SDE 数学发生学教学法

【第 1 页】 SDE · 数学教学法系列 SDE 数学发生学教学法 数学对象与数学概念，是被“发现”的，还是被“发生”的？ —— 以小学数学为例 发现 → 发生 主讲：＿＿＿　｜　教师研修专场 【第 2 页】 SDE 数学发生学教学法 1 先看一个真实的缺口 三年级“分数”那节课，当堂练习全班几乎全对。 一周后再问一句：1/2 和 1/3 ，谁大？ 近一半孩子答：1/3 更大。 他们不是没“学会”。是这个概念，从没在他们那里真正“发生”过。 【第 3 页】 SDE 数学发生学教学法 2 发现学，让孩子“认识”一个已经做好的数学对象； 发生学，让那个对象“在孩子这里重新长出来一次”。 一句话之差，整节课的起点就不同。 【第 4 页】 SDE 数学发生学教学法 3 两个词，一字之差 “ 发现” 与 “发生”，差在哪里 发现 去找一个本来就在那儿的东西。 对象先在，你只是把它揭开、认出来。数、形，仿佛一直摆在那里等人看。 发生 在土壤里、经路径、造出显露，还要回写。 对象不是现成的，是在真实需要中被生成、被稳定、被表达出 来——而且反过来改写你已有的理解。 关键 发生 ≠ 产生。 产生是单行道，做出来就完了；发生是回环——最后那一笔“回写”，才是它真正住进孩 子心里的证据。 【第 5 页】 SDE 数学发生学教学法 4 今晚的地图 六段路，从原理到明天的一节课 一 两种范式的地基 发现范式三块地基，发生范式三根 支柱；一张总对照表。 二 数学对象的发生学原理 一个概念＝一条 S·D·E 发生链的稳 定结晶。 三 发生五步 用“缺口→框架→张力→实例→新 缺口”替换“定义→性质→应用”。 四 七个小学案例 数· 加法· 位值· 乘法· 分数· 等号· 三角形，正反对照。 五 把一节课改成发生学 备课四问、五步模板、三条纪律、 四个坑。 六 收束与留给你们的缺口 一句当堂自检，和一道明天的作业。 【第 6 页】 SDE 数学发生学教学法 5 先约定一件事 今晚不否定发现学。 它在很多场合是对的，也最省力。 我们要辨的只是一处：它在哪一步，把孩子挡在了数学的门外。 【第 7 页】 一 两种范式的地基 发现学与发生学，不是两种技巧，是两种关于“数学对象从哪来”的根本假设。 【第 8 页】 SDE 数学发生学教学法 6 发现范式 发现学站在三块地基上 1 对象先在 数、形、运算，本来就在那儿，等 着被找到。教学＝把它揭示给孩子。 2 方法中立 讲授、发现、游戏只是路不同，终 点那个“ 5” 是同一个，怎么教不改 变它。 3 知识累积 学完加法学乘法，一块块往上摞， 像砌墙。 【第 9 页】 SDE 数学发生学教学法 7 发现范式 这三块地基，在数学课里长这样 对象先在 “5 就在那里，你去认它。” 黑板写个 5 ，数五个苹果，5 便被“认”出来了。 方法中立 “ 讲也行、玩也行，反正学到那个 5 。” 于是教研只比“哪种方法效率高”，不问“它教出来的 5 一 样吗”。 知识累积 “ 先学这个，再学那个，摞上去。” 课程像一条直线，缺了哪块补哪块，很少问“这块是怎么从上一块 长出来的”。 【第 10 页】 SDE 数学发生学教学法 8 发生范式 发生学换成三根支柱（逐一替换） 1 条件共生成 对象不是先在的，是在真实土壤里 被生成的。换掉“对象先在”。 2 路径生成 要经过一条差异路径才成形，怎么 走，决定了长出什么。换掉“方法 中立”。 3 生命周期 对象有原初→成熟→退化，不是永 远现成。换掉“知识累积”。 【第 11 页】 SDE 数学发生学教学法 9 一张表看全 发现学 vs 发生学：十个维度 维度 发现学数学教学法 发生学数学教学法 数学对象 先在，等待揭示 在土壤里被发生 教的起点 定义（成熟态） 缺口（真实问题） 学生角色 接收者、认领者 发生者、亲历者 “ 会了”的标志 能复述、能套用 看旧东西的眼光变了 迁移 常常迁移不动 回写过，自然迁移 错误 要纠正的偏差 路径的信息、发生的线索 等号 = “ 得”、出结果的箭头 两边同一的关系（天平） 练习 巩固已给的形式 在新情境里再发生一次 评价 对不对、快不快 有没有真的发生与回写 典型失败 考完就掉、不迁移 热闹却无结算的假发生 【第 12 页】 SDE 数学发生学教学法 10 最关键的一个词 发生 ≠ 产生。 产生是单行道：做出来，就完了。 发生是回环：要土壤、要路径、要显露——还要回写。 漏了回写，前面全白搭。 【第 13 页】 SDE 数学发生学教学法 11 把“回写”说清楚 什么叫回写：概念反过来改写了旧底盘 回写＝新概念发生后，倒回去改写孩子已有的理解。 不是又记住一个新东西，而是旧东西在他眼里变了样。 例：学过分数之后，孩子看“整数”的眼光变了。 他忽然明白：整数只是数轴上的一些点，中间还密密麻麻挤着别的数。— —这一下，才叫分数发生了。 没有回写的“学过”，只是入库。 存进去了，却没和别的东西连上，考完就被清出内存。第 2 页那半数孩子，正是无回写。 【第 14 页】 SDE 数学发生学教学法 12 两种“假发生” 热闹的课，也可能什么都没发生 假发生① 无底盘 • 没有真实缺口，概念悬空。 • 老师直接给出“今天学分数”，孩子并不觉得缺它。 • 挂不住：考完即掉，因为它从没挂在任何需要上。 假发生② 无回写 • 记住了形式，底盘没动。 • 会写 1/2 、会做题，但对“整数”的看法丝毫未变。 • 被收编：新知识入了库，却没改写任何旧知识。不迁移。 【第 15 页】 SDE 数学发生学教学法 13 老师最爱问的一个问题 数学对象，到底是“被发现”的，还是“被发生”的？ 给一个够用的答案：对数学家，或许两说。 但对课堂上的孩子——凡是“没在他这里发生过”的对象，就等于不存在。 所以教学只认发生。 【第 16 页】 SDE 数学发生学教学法 14 发现与发生，到底什么关系 发现，是发生的光滑化再显露 发现 ＝ 发生 －路径(D) －土壤(E) ，再端出来。 发生（原初态） 先有缺口(E) 、走过路径(D) ，最后才结晶出 显露(S) 。它粗糙、带着来路——看得见自己 是怎么长出来的。 发现（光滑态） 把 D 和 E 磨平、抹去，只留下光滑的 S ， 再端出来——于是它“看起来本来就在那儿”。 发现学的“对象先在”，正是这么来的。 光滑化 → 磨掉 D 和 E 教学要做的　把被磨掉的缺口(E) 和路径(D) 还原回来——给发现“去光滑化”，让对象在孩子这里重新发生一遍。 这就是发生学。 【第 17 页】 SDE 数学发生学教学法 15 第一段小结· 并开一个缺口 范式一换，教学的起点就从“定义”挪到了“缺口”。 那么下一个问题来了—— 一个数学概念，到底是由“什么”发生出来的？ 【第 18 页】 二 数学对象与概念的发生学原理 一个数学概念，＝ 一条 S·D·E 发生链的稳定结晶。它的语法是：在何种土壤里，经何种路径，成什么显露。 【第 19 页】 SDE 数学发生学教学法 16 一句话定义 一个数学概念 ＝ 一条发生链的稳定结晶。 它的语法是三句话： 在何种土壤（E ）里 → 经何种路径（D ）→ 成什么显露（S ）。 倒过来问任何一个概念，都能拆出这三段。 【第 20 页】 SDE 数学发生学教学法 17 S 维 S ＝ 显露维（Show ）：最后看得见的那个形 S 是概念最终“看得见、认得出”的稳定形。 例：“ 5”“1/2”“ 三角形”这些名字与符号，就是 S 。 但要命的一点：S 是结果，不是起点。 它是发生链跑完之后结晶出来的东西。 发现学的错，就是把 S 当起点。 上来先给定义、先认符号——等于让孩子从终点倒着背。 【第 21 页】 SDE 数学发生学教学法 18 D 维 D ＝ 差异路径（Difference ）：从缺口走到显露的那条路 D 是概念被走出来的路径，不是“不一样”那么简单。 它有推进、承接、修正、收敛。 例：“一一对应”“平分”“重复相加”，都是路径。 真正要教的是这条路，而不是路尽头那个名字。 缺 D ＝ 凝滞不动。 只给结论不给路径，孩子拿到的是一具没有来路的空壳。 【第 22 页】 SDE 数学发生学教学法 19 E 维 E ＝ 纠缠土壤（Entanglement ）：概念得以发生的真实需 要 E 是让概念不得不发生的真实情境与需要。 它不是背景板，是发生的地基。 例：“两堆谁多”“三个饼分四人”“数太大数不过来”。 正是这些真实的‘走不通’，逼出了新概念。 缺 E ＝ 无根而散。 没有土壤，概念对孩子就是天上掉下来的，抓不住也留不下。 【第 23 页】 SDE 数学发生学教学法 20 三者的关系（点到为止 S 、D 、E 不是三段流水线，是非线性互生。 课堂上只需记一句： 先有土壤和路径，才结晶出显露； 显露一旦成形，又回过头改写土壤和路径。— 这个“回过头”，就是回写。 【第 24 页】 SDE 数学发生学教学法 21 数学对象的发生学原点 每个基本对象，都能问一句： “ 它最初，是为了走通哪条走不通的路而发生的？” 数：为“比多少”而生　· 分数：为“整数不够分”而生 负数：为“不够减”而生　· 位值：为“数太大写不下”而生 【第 25 页】 SDE 数学发生学教学法 22 小学核心对象 一张“发生学原点”表 概念 发现学数学教学法 发生学数学教学法 数 先在的计数符号 为“比多少”而发生（一一对应） 加法 一种既定运算 为“合起来是多少”而发生（合并再数） 位值 个十百的规定 为“数太大写不下”而发生（捆成新单位） 乘法 口诀表 为“重复相加太慢”而发生（几个几打包） 分数 分子/ 分母的形式 为“整数不够分”而发生（平分要结算） 等号 “ 得”、出结果 为“同一个数有多条来路”而发生 【第 26 页】 SDE 数学发生学教学法 23 发现学最容易犯的一件事 把“成熟态”当起点。 教科书顺序＝先定义 → 再性质 → 再应用。 可“定义”是整条发生链跑完之后的结晶。 把结晶当起点，等于让孩子从终点倒着背。— 这个“结晶”，正是被光滑化、再显露出来的发生。 【第 27 页】 SDE 数学发生学教学法 24 于是有了那个熟悉的现象 “ 大规模无回写学习”，就是这么来的。 从成熟态起步，孩子没有土壤和路径可走，只能把形式“入库”。 没有路径，就没有回写；没有回写，考完就掉。— 第 2 页那半个班，根源在这里。 【第 28 页】 SDE 数学发生学教学法 25 帮你判断“孩子的会是真会吗” 一个概念的三种“死法” ① 遗忘（E-death ） 没人再用它，从共同体里消失。验 法：还有没有人真的拿它解决问题？ ② 变成常识（D- death ） 熟到不假思索，“死于成功”。这 是好事。验法：孩子会不会对它感 到惊讶。 ③ 过度自洽（S- death ） 对一切追问都有现成答案，却不会 用。危险的假会。验法：找一个反 例，他慌不慌。 【第 29 页】 SDE 数学发生学教学法 26 第二段小结· 并开一个缺口 概念由 E → D → S 发生，再回写。 既然如此—— 一节课，到底该按什么顺序展开，才顺着发生走？ 【第 30 页】 三 一节发生学的课，长什么样 用“缺口 → 框架 → 张力 → 实例 → 新缺口”，替换“定义 → 性质 → 应用”。 【第 31 页】 SDE 数学发生学教学法 27 发生五步 五步一个环，不是一条线 ① ΔE 开缺口 抛出一个孩子现有工 具解决不了的真实问 题。 → ② S 立框架 给出能解决它的新显 露的雏形。 → ③ D 走张力 让孩子在这条路径上 亲自跑一遍。 → ④ E 落实例 在多个真实情境里再 发生一次。 → ⑤ 新 ΔE 用一个新问题，开出 下一个缺口。 第五步接回第一步——所以是环，不是线。每节课的结尾，是下一节课的开头。 【第 32 页】 SDE 数学发生学教学法 28 逐步拆解（上） 第①②步：把缺口摆出来，把框架递过去 ① 开缺口 制造一个真实的“走不通”。 例：三个饼平分给四个人，每人多少？——孩子手里的整数，答不了。缺口 就此打开。 ② 立框架 递出解决它所需的新显露的雏形。 “看来我们需要一个比 1 还小的数。”——不是给定义，是给方向。 【第 33 页】 SDE 数学发生学教学法 29 逐步拆解（下） 第③④⑤步：亲跑、再发生、再开口 ③ 走张力 让孩子在路径上真跑一遍。 动手分饼、给结果命名、发现“两个 1/2 拼成 1” 。这一跑，概念才在他身 上发生。 ④ 落实例 换几个情境，让它再发生。 分饼、量绳、切蛋糕——同一个 1/2 ，在不同土壤里再长一次。 ⑤ 新缺口 用新问题开下一环。 “那 1/2 加 1/4 呢？”——下一节课的门，这就推开了。 【第 34 页】 SDE 数学发生学教学法 30 两种五步，正反对照 发现学五步 vs 发生学五步 环节 发现学数学教学法 发生学数学教学法 起点 先给定义 先制造缺口 主线 接收、记住形式 亲自跑一遍路径 例子的位置 应用，摆在最后 实例，是发生的一部分 结束 把题做完 开出一个新缺口 回写 几乎没有 收尾必验一次 【第 35 页】 SDE 数学发生学教学法 31 一条纪律 每一节课，只对准“一道具体的缺口”。 贪多，缺口就模糊；缺口一模糊，什么都发生不了。 宁可一节课只让一个概念真正发生，也不要三个都停在入库。 【第 36 页】 四 七个案例：同一个概念，两种教法 数 · 加法 · 位值 · 乘法 · 分数 · 等号 · 三角形。每个案例，左手发现学、右手发生学，你自己判。 【第 37 页】 SDE 数学发生学教学法 32 发现学 · 这样教 案例① 数是什么 黑板上写一个“ 5” ，数五个苹果：“这就是 5 。” 数，被当成一个既存的计数符号，先在那里。 孩子的任务，是把这个符号认下来、记住它。 诊断　5 是从终点递过来的。孩子认得符号，却不知道“数”这个东西是为了解决什么才存在的。 【第 38 页】 SDE 数学发生学教学法 33 发生学 · 这样教 案例① 数是什么 E 缺口 · 土壤 “ 这两堆东西，哪堆多？”一 眼看不出来，需要一个办法。 › D 路径 一一对应：一个对一个地摆，看 谁先摆完。对不清，才需要能 “记住多少”的东西。 › S 显露 “ 数”发生了。5 ＝ 和五根手 指能一一对应的那一类聚集。 › 回写 改写了旧看法 从此孩子看任何一堆，都会想 “它能和几对上”。 在孩子那里发生了什么　数不再是黑板上的符号，而是他亲手用“对应”量出来的东西。它有了来路。 【第 39 页】 SDE 数学发生学教学法 34 发现学 · 这样教 案例② 加法与交换律 3 + 2 = 5 ，背下来；加法表，背熟。 交换律：记住“ a + b = b + a” ，照用。 加法被当成一套既定规则，规则先在，孩子记住它。 诊断　交换律是背来的一条规定。孩子不知道它为什么成立，只知道它“是这么规定的”。 【第 40 页】 SDE 数学发生学教学法 35 发生学 · 这样教 案例② 加法与交换律 E 缺口 · 土壤 “ 这两堆合起来，一共多 少？”真实的合并情境。 › D 路径 把两堆并到一起，重新数一遍。 “＋”就是这条“合并再数”的 路径。 › S 显露 “ ＝”是这条路径的结算点。 3 ＋2 结算出 5 。 › 回写 改写了旧看法 孩子亲自试出“先合谁、后合谁， 总数不变”——交换律不是背的， 是他发现的。 在孩子那里发生了什么　交换律从“一条要记的规定”，变成“他自己撞见的一个事实”。这就是回写。 【第 41 页】 SDE 数学发生学教学法 36 发现学 · 这样教 案例③ 位值与十进制 个位、十位、百位，是规定好的位置。 “ 满十进一”，照着做，做对就行。 位值制被当成一套先在的书写规则。 诊断　“满十进一”是口令。孩子会操作，却答不出“ 11 里的两个 1 ，为什么不一样大”。 【第 42 页】 SDE 数学发生学教学法 37 发生学 · 这样教 案例③ 位值与十进制 E 缺口 · 土壤 数变大了，一个一个数太慢，符 号也不够用。 › D 路径 十根小棒捆成一捆。这个“捆” 的动作，生出一个新单位。 › S 显露 “ 十”作为一个新单位发生了。 位值＝用有限符号表示很大的数。› 回写 改写了旧看法 孩子懂了：11 里，左边的 1 是“一捆”，右边的 1 是“一 根”，不一样大。 在孩子那里发生了什么　“满十进一”不再是口令，而是他亲手捆出来的结果——位置有了意义。 【第 43 页】 SDE 数学发生学教学法 38 发现学 · 这样教 案例④ 乘法（倍） 九九口诀，背熟、背快。 乘法被当成一种新的运算规则，先在那里。 孩子的任务，是把口诀记牢、算得快。 诊断　口诀是发生链结晶之后的成熟态。直接从口诀起步，是把终点当起点。 【第 44 页】 SDE 数学发生学教学法 39 发生学 · 这样教 案例④ 乘法（倍） E 缺口 · 土壤 “5 个 3 相加”写起来烦、算 起来慢。需要更省的写法。 › D 路径 把“几个几”打包成一个整体。 › S 显露 “3 的 5 倍 / 5 × 3” 发生了。 乘法＝重复相加的打包。 › 回写 改写了旧看法 孩子再看加法，会分辨“零散地 加”和“成倍地加”是两种事。 在孩子那里发生了什么　口诀不再是要背的天书，而是他亲手打包出来的省力工具——先有意义，再背才牢。 【第 45 页】 SDE 数学发生学教学法 40 发现学 · 这样教 案例⑤ 分数（最硬的一课） 分数＝分子/ 分母的既定形式。先给定义“二分之一”。 再教通分、约分，一套一套的规则。 孩子一上来，就面对一个成熟的符号系统。 诊断　这正是第 2 页那节课：当堂全对，一周后 1/3 > 1/2 。符号会写，意义没发生。 【第 46 页】 SDE 数学发生学教学法 41 发生学 · 这样教 案例⑤ 分数 E 缺口 · 土壤 三个饼平分给四个人，每人多少？ 整数，答不出来。 › D 路径 真的去平分，给“每人分到的那 份”命名。 › S 显露 分数发生了，为让“平分”能结 算。1/2 的同一性＝两个它拼 成 1 。 › 回写 改写了旧看法 孩子看“整数”从此知道：它只 是数的一段，中间还挤着无数个 数。 在孩子那里发生了什么　1/3 > 1/2 的错误不会再犯——因为他亲手分过，知道分的份越多、每份越小。 【第 47 页】 SDE 数学发生学教学法 42 发现学 · 这样教 案例⑥ 等号 = （一个大误解） “ ＝”读作“得”，3 + 2 ＝ ? 求那个答案。 等号被当成一个“出结果”的箭头，单向。 于是孩子不接受 8 ＝ 3 + 5 ，更不接受 3 + 5 ＝ 2 + 6 。 诊断　把等号当箭头，是小学最普遍、最隐蔽的一处误解，会一路拖累到中学的方程。 【第 48 页】 SDE 数学发生学教学法 43 发生学 · 这样教 案例⑥ 等号 = E 缺口 · 土壤 同一个数 6 ，可以从很多条路 走到： 2+4 、1+5 、3+3…… › D 路径 让孩子写出 6 ＝ 2+4 ＝ 1+5 ＝ 3+3 ，两边都摆。 › S 显露 “ ＝”是“两边是同一个东 西”的关系符——像天平，不是 箭头。 › 回写 改写了旧看法 等号从“得”变成“平衡”。这 正是 S/D/E ：同一个 S ，多条 D 。 在孩子那里发生了什么　他开始接受 3+5 ＝ 2+6 。这一小步，替中学的方程扫清了一个大障碍。 【第 49 页】 SDE 数学发生学教学法 44 发现学 · 这样教 案例⑦ 三角形内角和 直接告诉：“三角形内角和是 180° 。” 记住这个结论，套进题里去算。 结论先在，孩子的任务是记住并套用。 诊断　结论是天上掉下来的。孩子会用它算题，却答不出“凭什么是 180°” 。 【第 50 页】 SDE 数学发生学教学法 45 发生学 · 这样教 案例⑦ 三角形内角和 E 缺口 · 土壤 各种三角形长得差那么多，三个 角的和，会一样吗？ › D 路径 把三个角撕下来，拼到一起；再 量一量、多试几个。 › S 显露 三个角拼成一条直线—— 180° 。结论被孩子亲手拼出来。› 回写 改写了旧看法 结论有了来路。孩子知道数学结 论是能“验”的，不是背的。 在孩子那里发生了什么　“ 180°” 从一句要背的话，变成他撕纸拼角亲眼看见的事实。 【第 51 页】 SDE 数学发生学教学法 46 七个案例，抽出同一个结构 每一课，都是同一个动作。 先找到那条“走不通的旧路”（缺口 E ）， 让新对象作为“让它走通的工具”发生出来（D → S ）， 最后，验一次回写。 【第 52 页】 SDE 数学发生学教学法 47 七案例一览 缺口 → 路径 → 显露 → 回写 概念 缺口 E 路径 D 显露 S 回写 数 两堆谁多 一一对应 “ 数” 看任何一堆都想“对上几” 加法 合起来多少 合并再数 “ ＋” 自己撞见交换律 位值 数大写不下 十根捆一捆 “ 十”这个单位 两个 1 不一样大 乘法 重复相加太慢 几个几打包 “ 倍 / ×” 分清零散加与成倍加 分数 整数不够分 平分并命名 “1/2” 整数只是数的一段 等号 同数多来路 两边都摆 “ ＝”是关系 等号从箭头变天平 三角形 各角和会一样吗 撕角拼一拼 “180°” 结论可验、非天降 【第 53 页】 SDE 数学发生学教学法 48 一个重要提醒 发生学，不等于“活动多、课堂热闹”。 撕纸、摆小棒，若不对准缺口、不收回写， 照样是无回写的假发生。 热闹 ≠ 发生。 【第 54 页】 五 明天，把你的一节课改成发生学 四问备课、五步模板、三条纪律、四个坑。今晚之后，能上手。 【第 55 页】 SDE 数学发生学教学法 49 备课四问 改课之前，先问自己四句 1 定义从天而降吗 这个概念的定义，在孩子那儿是不是“突然就给出来”的？ 2 孩子卡在哪 他们最常在哪一步卡住、犯同一个错？那里往往藏着缺口。 3 哪条规则是背的 这节课里，哪条规则孩子只会背、说不出来路？ 4 它的缺口是什么 这个概念，当初是为解决哪条“走不通的路”而生的？ 【第 56 页】 SDE 数学发生学教学法 50 一节课的发生学模板 把五步填成你的教案 ① 缺口 我抛出的那个真实问 题是：____ → ② 框架 我给的方向（不是答 案）是：____ → ③ 走张力 孩子亲手跑的那一步 是：____ → ④ 落实例 换的几个情境是： ____ → ⑤ 新缺口 下课前抛出的下一个 问题：____ 把每一格填上你自己的一句话，一份发生学教案就成形了。 【第 57 页】 SDE 数学发生学教学法 51 三条纪律 守住这三条，就不会滑回发现学 纪律一 一节课，只对一道缺口。 贪多则缺口模糊，什么都发生不了。 纪律二 先制造缺口，再给工具。 顺序一旦反过来（先给定义），就又变回发现学了。 纪律三 下课前两分钟，验一次回写。 问一个“倒过来”的问题——他看旧东西的眼光变了吗？ 【第 58 页】 SDE 数学发生学教学法 52 四个最常见的坑 看着像发生学，其实不是 ① 伪缺口 其实不缺——孩子早会了，你还假装制造问题。 ② 替孩子跑路径 工具给了，却是老师一路演示到底，孩子没亲自走。 ③ 活动代替发生 热热闹闹撕了摆了，最后没有结算、没有命名。 ④ 漏回写 讲完就下课，从不问“你对旧东西的看法变了吗”。 【第 59 页】 SDE 数学发生学教学法 53 一句判据，当堂自检 这节课结束时，有没有一个孩子 “ 看旧东西的眼光变了”？ 有 ——概念发生了。 没有 ——只是又入了一次库。 【第 60 页】 收束 发现学，教孩子“认识”一个已经做好的数学世界； 发生学，让这个世界在每个孩子那里，重新发生一次。 数学对象不在课本里—— 它在孩子走通的那条路的尽头。 SDE 数学发生学教学法 【第 61 页】 留给你们的一道缺口（ΔE ） 今晚不给结论，给一道缺口—— 明天挑一个你最熟的概念，只做一件事： 找到它的“缺口”。 找到了，发生学就已经开始了。 主讲：＿＿＿　· 　谢谢 SDE 数学发生学教学法