他命名的空间、Friedrichs 的磨光算子。
材料的性质：这是一个数学结果，由算这一位置产出——它是一套构造，一个把方程重写成积分形式的程序。它在本家回答的是「这个方程有没有解」。
弱解本身还不是新对象——它是一个函数（可积的），只是它满足方程的方式变了。
被撞上的是下面这一步：
若 u 只通过 ∫∫(u ∂ₜφ + f(u) ∂ₓφ) 这样的式子起作用，那么决定 u 的不是它的值，是它对检验函数的作用。两个几乎处处相等的 u 给出同样的作用（这已经是勒贝格理论里的常识）；而反过来，一个"作用"未必来自任何一个 u。
δ 正是这样一个作用：φ ↦ φ(0)。它是 𝒟 上一个完全正当的连续线性泛函，只是没有哪个可积函数能通过积分给出它。
于是共有前提被击中：函数由它的值决定这一条，在弱解的框架里已经被架空了——框架只用作用，不用值。而一旦只用作用，就有一批作用不来自任何函数，它们照样是正当的对象。
这个推翻方式与第 20 章（函数）的方式属同一族：那里是共有前提失去区分力（几乎一切曲线都有三角级数表达式，于是"有表达式"筛不掉东西），这里是共有前提失去必要性（框架不需要值，于是"有值"不再是入场条件）。两例都不是前提被证伪，是前提被架空。
十九例中这一族有两例，两例都在第四编（过程与对象那一本账本上）。这个分布留给第 29 章。
Schwartz 1945—1950 年的分布理论把这一步做完：
分布是检验函数空间 𝒟（紧支光滑函数，配一个恰当的拓扑）上的连续线性泛函。可积函数 f 对应分布 φ ↦ ∫fφ；δ 对应 φ ↦ φ(0)；导数由 ⟨T′, φ⟩ = −⟨T, φ′⟩ 定义——于是一切分布无穷可微，包括那些来自处处不可导函数的分布。
Z 是：没有值的对象。这是数学史上第一次有一个「函数」概念，它的定义里不含「值」。
这一栏的后果与第 15、18 章一样，是解决了一批原本互不相干的困难：
· 一切分布可微，于是微分方程可以先在分布意义下求解、再问解是否光滑（正则性理论由此成为一门学问）。
· δ 与它的导数合法，格林函数、基本解成为定义清楚的对象。
· 傅里叶变换扩展到缓增分布，于是 δ 的变换是常数、常数的变换是 δ，物理学里用了二十年的那套形式运算全部合法。
· Sobolev 空间获得内在定义（分布导数在 Lᵖ 中）。
第 18.5 节说过，开一栏往往同时消掉一批不相干的补丁，这可以作为共有前提确实存在的间接证据。本案例是这个现象最密集的一次。
第 36 章的编码里，本案例与第 20 章（函数）一起被编为外部性 0.5：材料是数学事实，但它原本回答的那道题在数学之外。
Navier–Stokes 有没有解——这是流体力学的问题。双曲方程的柯西问题——这是波动物理的问题。激波——这是气体动力学的现象。
按第 36.3 节修补后的规则表述：
材料必须是一个数学事实，即由形／算／计三个位置之一产出、并在数学内部被承认的结果；而它原本所回答的问题，可以在数学之内，也可以在数学之外。
本案例合格：弱解是一个数学结果（一套构造、一批定理），由算产出，在数学内部被承认（Leray 1934 与 Sobolev 1936 都是公认的重要工作）。
但必须记明：这条修补是被本章与第 20 章两例逼出来的，而修补的方向是放松（第 36.4 节已记账）。本章是那次放松的两个来源之一。
还须记一处更细的东西。第 25.2 节说 δ 不是材料，因为物理学的使用没有强制力。而弱解是材料，尽管它的原题也在物理。两者的区别在于：
· δ 是一个记号上的用法——物理学家用它算，但它没有在数学内部产出任何被承认的结果。
· 弱解是一个数学结果——它是关于方程解的存在性的定理，它在数学内部被引用、被推进。
这个区别是实质的，但它把规则的判据推到了「什么算数学内部被承认的结果」这个问题上，而这个问题本书没有给判据。这是四要件表规格的又一处不足，与第 22.7 节（产出与撞上未分）、第 36.5 节（已增补）同类，一并记入第 33 章。
按第 36.5 节增补的规格，材料一栏分填产出位置与撞上位置。十九例中，两者不同的居多（材料属计的账本，而撞上它的是算在跑）。
本案例两者同位，都是算：弱解由算产出，而撞上共有前提的也是算（是求解程序自己把"值"这个东西从框架里挤了出去）。
十九例中同位的只有两例：本案例与第 16 章（分数维，Hausdorff 造外测度、又由同一个构造跑出 s₀）。
而这两例恰好也是材料与推翻时间差最短的两例（分数维同篇，本案例九年）。这个巧合有一个可能的解释：产出与撞上同位时，中间没有跨位置传递的过程，所以时间短。 两个样本不足以支持这个解释，记在此处供后续检验。
Dirac 自己称 δ 为 improper function（不正当的函数）——本书编码为 0.5，理由是：它是一个否定性的限定词（improper），但它出自使用者本人、且带着"我知道这不严格"的自嘲，不是拒绝者给的名字。
这与第 13 章（超实数，non-standard 由 Robinson 自取）是同一形态：否定性的名字由提出者自己取，作为一种预先的免责。 两例合起来提示，第 27 章改写时应当区分拒绝者命名与提出者自命名——本书原来的定律没有做这个区分，而两者的含义完全不同：前者是三家的判决，后者是提出者对三家判决的预期。
这个区分是事后提出的（编码时才浮现），按第 35 章的处置原则，它只作记录，不用于任何确认。
至于真正的拒绝，本案例是否定型且有据：von Neumann 1932 年称 δ 是虚构，并造了一整套替代品。这一条编码为拒绝率 1。
其一，「用途」这一位置的归属问题，第 1.8 节预告要在本章正面面对。
第 1.8 节说：三个位置的穷尽性没有证明，最可能的第四个位置候选是「用途」——一个对象也可以由「它被用来做什么」来回答，而 δ 最初正是这样被接受的。本书当时的处理是把用途归入计（因为用途在数学内部起作用的方式，最终总是"它使某本账对上了"）。
正面面对的结果是：这个处理在本案例上不成立。
δ 在 1927—1945 年间的地位，不是"它使某本账对上了"——恰恰相反，它使账对不上（积分为零的函数积分为一）。它的地位是"用它算，物理结果对"。而"物理结果对"不是数学三家中任何一家的判据：计不认它（账不平），形不认它（显示不出），算……算也不认它，因为算的判据是程序合法，而 δ 不是任何合法程序的产物，它是一个被硬塞进去的记号。
因此，1927—1945 年间的 δ，在本书的三位置装置里没有位置。 它是一个在数学之外被使用、在数学之内无家可归的东西。
这不构成对装置的推翻（装置说的是数学问题有三种回答方式，而"物理结果对"不是对数学问题的回答）。但它说明：装置无法描述"数学之外的使用"这件事，而这件事在数学史上确实起作用。 第 33 章须记：本书的装置只覆盖数学内部，凡涉及数学与其应用领域的交界，本书说不了话。
其二，Schwartz 之外的独立路线。 分布理论并非只有一条路。Sobolev 1936 已经有了本质相同的东西（他定义了广义解与广义导数），Bochner 1932、Carleman、Gel'fand 学派、以及 Mikusiński 的算子演算都是独立或半独立的路线。日本的佐藤干夫 1959 年的超函数（hyperfunction）走的是完全不同的路（边界值与层上同调）。
这对本案例的意义是："出生"这个时刻在本案例里不是一个点。若把 Sobolev 1936 算作出生，则出生与签字相隔九年；若把 Schwartz 1945 算作出生，则出生即签字。本书采用后者（因为 Sobolev 给的是广义解这个工具，Schwartz 给的是一类对象），但这是一个选择，不是一个判据的输出。
第 37.6 节记过"十九这个数不是封闭的"，本案例补充一条：十九个案例的出生日期，有几个也不是封闭的。
其三，与最近占位者的区分。 最近的占位者有三处：Lützen（1982）《分布理论的前史》、Schwartz 自己的回忆录（1997）、以及 Paumier 关于 Schwartz 与 Bourbaki 的研究。
Lützen 的书是本章全部史实的来源，而且他的组织方式与本书接近：他追踪的正是"广义函数"的多条独立前史如何汇合。
区分与第 11.8、15.8、20.7、23.7 各节同型（第六次记录同一模式）：他组织的是前史的汇合，本书组织的是共有前提被自家材料架空。 本章无独立的可判错设计。
其四，本章与第 20 章的自撞。 两章的共有前提相邻（「函数是一个表达式」与「函数在每一点上有值」），而后者在时间上晚一百年。若前者已被推翻（任意对应不要求表达式），为什么后者还立得住？
回答：Dirichlet 的任意对应仍然要求有值——它取消的是"值必须由统一公式给出"，没有取消"每一点有一个值"。事实上狄利克雷函数的定义方式恰恰是逐点指定值。两条前提是嵌套的，外层被推翻不影响内层。
这个回答成立，且它给出一个一般观察：共有前提有层次，推翻外层不自动推翻内层，于是同一个概念可以被开栏两次。 函数这个概念在本书里被开了两次栏（第 20 章与本章），是十九例中唯一被开两次的概念。这一点留给第 29 章。
至此十九个案例全部写出。按第 6.7 节的入选标准与第 5.7 节的五步判别程序，本书的案例编完成。三处须在第 33 章一并结算：
1. 十九不是封闭的（第 37.6 节）：希尔伯特空间、层、椭圆函数双周期三处判不干净，其中希尔伯特空间是自相矛盾（第 5.2 节说它二阶而未计入）。
2. 几个出生日期不是封闭的（本章 25.9 其二）。
3. 装置只覆盖数学内部（本章 25.9 其一）：凡涉及数学与应用领域交界的现象，本书说不了话，而 δ 的前十八年正落在那里。