分数是怎么发生的

【第 1 页】 S D E · 数学发生学课件 分数是怎么发生的 三个饼，分给四个人 一节课的完整做法：怎么开头、怎么走、怎么当堂验收，以及四个最常踩的坑 小学中段· 　 分数第一课 | 　 　 主讲：＿＿＿ | 　巴渝培训预习材料 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 1 【第 2 页】 先看一件真事 当堂全对，一周后塌了 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 2 近一半 三年级学完分数一周后，被问「1/2 和1/3 谁大」， 答「1/3 更大」的孩子占比 当堂 练习几乎全对 通分、约分、比大小，一步不错。 一周后 换个问法就塌 只问一句「谁大」，一半人答错。 这不是粗心。他心里那本账，从头到尾没被改过一个字。 【第 3 页】 为什么会这样 他心里那本账，写的是「3 比2 大」 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 3 —— 孩子不是没听。他是拿一本旧账去读这个新东西 而这本账，从来没有因为分数被改过。 1 旧账上写着 数越大，那个东西就越大。3 比2 大，所以3 在哪儿都该更大。 2 他看到1/3 看见的是「3 」。分母那个位置对他来说，只是又一个数字。 3 所以他答1/3 大 —— 在他的账本里，这个答案完全讲得通 错的不是逻辑，是那本账。 所以这一课要做的不是「讲清楚」，是让这本账当场被改掉一次。 【第 4 页】 老办法在哪一步失手 讲第二遍，为什么还是不行 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 4 老办法 从定义起步 —— 「分数就是几分之几」 先给定义， 再教通分约分，再做练习。 这套顺序本身没错：它是给已经懂了的 人整理用的。 毛病在于，孩子还没有一个位置可以把 它挂上去。 于是 他把形式记住了 他记住了写法，也记住了操作步骤，考 试当然对。 但他从来没有遇到过一个「非要分数不 可」的时刻。 没遇到过，旧账就没有理由被改。 再讲一遍 还是不行 很多老师的反应是：那就再讲一遍，再多 练几道。 可第二遍讲的还是同一个定义，还是从终 点递过去的。 账不会因为听了两遍就改。 补课之所以常常没用，不是讲得不够清楚，是这一步压根不缺讲解。 【第 5 页】 还有一种更难的 有些孩子，已经上了锁 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 5 「数学就是这么规定的，不用想。」 —— 这句话一旦写进心里，它管的就不是分数这一课了 它管的 是「以后所有的数学都不用想」。 锁着的时候，把当年那条路还给他也没用 —— 他会照做，但不会跟着想 因为他已经认定这件事不需要想。 所以次序是硬的：先开锁，再讲课 开锁只需要一句话，难的是老师要当着全班说出这句话。 开锁的那一句： 「这个写法，其实当年也可以不这么定。你们信不信？」 说完不解释，等他们反应。有人抬头，锁就松了一道缝。 【第 6 页】 一 这一课该从哪里起 不从「分数是什么」起。从一个分不出来的东西起。 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 6 【第 7 页】 换一个起点 三个饼，分给四个人 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 7 ÷ 每人分到多少？ —— 孩子手里只有整数。他答不出来 而且他知道自己答不出来。 为什么是3 和4 不能整除 4 个饼分4 人，一人一个，用不上新东 西。 必须让整数在这里真的走不通。 为什么是饼 能真的分开 手上能分、能看见、能拿走。 换成纸条、绳子、蛋糕都行，不能换成 投影。 为什么不先说名字 名字最后才给 先分，分完再问「这一份该叫什么」。 名字是他们命名的，不是你递的。 【第 8 页】 这一课的五步 顺序不能换 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 8 1 开缺口 抛出三个饼分四人。让 他自己发现整数不够用。 › 2 给方向 「看来我们需要一个比 1 —— 小的东西。」 只 给方向，不给答案。 › 3 亲手分 真的动手分，分完给那 一份命名，再把它写下 来。 › 4 换个情境 — 量绳、切蛋糕、分钱 —同一个东西，让它再 出现一次。 › 5 开新缺口 「那1/2 和1/3 ，谁 —— 大？」 当堂就撞， 别留到一周后。 最要紧的是第1 步在第2 步之前。反过来，就又变回老办法了。 【第 9 页】 二 四十分钟，逐段怎么走 每一段写了分钟数、老师说什么、以及这一段禁止做的事。 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 9 【第 10 页】 全课一览 四十分钟的分配 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 10 时间 这一段做什么 老师这一段不许做的事 0–3 分 开锁那一句（只对已经放弃的班用） 不许解释这句话 3–11 分 三个饼分四人，让他卡住 不许提示「可以切开」 11–16 分 给方向：需要一个比1 小的东西 不许写出1/4 ，不许说「四分之一」 16–31 分 亲手分、命名、写下来 不许替任何一组动手 31–38 分 换情境再来一次：量绳／分钱 不许只做一个情境 38–40 分 开新缺口：1/2 和1/3 谁大 不许当堂给答案 末一栏是这份课件里最有用的一栏。这一课的难处从来不是「要做什么」，是「忍住不做什么」。 【第 11 页】 逐段拆解（上） 第1 、2 步：让他卡住，然后只给方向 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 11 第1 步· 8 分钟 把缺口摆出来 桌上三张圆纸片，四个孩子一组。一句话：「分掉，谁也不能多， 谁也不能少。」 —— 接下来什么都不做。有人会先切、有人会先分整块 都随他。 这一段的成败 他有没有真的卡住 卡住的记号不是安静，是争起来：还剩一个，那一个怎么办。 ⚠ —— 三十秒就有人说「切成四份」，是缺口太浅 换成五个饼分 四人。 第2 步· 5 分钟 只给方向，不给答案 一句：「看来我们需要一个比1 小的东西。」然后闭嘴。 这一句为什么这么短 再多一个字就成了答案 「切成四份」是答案，「四分之一」是答案。「一个比1 小的东 —— 西」不是 它只指了个方向。 【第 12 页】 逐段拆解（下） 第3 、4 、5 步：亲手走、再来一次、再卡住 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 12 第3 步· 15 分钟 亲手分，然后命名 真的分完。然后问：「你手上这一份，该 叫什么？」 让他们自己起名字，写法最后才由你补上。 第4 步· 7 分钟 换个情境再来一次 一根绳子分给三个人。八块钱分给五个人。 —— 同一个东西在第二个场合又出现一次 这一次比第一次更重要。 第5 步· 2 分钟 当堂开新缺口 「那1/2 和1/3 ，谁大？」 让他们吵。不给答案，下课。下一节 课从这里接。 第5 步为什么放在这一节课里，而不是等一周后再发现 那半个班答错，是在一周之后才被发现的。而这一撞，本来可以发生在这节课的最后两分钟。早两分钟撞上，你还在场；晚一 周撞上，你已经在讲下一单元了。 【第 13 页】 三 当堂怎么知道成了没有 不用等考试，也不用等一周。下课前两分钟就有答案。 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 13 【第 14 页】 下课前的那一问 不问会不会做 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 14 「今天，你有没有哪个原来的想法被推翻了？是哪一个？」 答得上来的人数，就是这节课的成绩。 这一课答得好的样子 「我以前以为数越大越大」 —— 或者：「我以前以为分不完就是分不了。」 旧想法被点名了。 答不上来的样子 「学会了分数」 这不是答案，这是复述课题。它说明账没动。 三个当堂能记的数（不用问学生，自己就能记） 你改了几次下一句 因为孩子说的话而临时改口。零次＝你在放录音。 几个人押了说法 主动说出自己想法的人数（错的也算）。 全班一起悬着多久 没人知道答案、全场在等的时间，加起来。 【第 15 页】 真正的验收 一周以后，再问一次 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 15 当堂那一问只能说明「今天动了」。这一课有没有真的落下去，要等一周后那句不带算式的问话。 一周后这样问 答对说明什么 答错说明什么 1/2 和1/3 ，谁大？（不许算） 分母那个位置，他真的看懂了 旧账还在：他仍然只看见「3 比2 大」 1/4 是不是比1 小？为什么？ 他能说出「一份不到一整个」 他只会背写法，没有分过 你能不能自己造一个比1/4 小的？ 他站到了定规矩那一边 他还站在接规矩那一边 第三问最狠：会用的人未必会造，会造的人一定会用。 【第 16 页】 四 四个坑，和两栏话 —— 看着像那么回事，其实还是老办法 这四种最常见。 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 16 【第 17 页】 四个最常踩的坑 看着像，其实不是 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 17 ① 假缺口 孩子早就会切一半了，你还假装这是个难题。缺口是假的，后面全是 表演。 验法：有没有人真的争起来。 ② 替他跑了 工具给了，路却是老师一路演示到底。孩子看了一遍，没走过一步。 验法：每一组的纸片是不是他们自己撕的。 ③ 热闹代替发生 撕了、摆了、笑了，最后没有命名、没有写下来、没有收回。 验法：黑板上有没有留下他们说出来的那个名字。 ④ 忘了最后两分钟 前面都做对了，下课铃一响就散了。那一问没问，这节课就没有读数。 验法：你手上有没有那三个数。 四个坑有一个共同点：都能让课看起来很好看。所以只能靠验法，不能靠感觉。 【第 18 页】 课堂用语 这一课里，不要说/ 改成 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 18 不要说 改成 「分数就是几分之几，记住。」 「先别记。你现在打算怎么分？」 「切成四份不就行了。」 「你们那一块，为什么要那样切？」 「对，就是四分之一。」 「你管它叫什么？写给大家看看。」 「错了，我再讲一遍。」 「按你的分法往下走，走到哪儿走不动了？」 …… 「时间不够了，答案是 」 「这个我们先不定下来，下节课接着卡。」 右边这五句的共同点：都不需要老师先知道答案，也都把话还给了孩子。 【第 19 页】 可复印· 学生用 分饼记录单 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 19 印在一张纸上，四人一组一张。第3 　 —— 步用。 最后一行是最重要的一行 它就是「那一问」的书面版。 一、三个饼，我们组是这样分的（画出来）： 二、每个人分到的那一份，我们管它叫：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、为什么这样分，大家都不吃亏？ 四、如果是三个饼分给五个人呢？还能这样分吗？ 五、今天有一件事，跟我原来想的不一样，是： 【第 20 页】 可复印· 老师用 把你自己的一节课填进去 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 20 这一课件讲的是分数。同一张表，换成小数、负数、乘法、面积，一样能填。 这一步 我这一课打算怎么做 ① 我抛出的那个真实难题是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ② 我只给的那个方向是（不是答案） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ③ 孩子亲手做的那一步是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ④ 我换的第二个情境是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ⑤ 下课前我要开的新缺口是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ⑥ 那一问我打算怎么问 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ —— 六行填不满，就先别上这一课 填不满说明缺口还没找到。 【第 21 页】 分数不在课本里。 它在那三个饼被真的分开的那一刻。 —— 留给你的一件事：明天挑一个你最熟的概念，只做一件事 找到它「走不通」的那个地方。 找到了，这一课就已经开始了。 　 分数是怎么发生的 · 　巴渝培训 21